книги из ГПНТБ / Черонис, Н. Д. Микро- и полумикрометоды органического функционального анализа

Определение опорных реакций

Уравнения равновесия балки имеют вид:

1 М А = 0; - g b ~ - P b + R Bl - m = 0;

2 ^ = 0; RA - q b - P + RB = 0,

откуда

Ra

Проверка:

Реакции найдены правильно.

Составление выражений

для Q и М в сечениях первого участка

Балка имеет три участка АС, СВ и BD, на которых выра­ жения для Q и М будут различны. Проведем сечение на пер­ вом участке и отделим часть балки длиной Z\ (рис. 60, б). При составлении выражений для Q и М учтем, что сила R a стре­ мится повернуть отсеченную часть балки вокруг точки 0| (центра тяжести сечения) по часовой стрелке и создает в верхних волокнах балки напряжения сжатия. Это означает в соответствии с правилом знаков, что сила R a войдет в вы­ ражения для Q и М с положительным знаком. Наоборот, рав­ нодействующая qzi распределенной нагрузки, приложенной к отсеченной части, войдет в те же выражения с отрицательным знаком:

Q = R a - qzü

где 0 < z t<ö,TaK как выражения (е) справедливы только в пределах первого участка АС. Действительно, если передви­ нуть сечение, например, за точку С, то в пределах рассмат­ риваемой части окажется и сила Р, которая не входит в вы­ ражения (е).

79

Построение эпюр на участке ЛС

Эпюра Q, как видно из уравнений (е), будет ограничена прямой линией, а эпюра М — кривой второго порядка.

Для построения эпюры Q достаточно вычислить значение поперечной силы в двух точках, для М необходимы по край­ ней мере три точки:

точка А

= 0 ; Qa = Ra = ~ qa\ М А = 0;

точка £ — середина участка АС:

участке (рис. 60, е, ж).

Q н М в сечениях участка СВ

Отсечем часть балки длиной г2 (рис. 60,г). На эту часть балки действуют сосредоточенные силы Ra и Р, а также рав­ номерно распределенная нагрузка на длине Ь, равнодейст­ вующая которой равна qb. Выражения для Q и М получат вид:

Q — RA — qb — Р = ---- да\

NI = Raz2 — qb ^z2 — - j - ) ~ P ( z 2- b ) , (f)

где. l, так как выражения (f) можно использовать только в пределах участка СВ.

На этом участке поперечная сила постоянна, а изгибаю­ щий момент есть линейная функция г2. Для построения эпю­ ры М необходимы две точки:

точка С

•80

\

точка В

I — \ — Р{1 — b) = qa2.

Такой же результат можно получить, рассматривая дру­ гую часть балки (рис. 60, в). Сила Rb , вращающая отсечен­ ную часть балки против часовой стрелки и создающая сжа­ тие в верхней части сечения, войдет а выражение для Q с отрицательным знаком, а в выражение для М — с положи­ тельным.

Пара т входит только в выражение для М и со знаком минус, так как она вызывает в верхней части сечения растя­ гивающие напряжения:

Подставляя z2 — b и z2 = l, получаем:

8

Наносим найденные значения Q и М на эпюры.

Q и М на участке BD

При нахождении Q и /И .на участке, B D удобнее рассмат­ ривать часть балки, лежащую справа от сечения (рис. 60, д ).

Тогда Q= 0 ;M = —т ——qa2.

Отложив постоянный изгибающий момент М ——qa2 на участке BD, построение эпюр заканчиваем.

§41. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНЫЕ ЗАВИСИМОСТИ ПРИ ИЗГИБЕ

Выделим из балки, загруженной произвольной нагрузкой, элемент длиной dz (рис. 61)ѵ К элементу приложена .распре­ деленная нагрузка с переменной интенсивностью q = f(z). Так как длина элемента мала, торавнодействующую этой .на­ грузки можно принять равной qdz, т. е. вычислять ее так, как если бы нагрузка в пределах участка была распределена рав­

6 Зак. 460

Так как при перемещении сечения на dz поперечная сила м изгибающий'момент получают дриращения, то в сечении 1— 1 будут действовать Q н М, а в сечении 2—2 — Q+ dQ и

М + d/tf.

Таким образом, производная от поперечной силы по длине балки равна интенсивности распределенной нагрузки. В свою очередь поперечная сила равна производной от изгибающего момента.

Основываясь на полученных дифференциальных зависи­ мостях (6.2), (6.3) и учитывая геометрический смысл произ-

83

водной, можно установить ряд правил для построения и кон­ троля эпюр поперечных сил и изгибающих моментов:

1.На тех участках балки, где поперечная сила равна нулю, изгибающий момент постоянен.

2.На участках, не загруженных распределенной нагруз­

кой, поперечная сила постоянна, а эпюра /V/ ограничена на­ клонной прямой

3.Участкам балки, запятым равномерно распределенной нагрузкой, соответствует эпюра Q, ограниченная наклонной прямой, и эпюра М, ограниченная параболой.

4.При любом законе изменения интенсивности распреде­ ленной нагрузки угол наклона касательной к эпюре Q соот­ ветствует величине и знаку q, а касательная к эпюре М на­ клонена под углом, величина и знак которого зависят от зна­ чения Q в данной точке. Эпюра М обращена вогнутостью в

сторону действия распределенной нагрузки.

5. Изломы па эпюре Q бывают в точках, где производная Q терпит разрыв, т. е. в точках изменения интенсивности рас­ пределенной нагрузки q, а на эпюре М в точках приложения сосредоточенной силы.

6.Изгибающий момент принимает экстремальное значе­ ние гам, где поперечная сила проходит через нуль.

7.Скачки на эпюре Q могут быть лишь в точках приложе­ ния сосредоточенных сил, а на эпюре М в точках приложе­ ния пар сил; направление скачков совпадает с направлением соответствующей сосредоточенной нагрузки.

8.В шарнире изгибающий момент равен нулю.

Применяя перечисленные правила, легко проверить эпюры (рис. 60). Действительно, очертание эпюр Q и М на участках BD, СВ и АС соответствует правилам 1, 2, 3.

Равномерно распределенная нагрузка q отрицательна, так как она направлена в сторону, обратную положительному на­ правлению оси оу. Знаку q соответствует по правилу 4 отри­ цательный угол наклона эпюры Q на этом участке. Парабола, ограничивающая эпюру М, направлена вогнутостью в сто­ рону действия q. Изломы на эпюре М в точках С и В соответ­

ствуют правилу 5. Скачки на эпюрах Q и А( соответствуют

7

правилу 7. На эпюре Q скачки: в точке А на —g- qa вверх (если перемещать взгляд по эпюре слева направо), в точке С на 4qa — вниз и в точке В на -g- qa — вверх отвечают по ве­

личине и направлению приложенным в этих точках силам Ra, Р и йв. На эпюре AI один скачок в точке D на qa2 (от —qa2 до нуля), что соответствует приложенной в этой точке паре сил т.

Пользуясь правилами 1—8, можно по загрузке балки оп­ ределить характер эпюр Q и М. Примеры таких построений показаны на рис. 62, 63 и 64. Разумеется, числовые значения Q и М в сечениях балки можно найти без расчета только при простой схеме нагрузки (рис. 62).

§42. НОРМАЛЬНЫЕ НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ЧИСТОМ ИЗГИБЕ

При чистом изгибе в сечениях балки действует постоянный изгибающий момент, а поперечная сила равна нулю (рис. 65). Как следует из формул (6.1), в сечениях балки на участке чистого изгиба возникают только нормальные напряжения.

Пусть на боковой поверхности балки прямоугольного се­ чения нанесена сетка прямых линий (рис. 66). При наблюде­ нии за.ее деформацией в условиях чистого изгиба можно заметить:

—поперечные линии остаются прямыми, но поворачива­ ются относительно друг друга иа некоторый угол;

—продольные линии искривляются, при этом длина неко­ торой линии 0 j0 2 не изменяется;

—линии, расположенные по одну сторбну 0\0% удлиня­ ются, а по другую сторону укорачиваются;

—ось балки остается в плоскости нагружения (плоско­ сти изгиба).

т

Сказанное подтверждается также при чистом нзгйбе ба­ лок с симметричными сечениями другой формы, когда плос­ кость нагружения совпадает с продольной плоскостью сим­ метрии балки.

Перечисленные наблюдения, а также данные других опы­ тов позволяют сделать следующие предположения:

1. Плоские поперечные сечения балки, оставаясь плоскими, поворачиваются относительно друг друга (гипотеза плоских сечений).

2. Существует так называемый нейтральный слой мате­ риала, длина которого не изменяется; волокна, расположен­ ные по одну сторону нейтрального слоя, испытывают растя­

(рис. 67).

Р«с. 67

Выделим из балки элемент длицон dz .{рис. 66, 67). Отно­ сительная деформация какого-либо, волокна об, расположен­ ного иа расстоянии у от нейтральной оси, равна:

a'b' — ab

87

По закону: Гука а=Ее. Тогда напряжения сжатия в рас­ сматриваемом-волокне ab будут равны: .

Таким юбразом, при чистом изгибе нормальные напряже­ ния .в поперечном сечении изменяются по линейному закону (см. рис.-67.)-; Для точек нижней части сечения с отрицатель­ ными‘.ординатами у получим по формуле (6.4) положитель­ ные, т. е. растягивающие напряжения.

Определим теперь положение нейтральной оси сечения. Совместим с нею ось ох, ось оу расположим в плоскости дей­ ствия нагрузки (плоскости изгиба). Ось oz направим по оси бруса перпендикулярно сече­ нию (рис. 68). Выделим в сече­ нии площадку cLF. Нормаль­ ные напряжения о, действую­ щие по площадке dF, дают в сумме силу dN = odF, направ­ ленную по нормали к сечению.

Запишем выражения для трех внутренних силовых факторов Ау Мх и Му, в которые войдут силы dN, распределенные по сечению (очевидно, что силы dN не могут входить в выра­ жения для Q .v, Qy, Мкр). Учи­

тывая, что сила N равна сумме проекций всех внутренних сил на ось oz, а моменты Мх, Му равны суммам моментов внутренних сил относительно-соответствующих осей, получим

88,.