книги из ГПНТБ / Черонис, Н. Д. Микро- и полумикрометоды органического функционального анализа

Так, главные напряжения, показанные на рис. 27, а надо нумеровать:

Оі = +100 кГ/мм2-, 02=4-50 кГ/мм2; 0з=+20 кГ/мм2\

а на рис. 27, б:

0 і = +30 кГ/мм2\

О2 = 0;

0з= —50 кГ/мм2.

Рис. 27

Различают три вида напряженного состояния материала:

—линейное, когда действует только одно главное напря­ жение, два других равны нулю (рис. 2S, б);

—плоское — действуют два главных напряжения, а одно равно нулю (рис. 27, б);

§21. ЛИНЕЙНОЕ НАПРЯЖЕННОЕ СОСТОЯНИЕ

Влинейном напряженном состоянии находится, например, материал бруса, испытывающего растяжение или сжатие. Выделим из растянутого бруса элемент (рис. 28, а).

По площадкам, перпендикулярным к направлению силы, действуют главные напряжения Оі (рис. 28, б). Два других главных напряжения отсутствуют: а2 = оз= 0.

Проведем наклонное сечение, нормаль па которого со­ ставляет угол и с направлением главных напряжений оі (рис. 28, е). Полное напряжение qa, действующее по этому сечению, разложим на нормальное и касательное напряже-

39

чия or* и т«. Составив уравнения равновесия элемента, полу­ чим:

2 ^ = 0;

--sin а + тaFacos а ~ 0;

= 0;

3aFa COS Я 4" ~ a F a S1П Я — 3, F0 = 0,

где F0 и F» — площади поперечного и наклонного сечений, свя­ занные между собой зависимостью Fo= F.,cosa.

Подставляя эту зависимость в уравнения равновесия эле­ мента, получим в результате решения системы:

Таким образом, если в поперечном сечении растянутого (или сжатого) бруса действуют только нормальные напря­ жения, то в любом наклонном сечении возникают, кроме нор­ мальных, также и касательные напряжения.

Положительными будем считать а, а* и та, если: а отло­ жено против часовой стрелки; о* является растягивающим напряжением; тп надо поворачивать против часовой стрелки для совмещения его с внешней нормалью по кратчайшему расстоянию. На рис. 28, в и т* — положительны.

40

§ 22. П Л О С К О Е Н А П Р Я Ж Е Н Н О Е С О С Т О Я Н И Е

Рассмотрим элемент (рис. 29, а), находящийся п плоском напряженном состоянии при 0 і>О; 02>О; 0з= О.

Проведем наклонную площадку под углом а к направле­ нию 0 і. С направлением о2 эта площадка составляет угол а* = а+90° (рис. 29, б). Напряжения и х'а, возникающие

на наклонной площадке под действием главных напряжений 0і, можно найти по формулам (3.1) и (3.2):

аа— ° і COS2 а;

<= - у Sin 2a.

'Для нахождения напряжений о" и т", вызванных дейст­

вием 02, нужно использовать те же формулы, подставив в них значение угла а*:

сГ = а-2 cos2 (а -f 90'-);

< = ^ -sin (2 a -rl8 0 °),

откуда

з ” = = ,s i n 2a;

Применяя принцип,, независимости действия сил, найдем результирующие напряжения на наклонной площадке

М.

Проведем еш.е одну наклонную площадку, перпендикуляр­ ную первой площадке (рис. 29, в ) . Угол ß для второй пло­ щадки отрицателем ß = — (90°—а). Подставляя значение угла ß в формулы (3.4) и (3.5), получим:

Из анализа формул (3.4), (3.5), (3.6) и (3.7) следует:

— сумма, нормальных напряжений, действующих по двум взаимно перпендикулярным площадкам, равна сумме глав­ ных напряжений:

— нормальные напряжения, действующие по любой на­ клонной площадке, не могут быть больше (алгебраически) одного и меньше другого главного напряжения.

Действительно, экстремальные значения сг„ получит при

— при <ті= Oü, касательные напряжения на любых пло­ щадках отсутствуют, а нопмальные равны главным напря­ жениям:

Оа — Oß — О] —0^\

42

— касательные напряжения, действующие по взаимно перпендикулярным площадкам., равны по величине:

тіі = '"*

Формулы (3.4) —(3.9) справедливы для любых сочетаний главных напряжений при плоском напряженном состоянии.

или

-20 4- 40 = 10 кГ!мм2.

4 23. СЛУЧАЙ ЧИСТОГО СДВИГА

Рассмотрим случай плоского напряженного состояния эле­ мента, когда по граням его действуют напряжения 0з = —©і

* Закон парности касательных напряжений справедлив для любого напряженного состояния. В частности, для линейного напряженного со­ стояния выражение т^4=--тс может быть получено из выражений (3.5) и

(3.7) при 02=0.

43

Таким образом, с одной стороны, чистый сдвиг явился результатом действия равных по величине растягивающих и сжимающих главных напряжений. С другой стороны, если элемент подвергается чистому сдвигу, то внутри его сущест­ вуют главные площадки, по которым действуют растягиваю­ щие и сжимающие напряжения. Действительно, внутренний элемент (заштрихован на рис. 31) образован площадками, параллельными внешним площадкам, следовательно, напря­ жения на них будут равными.

§24. ОПРЕДЕЛЕНИЕ ГЛАВНЫХ НАПРЯЖЕНИЙ

Часто нужно решить обратную задачу — при заданных напряжениях,^, с^и т а = —х? найти главные напряжения Так как знаки главных напряжений неизвестны и их нельзя нумеровать, то обозначим главные напряжения о,пах и amiu, имея в виду алгебраическую величину. Запишем без вывода полученные из системы уравнений (3.4), (3.5), (3.6) оконча­ тельные выражения ДЛЯ ГГтах, Отіп И угла наклона 0.0 главной площадки, по которой действуют напряжения а т а х '-

min ^

§25. ПОНЯТИЕ

ОТЕОРИЯХ ПРОЧНОСТИ

Расчет на прочность при линейном напряженном состоянии сравнительно прост, так как опасное (предельное) напряже­ ние легко найти при испытании материала.

Экспериментальное получение предельных значений глав­ ных напряжений в случаях плоского и объемного напряжен­ ного состояния сталкивается с большими трудностями из-за сложности оборудования и большого объема испытаний. Экс­ перименты надо производить при самых разнообразных соче­ таниях Ееличин главных напряжений.

Из-за трудности получения экспериментальнңх данных расчет на прочность при сложном напряженном состоянии производят, основываясь на некоторых гипотезах (теориях прочности) о преимущественном, влиянии на прочность мате­ риала того или иного фактора (нормального или касатель­ ного напряжения, удлинения и др.). Предельное значение

44

данного фактора находят из простых испытаний на растяже­

ние.

Существует несколько теорий прочности, смысл которых заключается в оценке прочности материала, испытывающего сложное напряженное состояние, по его характеристикам, полученным при простом растяжении. Отметим главные из них:

Теория наибольших касательных напряокений (третья по времени возникновения) теория прочности *. По этой теории разрушение материала в сложном напряженном состоянии наступает тогда, когда наибольшее касательное напряжение равно максимальному касательному напряжению, действую­ щему в образце в момент его разрушения при простом растя­ жении.

Для пластичных материалов, одинаково работающих на растяжение и сжатие, эта теория прочности подтверждается экспериментами.

По энергетической теории формоизменения (четвертая теория прочности) опасное состояние материала при слож­ ном напряженном состоянии наступает тогда, когда удельная потенциальная энергия деформации достигнет своего пре­ дельного значения, соответствующего удельной потенциаль­ ной энергии при простом растяжении в момент текучести.

Для пластичных материалов четвертая теория прочности хорошо подтверждается опытами.

Теория прочности предельных напряженных состояний

(теория Мора) основана на предположении, что при слож­ ном напряженном состоянии прочность материала зависит, главным образом, от величины и знака наибольшего о\ и наи­ меньшего Оз из главных напряжений. Влияние среднего глав­ ного напряжения чо2 считают незначительным. Эта теория прочности хорошо подтверждается опытами для материалов, обладающих как одинаковой, так и различной прочностью на растяжение и сжатие.

Формулы для расчетов по перечисленным теориям проч­

* Первая и вторая теории для брльшинства материалов плохо согла­ суются с данными эксперимента и сейчас почти не применяются. .

45

теория Мора

где [о],, и [сг]сіі-. — допускаемые напряжения материала на про­ стое растяжение и сжатие.

§ ?6. РАСЧЕТ ТОНКОСТЕННЫХ СОСУДОВ, ИСПЫТЫВАЮЩИХ ВНУТРЕННЕЕ ДАВЛЕНИЕ

Тонкостенным считают сосуд, толщина стенки которого составляет не более одной двадцатой части его диаметра. Рассмотрим шаровой и цилиндрический сосуды, испытываю­ щие постоянное внутреннее давление р. Элементы, вырезан­ ные из стенки сосудов, испытывают плоское напряженное со­ стояние*. Оба главных напряжения растягивающие, причем для шарового сосуда они равны аі = аг.

Р

Рис. 32

Рассечем шаровой сосуд пополам (рис. 32, а). Напряже­ ния в сечении уравновешивают силу Р, действующую со сто­ роны жидкости или газа на отсеченную часть сосуда. Если

* В радиальном направлении с внутренней стороны элемент испыты­ вает напряжение сжатия под давлением жидкости или газа, но для тонко­ стенных сосудов это напряжение мало и им пренебрегают.

46

диаметр сосуда D и толщина стенки 6, то условие равнове­ сия отсеченной части имеет вид:

oinDö = P, (а)

где nDö — площадь сечениястенки сосуда.

Для нахождения силы Р (без учета веса жидкости или газа) используем простое рассуждение. Предположим, что отсеченная половика сосуда закрыта плоской крышкой. Тогда сила воздействия жидкости или газа на нее будет равна Р' =

Из равенств (а) и (Ь) получаем для шарового сосуда:

pD

о, _ а2 (3.15) 45

Так как для шарового сосуда оі = 02, то касательные на­ пряжения на любых площадках отсутствуют (стр. 42).

Цилиндрический сосуд рассечем двумя плоскостями — по­ перечной (рис. 32,6) и продольной (рис. 32,в).

Очевидно, что в поперечном сечении цилиндрического со­ суда напряжения будут такими же, как в сечении шарового сосуда. Действительно, уравнение равновесия отсеченной ча­ сти (рис. 32, б) будет иметь вид (а) и сила давления Р на днище определяется формулой (Ь).

Таким образом, для напряжений в поперечном сечении ци­ линдрического сосуда имеем:

Р — сила воздействия жидкости или газа на отсеченную половину сосуда.

Применяя те же рассуждения, что и для шарового сосуда, получим

47

Из выражений (с) и (d) определяем напряжения в продольном сечении цилиндрического сосуда:

pD

(3.17)

25 '•

Таким образом, напряжения в продольном сечении сосуда Вдвое больше напряжений в его поперечном сечении и напря­ жений в стенках шарового сосуда при равных р, D, б.

Формулы (3.16) и (3.17) нельзя применять для нахожде­ ния напряжений в цилиндрической стенке сосуда вблизи сое­ динения ее с плоским днищем. Напря­ женное состояние материала в этом месте усложняется вследствие изгиба днища и прилегающего к нему участ­ ка цилиндрической стенки. Для повы­ шенияпрочности цилиндрического сосуда его днища обычно делают сфери­

ческими (рис. 33).

Получившие в последнее время широкое распространение шаровые сосуды наиболее выгодны с точки зрения экономии материала и веса, так как тол­ щина стенки их при равных с цилиндрическим сосудом диа­ метре и давлении может быть взята вдвое меньше.

Пример 9. Цилиндр стойки шасси испытывает изгиб и кручение от усилий, возникающих при посадке самолета. Кроме того, цилиндр испытывает растя­ жение от внутреннего давления амор­

тонкостенных сосудов. Для продольного сечения цилиндра получим

Р Р

гір-= 25 ’

48