книги из ГПНТБ / Черонис, Н. Д. Микро- и полумикрометоды органического функционального анализа

Угол наклона главной площадки найдем по формуле (3.11)

«о = — 14° (рис. 35, б).

4 з » . 460

Глава IV КРУЧЕНИЕ

§27. ПОСТРОЕНИЕ ЭПЮР КРУТЯЩИХ МОМЕНТОВ

При кручении в поперечных сечениях бруса действует только крутящий момент, остальные внутренние силовые фак­ торы равны нулю. Брус, испытывающий деформацию круче­ ния, называют валом.

Крутящий момент может изменяться по длине вала. Гра­ фик изменения крутящего момента по длине вала называется эпюрой крутящих моментов вала. При построении эпюр по­ ложительным считают крутящий момент, который при наблю­ дении со стороны внешней нормали к сечению виден направ­ ленным против часовой стрелки. Но по условию равновесия отсеченной части вала крутящий момент, как внутренний си­ ловой фактор сечения, равен по величине сумме внешних мо­ ментов, приложенных к рассматриваемой части вала, и на­ правлен в обратную сторону. Таким образом, если определять крутящий момент как сумму внешних моментов, приложен­ ных к отсеченной части вала, то знаки надо брать противопо­ ложные, а именно, внешний момент, направленный по часо­ вой стрелке, считать положительным, а направленный против часовой стрелки— отрицательным.

Построим эпюры крутящих моментов для вала, нагружен­ ного рядом внешних моментов (рис. 36, а). Проводя сечения на трех участках вала и рассматштвая равновесие отсеченных частей, получаем значение крутящего момента на каждом участке. На первом участке а вала (рис. 36, б ):

ЖКр = -J- т?г;

на участке Ь (рис. 36, в):

МкР— + т — 2,25m — — 1,25яг.

50

Эти наблюдения позволяют сделать некоторые предполо­ жения, а именно:

а) каждый радиус сечения остается прямым, каждое попе­ речное сечение вала, оставаясь плоским, поворачивается на некоторый угол (гипотеза плоских сечений);

б) расстояние между поперечными сечениями не изменя­ ется и, следовательно, продольные деформации вала отсутст­ вуют.

Рассмотрим деформацию элемента вала, выделенного двумя поперечными и двумя продольными, проходящими че­ рез ось вала, сечениями (рис. 38,а).

Правая плоскость элемента сдвинулась относительно ле­ вой, повернувшись на угол сйр. Расстояние между плоско­ стями не изменилось и, значит, на них нет нормальных напря­ жений. Элемент испытывает чистый сдвиг. При этом величина сдвига и связанные с ним касательные напряжения для раз­ ных точек элемента различны. На поверхности вала абсолют­ ный сдвиг равен аа', относительный сдвиг у и напряжения т, а в точках, расположенных на радиусе р, получим соответст­ венно. ее', ур и тр (рис. 38, б ). В точках, лежащих на оси вала, сдвиг равен нулю,

52

Абсолютный сдвиг в произвольной точке (на радиусе р) равен ее'= уРdz или ее' = рс/ф.

Откуда

п ^ Тр-Р dz •

Обозначим

Величина dz = Ѳ представляет собой относительный угол

закручивания. Это угол взаимного поворота двух сечений, от­ несенный к расстоянию между ними.

Напряжения тр, складываясь в пределах площадки dF (рис. 39,а), дают элементарную силу i P-dF. Сумма моментов этих элементарных сил, взятая по всей площади сечения, и есть крутящий момент:

кой сечения, называемой полярным моментом инерции сече­ ния.

Тогда выражение (4.3) получит вид: AfKP = 0/pG или

lpU

Из выражений (4.2) и (4.5) выводим формулу для касатель­ ных напряжений в любой точке сечения вала:

Таким образом, касательные напряжения в точке сечения про­ порциональны ее радиусу (рис. 39, б). Наибольшие напряже­ ния действуют в точках, лежащих на радиусе R:

M KpR

(4.7)

Величину -д называют полярным моментом сопротивления

сечения и обозначают Wp\

Окончательно получим формулу для максимальных касатель­ ных напряжений:

Материал вала испытывает не только касательные напря­ жения. Известно, что при чистом сдвиге по площадкам, на­ клоненным под углом ±45°, действуют главные напряжения (см. § 23). Эти главные растягивающие сгі и сжимающие оз напряжения равны по величине касательным напряжениям т, действующим в данной точке материала (рис. 40, а).

54

Действием главных напряжений ел объясняется характер разрушений стальных закаленных валов (рис. 40, б). Мате­ риал таких валов достаточно хрупкий, плохо сопротивляется отрыву, и разрушение происходит по тем площадкам, по ко­ торым действуют растягивающие напряжения.

Найдем теперь угол закручивания вала. Из выражений

(4.1) и (4.5) имеем:

о

где I — длина участка вала, для которого определяется угол закручивания.

Произведение l pG называют жесткостью вала.

Если крутящий момент по длине участка вала не меняется и жесткость постоянна, то

Формулы (4.9) и (4.12) являются основными расчетными формулами для прямых валов, имеющих круглое и кольцевое сечение.

§29. ПОЛЯРНЫЕ МОМЕНТЫ ИНЕРЦИИ

ИСОПРОТИВЛЕНИЯ КРУГЛОГО

ИКОЛЬЦЕВОГО СЕЧЕНИЙ

Полярным моментом инерции сечения называют сумму произведений элементарных площадок на квадраты их рас­ стояний до центра {полюса), взятую по всей площади сечения:

IP = ^ 4 F .

Выделим в сечении полого вала (рис. 41) кольцевую площадку dF ра­ диусом р и шириной dp:

dF=*2npdp. Рис. 41

55

Тогда

/„ = 2* p»dp = - f (R * -r* ).

Выражая I v через внешний D и внутренний d диаметры сечения, получим:

Для сплошного круглого сечения, учитывая, что ^ = 0 и а = 0, получим:

По формуле (4.8) полярный момент сопротивления сечения равен:

Момент инерции выражают в см4, мм4, момент сопротив­ ления в см3, мм3.

§ 30. РАСЧЕТ ВАЛОВ НА ПРОЧНОСТЬ И ЖЕСТКОСТЬ

Вал будет прочным, если максимальные касательные на­ пряжения не превышают допускаемых

^max [^l

ИЛИ

56

Тогда, учитывая выражения (4.15) й (4.16), можно записать расчетные формулы для определения диаметра полого и сплошного вала:

В случаях, когда вал должен обладать не только достаточ­ ной прочностью, но и определенной жесткостью, ограничи­

Более равномерно нагружено сечение полого вала, имею­ щего при равной со сплошным валом прочности значительно меньший вес. Действительно, при равной прочности валов моменты сопротивления их равны

Из выражений (4.21) и (4.22) следует, что, например, при а=0,8 полый вал почти вдвое легче сплошного, превышая диа­ метр последнего всего на 19%.

В авиастроении с целью облегчения конструкций приме­ няют обычно полые валы.

§7

§31. ПОТЕНЦИАЛЬНАЯ ЭНЕРГИЯ ЗАКРУЧЕННОГО ВАЛА

Потенциальную энергию вала можно найти, используя те же рассуждения, которые были применены (§ 10) для опре­ деления потенциальной энергии растяну­

того бруса.

Элемент вала длиной dz закручивается моментами Мкр на угол dq> (рис. 42).

Учитывая, что Мкр возрастает от нуля до конечного значения пропорционально углу закручивания, имеем:

Потенциальная энергия всего вала или участка вала дли­ ной I равна:

§32. РАСЧЕТ ВИНТОВЫХ ЦИЛИНДРИЧЕСКИХ ПРУЖИН

Винтовые цилиндрические пружины работают обычно на сжатие и реже на растяжение. Рассечем пружину, нагружен­

58