книги из ГПНТБ / Черонис, Н. Д. Микро- и полумикрометоды органического функционального анализа

Таким образом, статический момент сечения 5 Х.. относи­ тельно нейтральной оси и центробежный момент инерции Іху относительно этой оси и оси оу, лежащей в плоскости дейст­ вия внешней нагрузки, равны нулю. Это означает, что оси хоу

являются главными центральными осями сечения. Следова­ тельно, при чистом изгибе нейтральная ось проходит через центр тяжести сечения, а искривление оси балки происходит

вплоскости действия нагрузки в том случае, если в последней лежит главная ось сечения. Такой изгиб называется прямым

вотличие от более общего случая косого изгиба, при котором главная ось сечения не совпадает с плоскостью действия на­

грузки.

Интеграл } y 2d f — Ix есть момент инерции сечения. Опус-

кая индекс, ко помня, что момент инерции вычисляется отно­ сительно нейтральной оси, получим из второго выражения

(6.5):

откуда

1 _ М

(6.7)

Р ~ ЕІ '

Выражение (6.7) является основным уравнением чистого изгиба и выражает закон Гука, так как связывает деформа­ цию балки (1/р — кривизна оси) с действующей на балку на­ грузкой. Величина ЕІ называется жесткостью при изгибе.

Из формулы (6.7) следует, в частности, что на участке чи­ стого изгиба ось балки постоянной жесткости имеет постоян­ ную кривизну, т. е. представляет собой дугу окружности.

Внося в уравнение (6.7) значение кривизны 1/р из фор­ мулы (6.4), получим выражение для определения нормальных напряжений в любой точке сечения балки:

Наибольшие по абсолютной величине напряжения дейст­ вуют в точках сечения, наиболее удаленных от нейтральной оси, т. е. при у= I г/тах| :

89

Выражение------ = W есть момент сопротивления сечения

1-Ушах I

относительно нейтральной оси. Тогда формула наибольших по абсолютной величине нормальных напряжений при чистом

изгибе полѵчит вид:

М

° ш а х ~ у р ■ ( 6 . 9 )

§ 43. НАПРЯЖЕНИЯ ПРИ ПОПЕРЕЧНОМ ИЗГИБЕ

При поперечном изгибе в сечениях балки, кроме нормаль­ ных напряжений, действуют также и касательные напряже­ ния, сумма которых равна поперечной силе Q. Касательные напряжения вызывают сдвиг элементов материала, получаю­ щих вместе с линейными деформациями е, вызванными нор­ мальными напряжениями, еще и угловые деформации у. Касательные напряжения распределены по сечению неравно­ мерно, так же будут распределены и угловые деформации.

Поэтому при поперечном изгибе сечения балки не остаются плоскими, а искривляются. Однако эти искажения попереч­ ных сечений незначительны и практически не сказываются на точности формул (6.4), (6.7) —(6.9) полученных, исходя из гипотезы плоских сечений. Таким образом, при поперечном изгибе нормальные напряжения и кривизну оси балки опре­ деляют так же, как и при чистом изгибе.

Касательные напряжения определяют по приближенной теории, разработанной в прошлом . веке русским ученым Д. И. Журавским, в основе которой лежат два допущения:

— касательные напряжения в любых точках сечения па­ раллельны поперечной силе (рис. 69, а);

90

— величина касательных напряжений зависит только от расстояния точек до нейтральной оси, а по ширине сечения они не изменяются.

Абсолютную величину касательных напряжений т в точчах сечения балки, расположенных на расстоянии у от ней- t тральной оси, вычисляют по формуле:

где Q —- поперечная сила в сечении; / — момент инерции сечения;

Ь— ширина сечения по линии, на которой определяют напряжения;

5' — абсолютная величина статического момента относи­ тельно нейтральной оси части сечения, отсекаемой этой линией от сечения (заштрихована на рис. 69,а).

Направление напряжений совпадает с направлением попе­ речной силы.

Характерно распределение касательных напряжений по прямоугольному сечению. Определим напряжения по линии тп, г. е. в точках сечения, расположенных на расстоянии у от нейтральной оси (рис. 70).

Величины Q и / в формуле (6.10) постоянны для любого сечения, для прямоугольного сечения постоянна также и ши­ рина сечения Ь. Переменным является только статический мо­ мент части сечения, отсекаемый линией тп. Он равен

91

площади прямоугольника kinnl,- умноженной на расстояние ус центра тяжести этого прямоугольника от нейтральной оси:

Подставляя в срормулу (b.lU) значение 5' и / = -pj-, получим:

Переменная у входит в формулу во второй степени, сле­ довательно, эпюра будет ограничена параболой (см. рис. 70). В крайних точках сечения, удаленных от нейтральной оси на расстояние /г/2 касательные напряжения равны нулю. На ней­ тральной оси, где у = 0, напряжения максимальны:

балках других сечений формула (6.10) обеспечивает необхо­ димую для практических целей точность.

Для определения касательных напряжений в тонких эле­ ментах балки, расположенных параллельно нейтральной оси сечения, например, в полках двутавра, швеллера формулу (6.10) применять, нельзя. В этих случаях касательные напря­ жения не параллельны поперечной силе, так как в действи­ тельности они могут быть направлены только вдоль контура сечения. Рассмотрим, например, направление напряжений, действующих на элемент балки, вырезанный из наклонной части ее (см. рис. 69, б). Если предположить, что напряжение направлено вертикально так же, как сила Q, то его можно разложить на составляющие х\ и т2. По закону парности ка­ сательных напряжений этим составляющим должны соответ­ ствовать парные напряжения х[ и х'.2. Однако внешняя по­

верхность балки свободна от напряжений и, следовательно,

т2 =0, а значит и тг—0. Таким образом, существует только напряжение ті, направленное параллельно контуру сечения. Напряжения как бы. «текут», вдоль контура сечения. Напри--

92

мер, для двутаврового сечения касательные напряжения на­ правлены так, как показано на рис. 71.

Напряжения в стенке двутавра, составляющие в сумме 95—97% поперечной силы Q, определяют по фор­ муле (6.10). Максимальная величина их на нейтраль­ ной оси составляет:

сечения;

d — толщина стенки двутавра.

Величины //5 „,ах и d приведены в стандарте для каждого номера двутавра.

§ 44 РАСЧЕТ БАЛОК НА ПРОЧНОСТЬ ПРИ ИЗГИБЕ

При обычных соотношениях М и Q величина касательных напряжений незначительна, и расчет балок на прочность про­ изводят по нормальным напряжениям, достигающим макси­ мальной величины в крайних точках сечения, где касательные напряжения, к тому же, равны нулю.

Для балок, сечение которых симметрично относительно нейтральной оси, наибольшие напряжения растяжения н сжа­ тия равны и определяются формулой (6.9):

Еслищри атом материал балки одинаково прочен на рас­ тяжение и сжатие, то условие прочности требует, чтобы наи­ большие напряжения не превышали допускаемых:

где [о]пзг — допускаемое напряжение на изгиб, которое обычно больше допускаемого напряжения на растяжение [0%, так как при изгибе предельное, опасное состояние возникает только в крайних волокнах материала балки, а при растяжении сразу по всему сечению, что более опасно.

93

Для несимметричных сечений напряжения растяжения и сжатия в крайних точках сечения не равны. Например, для тавровой балки (рис. 72) расстояния точек /1 и В от нейтраль­ ной оси, проходящей через центр тяжести, различны: у а > > I Ѵ/і!■ Тогда сечение будет иметь

два момента сопротивления:

для балок из материалов, прочность которых на растяжение ниже, чем на сжатие (литые алюминиевые сплавы, чугун, ке­ рамические материалы, бетон). Располагать такие балки под нагрузкой следует так, чтобы большие напряжения были на­ пряжениями сжатия. Наивыгоднейшим будет, очевидно, се­ чение с отношением моментов сопротивления, равным отно­

. Рис. 73

94

При больших величинах поперечных сил, особенно в слу­ чаях, когда толщина стенки балки мала, ее прочность прове­ ряют по касательным напряжениям. Например, при расчете крыла самолета прочность поясов лонжеронов (рис. 73) и панелей моноблочного крыла проверяют по нормальным на­ пряжениям, а прочность стенок лонжеронов — по касатель­ ным напряжениям,

§ 45. ПОПЕРЕЧНЫЙ ИЗГИБ БАЛОК ТОНКОСТЕННОГО НЕСИММЕТРИЧНОГО ПРОФИЛЯ. ЦЕНТР ИЗГИБА

При чистом изгибе плоскость изгиба балки, в которой расположена и прямая и изогнутая ось ее. совпадает с плоскостью действия нагрузки в том случае, если в последней лежит главная ось сечения. Это положение, справедливое при отсутствии касательных напряжений, теряет свою силу при поперечном изгибе. Действительно, распределение касательных напря­ жений по тонкому несимметричному сечению (рис. 74, а) показывает, что напряжения Тп в полках швеллера дают в сумме пару сил Тп, Тп. (рис. 74, б). Сила 7С, равная сумме касательных напряжений тс, дейст­

-TT-J

и%п

и

11 is ±S|

Рис. 74

Сумма моментов касательных напряжений относительно центра изгиба равна нулю, как и сумма моментов нормальных напряжений (точка С ле­ жит на нейтральной осч). Для того, чтобы изгиб тонкостенной несиммет­ ричной балки был плоским, должна быть равна нулю и сумма моментов внешних сил относительно тон же течки. Это означает, что плоскость дей­ ствия нагрузки должна быть смещена относительно главной оси сечения н проходить через центры изгиба смежных сечений балки, лежащие на

95

так называемой оси жесткости балки (рис. 75, б). В противном случае в поперечных сечениях балки возникают дополнительные касательные напря­ жения, вызывающие кручение ее (рис. 75, а). Крыло самолета, например,

испытывает, кроме изгиба, и кручение, так как равнодействующая аэроди­ намических сил смещена относительно оси жесткости крыла (рис. 76).

§46. ДИФФЕРЕНЦИАЛЬНОЕ УРАВНЕНИЕ ИЗОГНУТОЙ ОСИ БАЛКИ.

ДЕФОРМАЦИИ ПРИ ИЗГИБЕ

Под действием нагрузки ось балки искривляется, прини­ мая форму кривой, называемой упругой линией балки. Де­ формации при изгибе характеризуются двумя величинами:

— прогибом, равным пе­ ремещению у центра тяже­ сти сечения в направлении, перпендикулярном оси бал­ ки (рис. 77);

— углом поворота сече­ ния Ѳ, равным углу наклона касательной к упругой ли­ нии.

96

Так как угол 0 обычно мал, то можно считать:

dy

Ѳ = t g Ѳ = ~dz •

Определить прогиб у и угол поворота Ѳ в любом сечении можно, найдя уравнение упругой линии балки t/= f(z). Пре­ небрегая незначительным влиянием поперечной силы наве­ личину деформации, используем выражение (6.7) кривизны оси балки при чистом изгибе:

Приравнивая правые части уравнений (а) и (Ь), получим приближенное дифференциальное уравнение упругой линии . балки:

Из двух знаков в уравнении (6.13) надо, учитывая приня­ тые знаки кривизны линии и изгибающего момента, выбрать тот, который обеспечит соответствие обеих частей уравнений.

По правилу, установленному в § 40, изгибающий момент положителен, если он соответствует сжатию в части сечения с положительными ординатами. При показанной на рис. 77 наірузке в верхней части сечения (где ординаты у положи­ тельны) будет сжатие, следовательно, Л4>0. Положительной

будет и кривизна упругой линии (/<= -— >0), так как кривая

?

обращена вогнутой стороной в сторону положительной оси оу. Таким образом, знак плюс обеспечит равенство обеих частей уравнения (6.13):

После интегрирования этого уравнения получим для балки с постоянной по всей длине жесткостью ЕІ уравнение углов

Повторное интегрирование дает искомое уравнение упру­ гой линии балки или уравнение прогибов y = f{z) для балки постоянной жесткости:

Разумеется, если жесткость балки меняется по длине бал­ ки, то величину ЕІ надо выразить в виде функции z и оста­ вить под знаком интеграла.

Постоянные интегрирования С и D определяют в каждом конкретном случае из граничных условий па концах того уча­ стка интегрирования, для которого составлено дифференци­ альное уравнение.

Пример 15. Стабилизатор самолета с разнесенным вертикальным опе­ рением рассчитывают при нагрузках, показанных на рис. 78, а, где интен­

балкой, жестко защемленной левым конном в фюзеляже самолета. Эпюры Q к Л4 : гон балки можно построить, не находя опорных реакции, если

и реактивный момент т R .

Распределенную нагрузку разделим на две части: равномерно рас­ пределенную с интенсивностью <72 и нагрузку, изменяющуюся по линей­ ному закону с наибольшей интенсивностью <71—1/2. Равнодействующие этих нагрузок равны (см. рис. 78, а ):

- ma = 0.

98