книги из ГПНТБ / Маршак, М. И. Теория технологической статистики

ГЛАВА Ш. ИССЛЕДОВАНИЕ ВЗАИМОСВЯЗЕЙ В ТЕХНОЛОГИЧЕСКОЙ СТАТИСТИКЕ

§I . Методы исследования взаимосвязей

Втехнологической статистико могут использоваться следующие методы исследования взаимосвязей между явления­ ми; метод аналитических группировок, корреляционый и ре­

грессионный методы, а также в некоторых случаях факторный анализ и метод главных компонентов.

Примеры применения аналитических группировок для ис­ следования взаимосвязей в технологической статистико рас­ смотрены П.М.Рабиновичем^.

Аналитическая группировка является очень денным мето­ дом исследования взаимосвязей. Сведения, полученные с по­ мощью этого метода, во многих случаях могут быть дополне­ ны данными, полученными с помощью корреляционного и рег­ рессионного методов, которые, наряду с направлением свя­ зей, дают возможность проанализировать степень влияния раз­ личных факторов на результирующий и насколько тесно они между сооой связаны.

Область применения аналитической группировки для вы­ явления взаимосвязей значительно более широкая, чем мето­ дов корреляции и регрессии. Однако в тех случаях, когда последние применимы, они дают более точную и тонкую ин­

формацию для анализа, чем метод аналитических группировок. Предпосылки применении корреляционного и регрессионного анализов в технологической статистике рассматриваются в данной главе.

48

Факторный анализ и иетод главных компонентов ис1та<-:/. •

эуются для объяснения корреляции между переменными дей­ ствием общих факторов, чаще всего ненаблюдаемых или неиз­ меримых, или таких, которые не могут бытв выражены коли­ чественно. Впервые, в начале двадцатого века факторный анализ нашел применение в области психологии, однако за последние годы он все более широко используется и в дру­ гих областях знаний, в частности, экономике-*-. Факторный анализ применяется к нормированным нормально распределен­ ным случайным переменным. Его цель - объяснить ковари­ ационную матрицу минимальным числом факторов.

В методе главных компонент результирующий фактор предг ставляют в виде взвешенной суммы ортогональных переменных, называемых главными компонентами.

Линейные комбинации исследуемых переменных (главные компоненты) характеризуются тем, что их дисперсии облада­ ют особыми свойствами. Например, первой главной компонен­ той называется нормированная линейная комбинация с наи­ большей дисперсией. Преобразование от исходных величин к главным компонентам сводится к повороту координатных осей.

На наш взгляд, в технологической статистике эти мето­ ды имеют весьма узкую область применения, так кан многие задачи выявления взаимосвязей могут найти решение в резуль­ тате применения аналитических группировок, корреляционного

1.См.,например, Харман Г.Современный факторный анализ.М., "Статистика",1972.

ЛоулиД, Максвелл А. Факторный анализ как статистичаокий метод,Я.,"-Мир", 1967.

Ф9

§ 2 . Предпосылки и особенности применения регрессионного анализа в технологической статистике

Использование аппарата корреляционного и регрессион­ ного анализа для исследования взаимосвязей в технологичес­ кой статистике требует выполнения ряда предпосылок.

к определению оценок коэффициентов регрессии и сопутствую­ щих им характеристик.

Под корреляционным анализом обычно понимается вычисле­ ние показателей тесноты связи факторов между собой ,т.е. парных,частных и множественных коэффициентов корреляции в олучае линейной зависимости, и корреляционных отношений в случае нелинейной зависимости, а также показателей их надежности.

Выбор формы уравнения регрессии во многих случаях в технологической статистике решается сравнительно просто. Дело в том, что в силу ряда причин (технические нормы, ГОСТы и т . д . ) построение регрессионной модели исследуемого процесса в производственных условиях для широкой области варьирования факторов невозможно, поскольку это требует нарушения нормальной работы объекта. Последнее может при­

50

няют другие методы: максимального|правдоподобия, двухшаговый и трехшаговый метод наименьших квадратов, метод наи­ меньших модулей и т .д .

Для сравнения и классификации оценок используются по­

I.Марков А.А.Исчисление вероятностей.М., Госиздат,192Д.

51

Часто вводится условие:

5) случайная ошибка £ имеет нормальное распределе­ ние j f ( О, 6 ) .

Введение последнего условия позволяет провести ста­ тистический анализ оценок: исследовать их распределение, построить доверительные интервалы для истинных значений

ность оценок для больших выборок сохраняется и в этом случае. В малых выборках эффективность рассматриваемых оценок уменьшается и оценки метода наименьших квадратов перестают быть наилучшими линейными оценками парамет­ ров

Когда распределение случайной ошибки £ предполага­ ется нормальным, то оценки, полученные по методу наимень­ ших квадратов, совпадают с оценками, полученными методом максимального правдоподобия. Бели же закон распределения ошибки £ не будет нормальным, то такого совпадения нет. Например, воли ошибка £ подчиняется закону распределения Лапласа

52

его, определяя отклонения тактических значений

от расчетных (Д , т . е .

'LJ t ~ У'

то в ряде случаев более целесообразным является метод наименьших модулей. Он выбирается также потому, что позволяет легко учитывать ограничения на оцениваемые параметры, записанные в виде неравенств.

Такого рода ограничения иногда необходимо вводить в

технологической статистике.

Рассмотрим возможность применения метода наименьших квадратов при некотором видоизменении исходных предпо­ сылок. Это вызвано тем, что в технологической статистике эти предпосылки могут нарушаться.

ь ряде случаев возникает автокорреляция ошибок. С этим сталкиваются, когда регрессионная модель строится по результатам наблюдений, полученных за достаточно дли­ тельный промежуток времени. Поэтому очень важны крите­ рии, которые могут установить наличие или отсутствие автокорреляции.

Как уже отмечалось, точное значение ошибок нам не­ известно и оно оценивается по результатам отклонений фак тических значений от расчетных. Поэтому проверка осущес­ твляется на основе этих отклонений.

Один из возможных способов проверки автокорреляции изложен в работе Тинтнера Г . *

Этот метод может применяться для нормально распреде­ ленной исходной совокупности, т . е . в данном случае при нормальном законе распределения ошибок. Другой способ проверки автокорреляции, требующий меньшего количества расчетов и применяемый при менее стесненных предпосыл - ках, основан на критерии Дарбина-Уотсона. Основная идеи

1.Тинтнер Г. Введение в эконометрию М .,"Статистика",1965

53

этого способа состоит в следующей*.

Для проверки автокорреляции вычисляют величину

осуществляется аналогично тону, как и в случае положитель­ ной автокорреляции.

Метод наименьших квадратов в случае автокорреляции отклонений дает несмещенные, но неэффективные оценки,т.еъ найденные некоторым другим методом могут дать результаты с меньшей дисперсией. Следовательно, и прогнозы,сделанные на основе этих оценок,будут тоже неэффективными, в оилу чего необходимо проанализировать причины автокорреляции ошибок и постараться их устранял,.

Наличие автокорреляции ошибок имеет следующие причины:

1.Лизер С. Экономические методы и задачи.М.,"Статисюкап, 1971,

54

неправильный выбор аналитического уравнения модели, например, выбор линейной функции вместо квадратической или показательной; в модели не учтены существенный фак­ тор или ряд факторов.

В ряде случаев обнаруживается корреляция случайной ошибки <5 и факторов Х р Х2 , Х3 ... . Х р , входящих в по­ строенную модель. Корреляции такого рода возникая»,ес­ ли при построении модели пренебрегли какой-то важной

наблюдений, в технологической статистике обычно выпол­ няются. Для проверки независимости результатов наблюде­ ний можно использовать непараметрический критерий "вос­ ходящих" и "нисходящих" серий1 .

Условие, -заключающееся в отсутствии ошибок в пере­ менных Х р Х2 . . . Хр )также можно считать-в большинстве случаев выполненным, так как факторы Х р Х2 . . . , Хр обычно представляют собой в технологической статистике показатели расходования производственных ресурсов; рабо­

I.Айвазян С.А. Статистическое исследование зависимостей» М.,"Металлургия"» 1968»

55

ненадежна, в частности, из равенства коэффициента кор­

реляции нулю не следует стохастическая независимость пере­ менных.

Большая часть результатов по регрессионному и корреля­ ционному анализам била получена в предположении нормаль­

Однако проведение регрессионного анализа возможно и в случае некоторого отличия распределения случайной вели­

чины от нормального.* Рассмотрим ряд регрессионных моделей производственно­

го процесса приготовления ботона, полученных при наших исследованиях.

Изучались регрессионные зависимости прочности и удобоукладывасмости от рада (факторов производственного процес­ са . Модели строились для двух целей: для прогнозирования качества бетона; для отыскания оптимальных с экономической точки зрения составов бетона, обеспечивающих заданную проч­ ность и удобоукладываемость.

Наблюдение велось за смесью марки М-300, предназначен­ ной для изготовления железобетонных перекрытий.Произведе­ но обследование 265 замесов, по каждому из них фиксирова­ лись факторы, указанные в табл. 2 . 1 .Для статистической про­ верки случайности и независимости результатов наблюдений

I.Айвазян С.А.Статистическое исследование зависимостей.М., "Металлургия",1968. Айвазян С.Л.,Розанов Ь. А.Тр.Матема­ тического института им. Б.А.Стеклова, XXI,М., "Паука",

1964.

56

использовался критерий "восходящих" и "нисходящих" серий. Проверка осуществлялась следующий образом. Имелись резуль­ таты наблюдений некоторого ^актора, например, прочности бетона нормального хранения по каждому замесу , т . е .

Уз, 2 , LbJ / i , У 3'С 63'

На. £ -том месте этой последовательности ставился плюс,ес­

из них). Очевидно, что последовательность подряд идущих плюсов будет соответствовать тогда возрастанию результа­ тов наблюдения ("восходящая серия"), а последовательность минусов - их убивание ("нисходящая серия"). Критерий основаи на соображении: если выборка случайна ( наблюдения независимы), то в образованной нами последовательности

X { n ) < Z 0 [ n ) ,

где П - число наблюдений;

I.Айвазян С.А.Статистическое исследование зависимостей.Ы., "Металлургия",1968 .

57