Курс Твердотельной электроники

1. Физические основы твердотельной электроники

1.1. Диффузионный и дрейфовый ток в полупроводниках

Дрейфовые токи совпадают по направлению с вектором напряженности электрического поля и пропорциональны его модулю. Коэффициент пропорциональности между напряженностью и плотностью тока называется электропроводностьюи представляет собой произведение заряда электрона, концентрации электроновили дыроки соответствующих подвижностей,, т. е. скорости в единичном полес напряженностью 1 В/см. Отдельно для электронов и дырок:

Распределения концентраций в пространстве порождают диффузионные компоненты потоков и токов, пропорциональные градиентам, перепадам концентраций. Ограничимся одномерными распределениями концентраций ,и потенциала,

Знак “минус” в этом выражении возникает из-за того, что поле направлено от более высокого потенциала к низкому. Градиенты концентраций в одномерном случае будут иметь по одной компоненте и.

Диффузионные компоненты токов могут быть выражены как

Рис. 1. Распределение концентраций и направления потоков и токов при диффузии электронов и дырок.

, . Минус в формуле дырочного диффузионного тока связан с тем, что для дырок направления тока и потока совпадают, а носители всегда диффундируют в сторону убывания концентраций. На рис. 1 показаны направления диффузионных потоков и токов для электронов и дырок.

В условиях электронейтральности концентрации избыточных электронов и дырок примерно одинаковы. Стрелки при кружочках показывают направления потоков. Потоки направлены в сторону убывания концентраций, т. е. против градиентов. Для электронов направления потока и тока противоположны.

Подвижности и коэффициенты диффузии связаны между собой соотношениями Эйнштейна

,

где эВ/К – постоянная Больцмана. При=290 К тепловой потенциал= 0.025 B.

Величины ибудут иметь смысл скоростей диффузии аналогично скоростям дрейфа, аи– некоторых обратных расстояний, на которых происходят изменения концентраций. Эти величины будут определяться граничными условиями конкретных структур.

1.2. Зависимость подвижности от концентрации примесей,

температуры и электрического поля

Сложные кинетические эффекты, связанные с процессами релаксации импульса и энергии, могут быть качественно пояснены на основе простых моделей уравнений движения

, (1.1)

где – импульс носителя заряда;– время релаксации импульса,– электрическая составляющая силы Лоренца.

Производная в левой части и первый член в правой повторяют элементарный закон Ньютона для материальной частицы с массой :, где– ускорение. Второй член в правой части отражает явление торможения из-за столкновений (рассеяний) импульса, происходящих с частотой. Стационарный дрейфовый импульс, который устанавливается в постоянном полев условияхпри,

После выключения поля

и убывает из-за рассеяния по закону

т. е. экспоненциально с постоянной времени.

Стационарная дрейфовая скорость оказывается пропорциональна полю

, так что и подвижностьв слабом поле связаны между собой только отношением заряда к эффективной массе носителя.

Время релаксации импульса зависит от температуры и концентрации рассеивающих центров из-за сложения частот столкновений

, где – частота столкновений с колебаниями решетки;– частота столкновений с ионами примеси.

Термин "частота столкновений" не вполне точно отражает сложные процессы обмена импульсами между подвижными носителями и колебаниями решетки и изменения импульса в полях ионов, но вполне подходит для качественного объснения физики совместного действия примеси и температуры на подвижность. Существенно, например, что

, где – длина свободного пробега на тепловых колебаниях решетки, эта величина зависит только от свойств материала и температуры решетки, а– результирующая скорость, которая складывается из тепловой скорости беспорядочного движения и дрейфовой скорости носителя в электрическом поле. Результирующая скоростьопределяется уравнением переноса для энергии, которое может быть записано аналогично (1.1):

Это уравнение также имеет своим аналогом элементарное соотношение формулы для работы через силуи расстояние,, тогда

В стационарных условиях и в отсутствии поля , в стационарных условиях энергия увеличивается во внешнем поле

В слабом поле и энергия растет пропорционально квадрату поля. Опыт показывает, однако, что в сильных полях скорость насыщается и стремится к величине, такой, чтобы

,

где – энергия оптического фонона. Ограничение дрейфовой скорости энергией оптических фононов и определяет поведение носителей в сильных полях. Такого рода соображения делают понятным смысл аппроксимаций зависимостей подвижностей и дрейфовых скоростей от электрического поля. На рис. 2 представлены зависимости дрейфовых скоростей электронов в кремнии от электрического поля при различных температурах.

Рис. 2. Зависимости дрейфовой скорости электронов от поля при комнатной температуре Т = 290 К и при температуре Т = 100 ^оС (373 К).

Концентрация доноров 10¹⁵ см^-3. С ростом температуры уменьшается решеточная подвижность и также несколько уменьшается максимальная дрейфовая скорость.