- •Ориентировочный план занятий
- •Определенные интегралы
- •Найти неопределенные интегралы:
- •Несобственные интегралы
- •Бесконечные произведения
- •Доказать равенства: 3051. .
- •Исследовать сходимость бесконечных произведений:
- •Эйлеровы интегралы.
- •Двойные и тройные интегралы
- •Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля.
- •*** Доп. Элементы дифференциальной
- •Кудрявцев (I) §24 № 1(1,2), 2, 5, 11(3), 12(1,2,3,4),13.20,21,27,48,51,52,76(3),77(1),78(1), 109(1), 110(1), 118,122,123,124(1,2).
- •Пространственные кривые
- •Экзаменационные вопросы по курсу
- •Первый курс. Второй семестр
Криволинейные и поверхностные интегралы. Элементы теории поля.
1.
Демидович42 (21, 23, 26, 31,32,38, 50, 52,
59*,64,71,72,74,83,84).
Вычислить криволинейные интегралы 1-го рода:
4221.,С–контур треугольника с вершинамиО(0,0), А(1,0), В(0,1).
4223.
4226..
4231.Найти длину дуги кривойx = 3t,y = 3t2, z = 2t3 от О(0, 0, 0) до A(3,3,2).
4232.Найти длину дуги
4238.Вычислить .
Вычислить криволинейные интегралы 2-го рода:
4250.,в направлении возрастания величины х.
4252.,эллипс пробегается против часовой стрелки.
4259*.
4264.вдоль путей, не проходящих через начало координат.
4271. Найти z(х,у),если .
24
Найти первообразную:
4272*
4274*
4283.Вычислить ,
гдеC–контур, ограничивающий часть сферы ,,пробегаемый так, что внешняя сторона поверхности остается слева
4284*Вычислить:
.
.
2.
Демидович43(43,44, 45,52,62, 64, 68,70,73,77, 87,88).
Вычислить поверхностные интегралы :
4343..
4344..
4345..
4352.Найти массу параболической оболочки
(0< z <1) с плотностью.
4362..S – внешняя сторонасферы
x2 + y2 + z2 = a2.
4364.S–внешняя сторона поверхности:.
25
Применить формулу Стокса:
4368.AmB –отрезок винтовой линииот А(а,0,0) до В(а,0,h).
4370.:
x = asin2t, y = 2asintcost, z = acos2t, пробегаемый в направлении возрастания параметра t: .
4373.гдеС–сечение кубах[0,a],y[0,a],z[0,a]плоскостьюх+у+z = 3a/2,пробегаемый против часовой стрелки, если смотреть с положительной стороны осиОх.
Применяя формулу Остроградского, преобразовать:
4377..
4387.
.
4388.Вычислить,S–внешняя сторонасферыx2 + y2 + z2 = a2.
3.
Демидович44 ( 02,22.1,31, 36, 36.1,38, 39, 41, 42,44, 45, 45.1).
4402. В каких точках пространства Oxyz градиент поля U = x3 + y3 + z3 –3xyz: a) осиOz; б) оси Oz; в) = 0.
4422.1.Найти дивергенцию поляв точкеМ(3,4,5).
26
Чему приближенно равен поток векторачерез бесконечно малую сферу.
4431.Жидкость, заполняющая пространство, вращается вокруг осиОz против часовой стрелки с постоянной угловой скоростью.Найти дивергенцию вектора скоростии вектора ускоренияв данной точке M(x, y, z) в данный момент времени.
4436. Найти: a) rot; б) rot .
4436.1.Найти величину и направление,если.
4438.Доказать, чтоdiv .
4439.Найти: a) rot (grad u); б) div (rot).
4441.Найти поток вектора:
a) через боковую поверхность конуса;
б) через основание этого конуса.
4442.Найти поток вектора:
а) через боковую поверхность цилиндра;
б) через полную поверхность этого цилиндра.
4444.Найти поток векторачерез положительный октант сферы ,.
4445.Найти поток векторачерез полнуюповерхностьпирамиды:.
4445.1.Найти поток векторачерез сферу.
27
4.
Демидович44 ( 52, 52.1, 52.2,54,55,57)
4452.Найти работу векторавдоль отрезка винтовой линии
.
4452. 1.Найти работу полявдоль прямолинейногоотрезка .
4452.2.Найти работу полявдоль прямолинейного отрезка ОМ: O(0, 0, 0), М(1, 3, 5).
4454.Найти циркуляцию вектора(с–постоянная): а)вдоль окружности(x– 2)2 +y2 = 1,z= 0;
б) вдоль окружностиx2 +y2 = 1,z= 0.
4455.Найти циркуляциюГвектора вдоль контураСв двух случаях: а)С–не окружает осьОz;
б) С–окружает осьОz.
4457.Показать, что поле
–потенциально и найти потенциал этого поля.
Батыгин,Топтыгин39а,б,в,г,д,е, 40 а,в,д, 42,43,
50(1,4), 51(1,2,3).
39а,б,в,г,д,е. Доказать тождества:
а)
б)
в)
г) ;
д) ;
е) .
28
40 а, в, д.Доказать тождества:
а)
б)
в)
42.Найти функциюудовлетворяющую условию:
43.Найти дивергенции и вихри следующих векторов:
гдеи–постоянные векторы.
50 (1).Вычислить, где-пост. вектор,-орт нормали к поверхности S.
50(4).Вычислить интегралгде–постоянный вектор,–единичный вектор нормали к поверхности S.
51 (1).Интеграл по замкнутой поверхности преобразовать в интеграл по объему, заключенному внутри поверхности(–орт нормали).
51 (2,3).Интегралы по замкнутой поверхностиS и(–постоянные векторы,–орт нормаликS)преобразовать в интегралы по объему, заключенному внутри поверхности.
*** Дополнение
Формула Грина: .
Формула Стокса:
; .
29
Формула Гаусса – Остроградского:
;
.
Формула Ньютона – Лейбница: .
*
; .
Если z = z(x, y), то.
Если т.е., то
; .
*