1.4.7.Потенциальные кривые

Обсудим кратко значение записанных выше формул (1.77) и (1.78). В квантовой механике при изучении движения частиц малой массы (микрочастиц) вместо действующих на них сил задают потенциальную энергию частиц во внешнем потенциальном поле (говорят, задают вид потенциального поля), в котором они движутся. График зависимости потенциальной энергии частицы от координат называют потенциальной кривой. Использование выражений (1.77) и (1.78) позволяет на основе заданного вида потенциальной кривой изучать характер движения и взаимодействия частиц и тем самым предлагать модели объяснения различных физических свойств веществ.

В качестве примера на рис.1.26 приведена потенциальная кривая взаимодействия двух частиц (молекул) в зависимости от расстояния

Рис. 1.26

между ними – одна частица закреплена в начале оси r (r=0) и считается неподвижной, а другая – на расстоянииrот нее. Тогда согласно формуле (1.77) проекция результирующей силы на осьrв какой-либо точке осиrбудет равна тангенсу угла наклона касательной к графикуW_P(r):.

В первом случае(рис.1.26) полная механическая энергия частицы является положительной, что соответствует движению частицы в реальных газах. Как видно из рис.1.26, движение частицы будет поступательным от одного столкновения до другого. На расстояниях действующая на частицу результирующая сила будет силой притяжения (), а приr<r_с– силой отталкивания (). Приr=r_амеханическая энергия частицы будет равна ее потенциальной энергии, т.е. кинетическая энергия частицы обращается в ноль и частица испытывает столкновение с другой частицей, в результате чего она меняет направление своего движения. Говорят, частица налетает на потенциальный барьер и отражается, отскакивает от него.

Во втором случаеполная механическая энергия частицы отрицательна и как следует из рис. 1.26, в жидкостях и твердых телах частица совершает колебательное движение в ограниченной области пространства (), в потенциальной яме, созданной взаимодействием частиц. Расстояниеr=r_ссоответствует положению устойчивого равновесия (потенциальная энергия частицы будет наименьшей). Движение частицы вдоль осиrотr=r_bза счет сил отталкивания будет ускоренным (), оно переходит в замедленное движение приr>r_cза счет сил притяжения. Точкамr=r_bиr=r_dсоответствуют точки поворота в движении частицы.

При увеличении температуры жидкости или твердого тела, полная механическая энергия частицы возрастает, амплитуда ее колебаний увеличивается и за счет несимметричности потенциальной кривой происходит тепловое расширение жидкостей и твердых тел.

Задавая различные виды потенциальных кривых, например, для электронов в твердом теле, можно прийти к хорошо известным моделям описания электронного газа – модель свободных электронов, приближения сильной и слабой связи, которые широко используются для объяснения различных свойств веществ.

1.4.8.Применение законов сохранения импульса и механической

энергии к анализу абсолютно упругого и неупругого столкновений

Как уже отмечалось ранее, законы сохранения позволяют получить важную информацию о взаимодействии тел без детального решения второго закона Ньютона. Рассмотрим ряд важных для практики примеров.

1.Абсолютно неупругий удар– это удар, в результате которого тела после соударения движутся вместе как единое целое. Пусть движущееся со скоростью тело массыm₁сталкивается с движущимся со скоростью телом массыm₂, в результате чего их скорость оказывается равной (рис.1.27)

Рис.1.27

Если эти тела образуют замкнутую систему, то для нее можно записать закон сохранения импульса:

,

из которого следует, что скорость тел после удара будет равна

(1.84)

При таком ударе возникают неконсервативные силы (силы сопротивления), которые переводят часть механической энергии соударяющихся тел в тепловую энергию

, (1.85)

где уголв выражениях (1.84) и (1.85) – угол между векторами и .

В качестве примера рассмотрим взаимодействие молота (масса m₁, скорость его в момент удара ) и наковальни (массаm₂>>m₁, =0) при ковке куска металла. Из формул (1.84) и (1.85) получим

(1.86)

Как следует из выражения (1.86) КПД удара тем выше, чем больше различие в массах наковальни и молота. В этом случае большая доля механической энергии молота переходит во внутреннюю энергию куска металла, идет на его деформацию.

2.Абсолютно упругий центральный удар– это удар, при котором помимо закона сохранения импульса, выполняется также и закон сохранения механической энергии. При таком ударе деформации тел, возникающие в момент соударения, после столкновения полностью исчезают. При центральном ударе тела до и после соударения движутся по одной прямой.

Пусть движущееся вдоль оси Ох со скоростью тело массыm₁сталкивается с движущимся вдоль (>) или против оси Ох со скоростью телом массыm₂, в результате чего их скорости оказываются равными и (рис.1.28). Используя для замкнутой системы, состоящей из двух тел, законы сохранения импульса и механической энергии, найдем проекции скоростей и тел на ось Ох после их соударения

(*)

(**)

Учитывая выражение (**), можно упростить формулу (*)

Подставляя в (**), получим

(1.87)

Рис.1.28