1.4.5. Формула связи потенциальной энергииWp и консервативной силы

Между консервативной силой , действующей между телами, и потенциальной энергией их взаимодействия W_p. существуют определенные формулы взаимосвязи, установим их. Для этого распишем выражение для элементарной работы консервативной силы вдоль произвольного направления ( ) и подставим его в теорему о потенциальной энергии (1.76). Тогда

(1.77)

Выбирая направление, совпадающим с направлениями координатных осей, можно оценить проекции силы на эти оси и тем самым записать формулу взаимосвязи вектора силы и потенциальной энергии

(1.78)

Направление градиента потенциальной энергии в данной точке пространства в формуле (1.78) обозначено как .

Итак, согласно выражению (1.78) консервативная сила, действующая между телами, в каждой точке пространства равна по модулю и противоположна по направлению градиенту потенциальной энергии взаимодействия этих тел.

Проверим полученную формулу (1.78) для поля тяготения Земли (h<<R₃, , рис.1.25). Из формулы (1.74) следует

,

что и требовалось показать

Рис.1.25

1.4.6.Механическая энергия системы тел. Закон сохранения

механической энергии.

Полной механической энергией W_мсистемы тел называют сумму кинетической энергии тел и потенциальной энергии их взаимодействия:

(1.79)

Как уже отмечалось во введении к разделу 1.4, для замкнутой системы из факта неуничтожимости движения материи справедлив закон сохранения всех видов энергий (механической, тепловой, электромагнитной, ядерной и т.д.)

(1.80)

В такой системе механическая энергия может изменяться за счет работы неконсервативных сил: они переводят ее в другие виды энергии (механическая энергия уменьшается, происходит ее диссипация, рассеяние), и, наоборот, другие виды энергии переходят в механическую энергию (она возрастает).

Покажем это, используя теоремы о кинетической (1.65) и потенциальной (1.76) энергиях:

(1.81)

Среди всех неконсервативных сил выделяют диссипативные силы– это силы, которые приводят к уменьшению механической энергии системы. К ним, например, относят силы трения и сопротивления. Так, например, шарик, катящийся по горизонтальной поверхности, с течением времени останавливается из-за того, что работа силы трения переводит часть его механической энергии в тепловую энергию:

Если же в замкнутой системе действуют только консервативные силы (такая система называется замкнутой консервативной системой– з.к.с.), то тогда в ней выполняетсязакон сохранения механической энергии, который гласит:механическая энергия замкнутой консервативной системы остается постоянной

з.к.с.: (1.82)

Если такая система, между телами которой действуют только консервативные силы, находится во внешнем поле консервативных сил (открытая консервативная система- о.к.с.), то и для нее выполняется закон сохранения механической энергии

о.к.с.W_M = const (1.83)

Это связано с тем, что, потенциальная энергия системы является суммой попарных потенциальных энергий взаимодействий тел друг с другом (формула (1.70)) независимо от того входят эти тела в состав системы или нет и поэтому теорема о потенциальной энергии (1.76) будет справедлива и в этом случае.

Так, например, падение тела из состояния покоя в поле тяготения земли в отсутствии сил сопротивления воздуха можно рассматривать в открытой консервативной системе, включающей в себя только падающее тело (тогда падение тела происходит во внешнем силовом поле, созданном землей и тело обладает потенциальной энергией в этом поле) или в замкнутой консервативной системе, включающей в себя тело и Землю.

Можно отметить, что формула, связывающая изменения механической энергии замкнутой системы с работой внутренних неконсервативных сил (1.81) применима и для вращательного движения. Например, при вращении фигуристки ее момент импульса относительно вертикальной оси вращения остается постоянным (), а момент инерции зависит от положения ее рук (Iизменяется) и поэтому ее кинетическая энергия

будет изменяться за счет работы неконсервативных внутренних сил системы.