Тема 3_интеграл по фигуре

1 x 3

ЗАДАЧА

2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x2 y2 z2 2 a3x .

ЗАДАЧА

3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : поверхность

(0 z 1), 5x2 5y2 3z2.

z

x2 y2 ,

ЗАДАЧА

7. Найти момент инерции относительно начала координат: плоская фигура

1 x 2,

x y 2x, z 0 при 1.

ЗАДАЧА

8. Найти среднее значение функции f (x, y,z) на фигуре: f (x, y, z) 3x 1 на

(0 x 1).

y 4 x2

Вариант 12

2

2 y

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dy

f (x, y)dx.

6

y2 4 1

2x 2y z 8R , расположенная внутри цилиндра x2

y2 R2 .

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести

заданной фигуры: однородная

дуга

x t sint, y 1 cost, z 1, 0 t .

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: y 2

от x 0 до x 1.

x

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат: тело x2 y2 z2

R2,

z 0 при kz2 (0;0;R) 0 .

Вариант 13

2a

4ax

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy .

Вариант 14

1

3 y2

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dy

f (x, y)dx.

0

y2 /2

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: cos4 ( 4) .

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат: кривая x t,

y t2,

z

2

t3 при 1.

3

sin x

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy.

0

0

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x 2y z, x 2y 2, x 2y 5, x 1, x 3, z 0.

ЗАДАЧА 3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : поверхность

2z 9 x2 y2,

z 0,

x2 y2 z 2 .

ЗАДАЧА

7.

Найти момент

инерции относительно начала координат: плоская область,

ограниченная линией x2 y

2 2

8a2xy, x 0, y 0

при 1.

ЗАДАЧА

8.

Найти среднее значение функции

f (x, y) на фигуре: f (x, y) xy на линии

x 2y 3 0 от A(1,2) до B(3,3) .

1

3 y

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования:

dy

f (x, y)dx.

0

y

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

z 25 x2 y2, x 2, x 2, y 3, y 3, z 0.

ЗАДАЧА 3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : плоская фи-

гура, ограниченная линией x2 y2 2

a2 x2 y2 ;

x2 y2.

z2 x2 y

2, ограниченная плоскостями z h ,

z h

0 h

h .

1

2

1

2

ЗАДАЧА

5.

Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: дуга кривой x t,

y t2 1, z 2

между точками A 0,1,2 , B 1,2,2 ; плотность в каждой точке пропорциональна

абсциссе этой точки.

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: y ln x между точками x

и x

.

3

8

ЗАДАЧА

7. Найти момент инерции относительно начала координат: часть плоскости

z 3y x,

вырезанная плоскостями y

1

x, x 2, y 0 при 1.

2

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции

f (x, y,z) на фигуре: f (x, y,z) 2 y на фи-

гуре, ограниченной поверхностями z

R2 x2

y2

,

z 0,

x 0, y 0.

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dy

f (x, y)dx dy

f (x, y)dx .

0

3

y

3

3

y

x t,

y t2, z t3, 0 t 1; 1 4y 9xz .

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: плоская фигура,

огра-

ниченная линиями y

2x x2

, y 0; x,y const.

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: x et cost sint , y et cost sint между t

0 и

t2 1.

1

ЗАДАЧА

7. Найти момент инерции относительно начала координат: часть плоскости

x z 1, вырезанная плоскостями y x, y 2x, y 1, y 2

при 1.

ЗАДАЧА

8. Найти среднее значение функции f (x, y,z)

на фигуре: f (x, y,z) 2 y на фи-

3

3y

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования: dy f (x, y)dx .

1

y

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

z 4 x2, 2x y 4, x 0, y 0, z 0.

ЗАДАЧА 3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности :

x2 3y2 z2 5 .

поверхность y

x2 z2 ,0 y 2;

ЗАДАЧА

7. Найти момент инерции относительно начала координат: плоская область

x 2,

4 x2

y

4 x2

при 1.

3

ЗАДАЧА

8. Найти среднее значение функции f (x, y,z) на фигуре: f (x, y,z) z2 1 на 1-м

витке кривой x acost ,

y asint , z bt .

ЗАДАЧА

1.

Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy .

0 2x

ЗАДАЧА

2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x 6 z2 y2, x2 y2 z2, x 0.

ЗАДАЧА

3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : тело, огра-

ниченное поверхностями z xy, y x,

x 1, z 0; xy2z3.

ЗАДАЧА

4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: плоская область,

ограниченная кривыми 2

2cos .

3sin ,

ЗАДАЧА

5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: часть поверхности

z

x2 y2

, вырезанная цилиндром x a 2 y2 a2 ;

поверхностная плотность в каждой

точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки до начала координат.

2

2

ЗАДАЧА

6.

Вычислить длину дуги кривой: y

x4

4 x3 между точками пересечения

x

3

с осью Ox .

5

ЗАДАЧА

7. Найти момент инерции относительно

начала координат: кривая x 2t,

y lnt, z t2, 1 t 2 при (x2 y2

z2) 1.

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y)

на фигуре: f (x, y) x y на плоской

2

x 2

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy .

1

x2

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

z x2 y2, y x2, y 1, z 0 .

ЗАДАЧА 3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : дуги кривой

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: x e t cost, y e t sint, z e t ,

0 t 2 .