Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Тема 3_интеграл по фигуре

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
595.64 Кб
Скачать

Вариант 11

3 2x

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dx f (x, y)dy .

 

 

 

 

1 x 3

ЗАДАЧА

2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x2 y2 z2 2 a3x .

ЗАДАЧА

3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : поверхность

 

 

 

(0 z 1), 5x2 5y2 3z2.

z

x2 y2 ,

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: поверхность, обра-

зованная вращением вокруг оси Ox дуги y2 2x 0 x 4 .

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: однородное тело, огра-

ниченное поверхностями z x2 y2 , x y 1, x 0, y 0, z 0.

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: x 6t, y 3t2, z t3 от O 0;0;0 до B 6;3;1 .

ЗАДАЧА

 

7. Найти момент инерции относительно начала координат: плоская фигура

1 x 2,

x y 2x, z 0 при 1.

ЗАДАЧА

 

8. Найти среднее значение функции f (x, y,z) на фигуре: f (x, y, z) 3x 1 на

 

 

(0 x 1).

y 4 x2

Вариант 12

 

2

2 y

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dy

f (x, y)dx.

6

y2 4 1

ЗАДАЧА 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: y z 2, y x2, z 0.

ЗАДАЧА 3. Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : плоская фи-

гура, заданная неравенствами x2 y2 1, x2 y2 4; x4 2x2y2 y4 .

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: часть поверхности

2x 2y z 8R , расположенная внутри цилиндра x2

y2 R2 .

 

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести

заданной фигуры: однородная

дуга

x t sint, y 1 cost, z 1, 0 t .

 

 

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: y 2

 

 

от x 0 до x 1.

 

x

 

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат: тело x2 y2 z2

R2,

z 0 при kz2 (0;0;R) 0 .

 

 

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y,z) на фигуре: f (x, y,z) 2z 1 на по-

верхности, вырезанной цилиндром x2 y2 2y.

Вариант 13

 

 

2a

 

 

4ax

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy .

0 2ax x2

ЗАДАЧА 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

2x 3y 12, z y22, x 0, y 0, z 0 .

ЗАДАЧА 3. Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : тело, огра-

ниченное поверхностями x2 y2 z2 R2 , y 0 ; 1 x2 y2 z2 1 .

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: плоская область,

ограниченная линиями y ex , y e2x , x a.

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: часть плоскости z x, ограниченная плоскостями x y 1, y 0, z 0.

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: x t2, y t t2 3 между точками пересечения

3

с осью Ox .

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат: плоская область,

ограниченная линией x2 2ax y2 0 при 1.

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y,z) на фигуре: f (x, y,z) z 1 на 1-м витке кривой x et cost , y et sint, z et .

Вариант 14

 

 

 

 

 

 

1

 

3 y2

 

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dy

 

f (x, y)dx.

0

y2 /2

ЗАДАЧА 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z 4 y2, z y2 2, x 1, x 2.

ЗАДАЧА 3. Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : тело, огра-

ниченное поверхностями x2 z2 1, y 0, y 1; x2 y2 z2 3.

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: поверхность, обра-

зованная вращением вокруг оси Ox одной арки циклоиды x t sint, y 1 cost .

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: полусфера; в каждой её точке поверхностная плотность численно равна расстоянию этой точки от радиуса, пер-

пендикулярного основанию полусфер.

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: cos4 ( 4) .

 

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат: кривая x t,

y t2,

z

2

t3 при 1.

 

 

 

3

 

 

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y) на фигуре: f (x, y) x y на обла-

сти, ограниченной линиями y x , y x 0, y 1.

Вариант 15

 

 

 

 

sin x

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy.

 

 

 

0

0

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x 2y z, x 2y 2, x 2y 5, x 1, x 3, z 0.

 

ЗАДАЧА 3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : поверхность

2z 9 x2 y2,

z 0,

x2 y2 z 2 .

 

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: поверхность, обра-

зованная вращением вокруг оси Oy кривой 3x2 4y2 12 .

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: тело, ограниченное поверхностями x2 y2 z2 R2 , z 0 z 0 ; плотность в каждой точке x2 y2 z2 3 .

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: полувиток винтовой линии x acost, y asint, z bt .

ЗАДАЧА

7.

Найти момент

инерции относительно начала координат: плоская область,

ограниченная линией x2 y

2 2

8a2xy, x 0, y 0

при 1.

ЗАДАЧА

8.

Найти среднее значение функции

f (x, y) на фигуре: f (x, y) xy на линии

x 2y 3 0 от A(1,2) до B(3,3) .

 

 

Вариант 16

 

 

 

1

3 y

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования:

dy

f (x, y)dx.

 

 

 

0

y

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

z 25 x2 y2, x 2, x 2, y 3, y 3, z 0.

 

 

ЗАДАЧА 3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : плоская фи-

гура, ограниченная линией x2 y2 2

a2 x2 y2 ;

x2 y2.

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: часть конуса

z2 x2 y

2, ограниченная плоскостями z h ,

z h

0 h

h .

 

 

 

1

2

1

2

 

 

 

 

ЗАДАЧА

5.

Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: дуга кривой x t,

y t2 1, z 2

между точками A 0,1,2 , B 1,2,2 ; плотность в каждой точке пропорциональна

абсциссе этой точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: y ln x между точками x

 

и x

 

.

3

8

ЗАДАЧА

7. Найти момент инерции относительно начала координат: часть плоскости

z 3y x,

вырезанная плоскостями y

1

x, x 2, y 0 при 1.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции

f (x, y,z) на фигуре: f (x, y,z) 2 y на фи-

 

 

 

 

 

 

 

гуре, ограниченной поверхностями z

 

 

R2 x2

y2

,

z 0,

x 0, y 0.

Вариант 17

3 y 4 8 10 y

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dy

 

f (x, y)dx dy

f (x, y)dx .

0

3

y

3

3

y

 

ЗАДАЧА 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x2 y2 z2 2 az x2 y2 .

ЗАДАЧА 3. Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : дуга кривой

x t,

 

 

 

y t2, z t3, 0 t 1; 1 4y 9xz .

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: поверхность, обра-

зованная вращением вокруг оси Ox одной волны синусоиды.

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: плоская фигура,

огра-

ниченная линиями y

2x x2

, y 0; x,y const.

 

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: x et cost sint , y et cost sint между t

0 и

t2 1.

1

 

 

 

 

ЗАДАЧА

7. Найти момент инерции относительно начала координат: часть плоскости

x z 1, вырезанная плоскостями y x, y 2x, y 1, y 2

при 1.

ЗАДАЧА

8. Найти среднее значение функции f (x, y,z)

на фигуре: f (x, y,z) 2 y на фи-

гуре, ограниченной плоскостями z 2 2x y, x 0, y 0, z 0.

Вариант 18

 

 

 

 

3

3y

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования: dy f (x, y)dx .

 

 

 

 

1

y

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

z 4 x2, 2x y 4, x 0, y 0, z 0.

 

ЗАДАЧА 3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности :

 

 

 

x2 3y2 z2 5 .

 

поверхность y

x2 z2 ,0 y 2;

 

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: часть цилиндра x2 y2 R2 , заключённого между плоскостями y z 0, z 0.

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: тело, ограниченное па-

раболоидом by x2 z2 и плоскостью y b; в каждой точке плотность равна квадрату

расстояния её до оси Oy .

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: x et cost, y et sint, 0 t ln .

ЗАДАЧА

7. Найти момент инерции относительно начала координат: плоская область

 

 

x 2,

 

4 x2

y

 

4 x2

при 1.

 

3

ЗАДАЧА

8. Найти среднее значение функции f (x, y,z) на фигуре: f (x, y,z) z2 1 на 1-м

витке кривой x acost ,

y asint , z bt .

Вариант 19

2 6 x

ЗАДАЧА

1.

Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 2x

ЗАДАЧА

2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x 6 z2 y2, x2 y2 z2, x 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА

3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : тело, огра-

ниченное поверхностями z xy, y x,

x 1, z 0; xy2z3.

ЗАДАЧА

4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: плоская область,

ограниченная кривыми 2

 

 

2cos .

 

 

 

 

3sin ,

 

 

 

 

ЗАДАЧА

5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: часть поверхности

z

x2 y2

 

, вырезанная цилиндром x a 2 y2 a2 ;

поверхностная плотность в каждой

точке пропорциональна квадрату расстояния этой точки до начала координат.

 

 

 

2

 

 

 

2

 

 

 

ЗАДАЧА

6.

Вычислить длину дуги кривой: y

x4

 

 

4 x3 между точками пересечения

x

 

3

с осью Ox .

 

 

 

5

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА

7. Найти момент инерции относительно

начала координат: кривая x 2t,

y lnt, z t2, 1 t 2 при (x2 y2

z2) 1.

 

 

 

 

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y)

на фигуре: f (x, y) x y на плоской

области, ограниченной линиями x2 y 2, y x, y x, y 0 .

Вариант 20

 

2

x 2

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy .

 

1

x2

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

z x2 y2, y x2, y 1, z 0 .

 

ЗАДАЧА 3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : дуги кривой

x Rsin2 t, y Rsintcost, z Rcost, 0 t 2; 1 xR .

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: поверхность, обра-

зованная вращением вокруг оси Oy дуги AB кривой x 4 t22, y t33, где A x,0 ,

B 0, y .

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: плоская однородная

фигура, ограниченная одной петлёй кривой asin2 .

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: x e t cost, y e t sint, z e t ,

0 t 2 .

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат: части поверхности z 12 x2 y2 , z 1 при 1.

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y,z) на фигуре: f (x, y,z) 2 y на фи-

гуре, ограниченной поверхностями z x2 y2 , z 1.

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.