Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Тема 3_интеграл по фигуре

.pdf
Скачиваний:
17
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
595.64 Кб
Скачать

Вариант 1

1 2x 2 2x

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy

dx f (x, y)dy .

 

0

 

x

1

x3

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x2 y2 z2 c2 0, x 0, z 0, x

3

y, z 0 .

 

 

 

 

ЗАДАЧА 3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности :

треугольник с вершинами A 0;0 , B

 

 

 

, C

 

 

 

,

x2 y2.

 

2;

2

2,

6

 

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части:

часть сферы x2 y2 z2 R2 , расположенная внутри цилиндра x2 y2 Rx.

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры:

дуга x acost, y asint, z bt, 0 t 2; линейная плотность в точке M x, y,z пропор-

циональна произведению координат x и y .

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: y2 94 x 2 3, отсечена прямой x 3.

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат. Тело, ограниченное поверхностями z 1 x, y x 1, x 0, y 0, z 0 при 1.

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y,z) на фигуре: f (x, y,z) 2z 1 на по-

верхности z x2 y2 , заключённой внутри цилиндра x2 y2 4.

Вариант 2

 

 

 

 

8

10x x2

 

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy .

0

x 2

ЗАДАЧА 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

2x y z, x 2y 5 0, 2x 3y 18, y 2, z 0 .

ЗАДАЧА 3. Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : кольцо

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2

4 2;

cos x2

y2

.

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА

4. Вычислить

площадь заданной

поверхности или ее

части:

z2 2xy при

0 y 4, 0 x 2, z 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры:

 

 

дуга x et cost, y et

sint, z et, t 0; x, y, z const .

 

 

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: x2 y 1 3, отсечена прямой y 4.

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат: тело,

ограниченное

поверхностями z

x2 y2

, z

R2 x2 y2

при z R .

 

 

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции

f (x, y,z) на фигуре:

f (x, y,z) 2z 1 на по-

верхности y z 1, ограниченной плоскостями

x 0, x 1, y 0, z 0.

 

 

Вариант 3

 

 

1

y2 1

 

2

2

ЗАДАЧА

1.

Изменить порядок интегрирования: dy

 

f (x, y)dx

dy f (x, y)dx.

 

 

0

y2

1

y2

ЗАДАЧА

2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

 

x2 y2 z 2 0, x2 y2 4z 13 0.

 

 

 

 

ЗАДАЧА 3. Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : часть поверхности y c2 z2 , x 0, x a, y x z .

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: часть цилиндра x2 y2 Rx, расположенного внутри сферы x2 y2 z2 R2 .

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: однородное тело, огра-

ниченное плоскостями 2x 3y 12,

x 0, y 0, z 0

и

цилиндрической поверхностью

z 1 y2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: sin

3

 

.

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 7. Найти

момент

инерции

относительно

начала

координат:

дуги x 2cost,

y 2sint, z 4t, 0 t 2 при

1.

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 8. Найти

среднее

значение функции

 

f (x, y)

на

фигуре:

f (x, y) x y на

x y 2, 0 y x.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант 4

 

 

 

2

2

 

2 x

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования:

 

 

 

dx f (x, y)dy.

 

 

 

2

 

2

 

x2 4x

 

 

 

 

 

 

 

4

 

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x2 y2 z 0, x 2, y 3, x 0, y 0, z 0.

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 3.

Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : тело,

ограниченное поверхностями z x2 y2 , z c ,

c 0 ; (x2 y2 z)4.

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь

заданной поверхности или ее части: часть цилиндра

y2 z2 R2 , заключённого внутри

цилиндра x2 y2

R2 .

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: часть цилиндрической

поверхности y

9 z2 , отсечённой плоскостями x 0,

x 2 ; поверхностная

плотность

x, y,z ky x z .

 

 

 

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: asin .

 

 

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат дуги

x e t cost,

y e t sint, z e t , 0 t 1 при 1.

 

 

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y) на фигуре: f (x, y) x y

на x y 1,

x y 1, x 0.

 

 

 

Вариант 5

 

 

 

 

 

2

2

y

2

 

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dy

 

f (x, y)dx.

1

 

y 1

 

ЗАДАЧА 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: y 1 x2, z 3x, y 5, z 0.

ЗАДАЧА 3. Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : тело, огра-

ниченное поверхностью x2 y2 z2 R2 ; x2 y2 z2 3 .

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: часть параболоида x2 y2 6z, заключённого внутри цилиндра x2 y2 2z.

ЗАДАЧА

5.

Найти координаты

центра тяжести заданной фигуры: часть

плоскости

x y z 1,

заключённой

в

первом

октанте,

поверхностная

плотность

x, y,z 1 x z 2 .

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА

6. Вычислить длину дуги кривой:

x et cost, y et sint, z et от A 1;0;1 до

B 0;e 2 ;e 2

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат: дуги y

2

x1,5,

z 0,

 

0 x 1 при k x2

3

 

 

y2 z2 .

 

ЗАДАЧА

8. Найти

среднее значение функции f (x, y) на фигуре: f (x, y) x y на

x2 y2 1,

x 0, x y .

 

 

Вариант 6

 

 

4

y2 8 2

ЗАДАЧА 1.

Изменить порядок интегрирования: dy

f (x, y)dx .

 

4

y2 4 4

ЗАДАЧА 2.

Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями:

x 2y z 4, x 2y2, y 0, z 0

 

ЗАДАЧА 3. Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : часть плос-

кости, ограниченная кривой

x2 y2

16;

 

 

1

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

25 x2

y2

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: плоская область,

ограниченная кривыми в плоскости XOY 3x2 25y , 5y2 9x.

ЗАДАЧА

5. Найти координаты центра тяжести заданной

фигуры: однородная дуга

y ch x, 0 x ln 2.

 

ЗАДАЧА

6. Вычислить длину дуги кривой: x 2acost acos2t,

y 2, z 2asint asin2t,

0 t 2 .

 

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат: тело, ограниченное

поверхностями x2 y2 a2, x z a , z 0 при 1.

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y,z) на фигуре: f (x, y,z) 2z 1 на по-

верхности x y 1, ограниченной плоскостями x 0, y 0, z 0, z 4.

Вариант 7

 

 

 

 

 

 

y2 2

 

2

 

 

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования:

dy

f (x, y)dx.

 

 

 

2

 

y2

ЗАДАЧА 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x2 y2 z2 a2, x2 y2 ax .

ЗАДАЧА 3. Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : часть поверхности z R2 x2 y2 ,z 0, x2 y2 z2.

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: плоская область,

ограниченная кривыми в плоскости XOY xy 4, x y 5.

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: однородное призматическое тело, ограниченное плоскостями x 2z 3, x 0, y 1, y 3, z 0 .

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: x 2 t44, y 4, z t66 t 0 между точками пересечения с плоскостями x 0, z 0 .

ЗАДАЧА 7. Найти момент инерции относительно начала координат: часть плоскости x2 y2 2ay, z 0 при 1.

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y) на фигуре: f (x, y) 3 x на

0 y ch x, x [ 1,1].

Вариант 8

2 1 x2

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy .

2 1 x2

ЗАДАЧА 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z x2 y2 , z x2 y2 .

ЗАДАЧА 3. Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : дуга x2 y2 z2 R2, y z, x2 2z2 .

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: часть сферы x2 y2 z2 3a2 , заключённая внутри параболоида x2 y2 2az .

ЗАДАЧА

5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: однородная плоская

фигура, ограниченная линиями y2 4x 4, y2 2x 4 .

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: 1 cos .

ЗАДАЧА

7.

Найти момент инерции относительно начала координат: часть поверхности

конуса z

 

x

2 y2

, вырезанная поверхностями y x2, y x 2, y 0 при 1.

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y,z) на фигуре: f (x, y,z) 2 y на x y 2, 0 z 4, x 0 , y 0.

Вариант 9

 

 

4

 

2x x2

3

 

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dx

f (x, y)dy .

0

 

x2 /2

ЗАДАЧА 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: x2 y2 a2, x2 z2 a2 .

ЗАДАЧА 3. Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : тело, огра-

ниченное поверхностями x y z 1, x 0 , y 0, z 0; 4x 3y z 2 4 .

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: поверхность, об-

разованная вращением кривой y x3 2/3 x 2/3 вокруг оси Ox .

ЗАДАЧА

5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: однородная поверх-

ность параболоида y2 z2 10x, отсечённая плоскостью x 10.

 

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой: acos

3

.

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА

7. Найти момент инерции относительно начала координат: дуга

x t sint,

y 1 cost,

z 4sin

t

, 0 t при 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 8. Найти среднее значение функции f (x, y) на фигуре: f (x, y) x y

на y x,

0 y 1, x 2 .

 

 

 

 

Вариант 10

1

1/ y

ЗАДАЧА 1. Изменить порядок интегрирования: dy f (x, y)dx.

12 y

ЗАДАЧА 2. Вычислить объем тела, ограниченного поверхностями: z x2 y2, x2 y2 8, x y 0, 3x y 0, z 0, x 0, y 0.

ЗАДАЧА 3. Вычислить массу неоднородной фигуры с функцией плотности : дуга

a 1 cos , x2 y2 .

ЗАДАЧА 4. Вычислить площадь заданной поверхности или ее части: поверхность, обра-

зованная вращением вокруг оси Ox астроиды x acos3 t, y asin3t .

ЗАДАЧА 5. Найти координаты центра тяжести заданной фигуры: однородная плоская

 

x

2

 

y2

 

x

 

y

 

фигура, ограниченная эллипсом

 

 

 

 

1

и его хордой

 

 

 

1.

 

25

9

5

3

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА 6. Вычислить длину дуги кривой:

x cos2t, y sin 2t, z 4t

от A 1;0;2 до

B 1;0;0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ЗАДАЧА

7. Найти момент инерции относительно начала координат: тело, ограниченное

поверхностями y x, y 3x, z 3x , x 2 , z 0 при 1.

ЗАДАЧА

8. Найти среднее значение функции f (x, y,z) на фигуре: f (x, y,z) 2z 1 на

z R2 x2 y2 .

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.