Тема 2_определенные интегралы
.pdfВариант 1
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
1. |
Вычислить интегралы: |
а) |
ln(x 1)dx; |
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
в) |
x2 |
|
a x2 dx . |
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
0 |
|
2x 1 |
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) x2 |
|
на отрезке 0,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Оценить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
10 3cos |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x 2y2, |
|
x 1 3y2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить площадь фигуры, лежащей вне круга a и ограниченной кривой 2acos3 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y 1 2 x, |
|
|
y 2, |
|
x 0, |
|
а) вокруг оси Oy , |
|
|
б) вокруг оси Ox . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить длину одной арки циклоиды x a t sint , |
|
y a 1 cost . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
3 |
|
dx |
|
|
|||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
а) |
x3ex |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
в) |
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 x2 3 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
|
|
|
|
||||||||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) sin2 |
x |
на отрезке 0, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3. |
Оценить интеграл |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
8 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить площадь фигуры, заключенной между параболой |
y x2 |
2x 3, касательной к ней в |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точке M 2, 5 и осью ординат. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
5. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью a, кардиоидой |
a 1 cos и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
содержащей точку с декартовыми координатами |
|
,0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
y sinx, |
x |
|
, |
y 0 , |
|
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Вычислить длину астроиды x a cos3 t, |
y a sin3 t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
4 |
lncos |
x |
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
а) |
dx ;б) |
|
|
|
|
dx; |
|
в) |
|
|
|
|
|
|
8 |
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
0 |
cos |
x |
|
|
4 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) a bcosx |
|
|
на отрезке , . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Оценить интеграл |
|
|
3 x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
8 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями y2 10x 25, |
|
y2 6x 9 . |
|
|
|
|
|
5.Вычислить площадь одного лепестка кривой 4sin2 .
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной полукубической параболой
y2 x3 , осью Ox и прямой x 1, |
а) вокруг оси Ox |
|
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
7. Найти длину дуги кривой x t2 |
2 sint 2t cost, |
y 2 t2 cost 2t sint , заключенной |
|
между точками, соответствующими значениям параметра t1 0, |
t2 . |
Вариант 4
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
29 |
|
3 x 2 2 |
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
xsin |
x |
|
|
|
4 x |
|
||||||||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
а) |
|
|
dx; |
б) |
|
|
|
|
|
|
dx; |
в) |
|
|
dx . |
|||||||
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
cos |
x |
3 3 3 x 2 2 |
1 |
|
x |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
на отрезке 1, 5 . |
|
|
|
|
|
||||||
2. |
Найти среднее значение функции f (x) 3x2 |
2x 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
2 |
2 |
3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл |
|
x |
dx |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
1 |
x |
1 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Найти площадь фигуры, лежащей выше оси Ox и ограниченной линиями y2 4x , y 2x 4 .
5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли 2 a2 cos2 и лежащей
внутри окружности a .
2
6. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
x2 y2 a2, |
x 2a, |
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
Найти длину дуги кривой x et cost, |
y et sint , |
|
заключенной между точками, |
|||||||||||||||||||||||||||
соответствующими значениям параметра t1 0, |
|
t2 ln . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
|
Вариант 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ln5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x2 |
||||||||||
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
x |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
1. |
Вычислить интегралы: а) |
|
|
sin |
|
|
dx; |
б) |
|
e |
|
|
e |
|
1 |
dx; |
|
в) |
|
|
|
|
|
|
dx . |
||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
x |
2 |
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
0 |
|
|
e |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
2 |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) cos3 |
x |
на отрезке 0, 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл |
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
3 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между параболами y 4x2 , |
y |
|
и прямой y 2. |
|||||||||||||||||||||||||||
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5.Вычислить площадь четырехлепестковой розы asin4 .
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
y x2 1, |
x 1, |
x 1, |
|
y 0, |
а) вокруг оси Ox , |
|
|
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить длину дуги кривой x 8at3, |
y 3a 2t2 |
t4 , |
заключенной между точками, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
соответствующими значениям параметра t1 0, |
t2 |
|
|
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
ln2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2a |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
arcsin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
a2 |
|
||||||||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
а) |
dx ; |
б) |
|
|
|
|
|
ex 1dx; |
|
в) |
|
dx . |
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
4 |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
0 |
|
1 x |
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
||||||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) 10 2sin x 3cosx |
на отрезке 0, 2 . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл |
|
x |
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
0 |
x |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y 2x, |
y 2 2x , x 0, |
y 2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 2cos , |
1 (вне круга |
|
1). |
|||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
x2 y2 1, |
y 0, |
y |
|
|
3x |
, |
а) вокруг оси Ox , |
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Найти длину дуги кривой x 8sint 6cost, |
y 6sint 8cost , |
|
заключенной между точками, |
|||||||||||||||||||||||||||||||
соответствующими значениям параметра t |
0, |
t |
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 7 |
|
|
|
|
|
|
|||
|
1 |
5 |
|
|
|
2 |
|
|
x2dx |
|
|
|
|
xdx |
|
2 |
|
|
|
||||
1. |
Вычислить интегралы: а) x 1 e xdx ; |
б) |
|
; в) |
|
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
1 |
|
4x 5 |
0 |
|
2 x2 3 |
||||
2. |
Найти среднее значение функции f (x) 3x |
2x 3 на отрезке 0, 2 . |
|||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл ex2 x dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4.Найтиплощадь фигуры, заключенноймеждулиниями y x3, y x, y 2x x 0 ,.
5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью a, кардиоидой a 1 cos и
содержащей точку M a2, 0 .
6. Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями
x2 y2 4, |
y 2, |
x 0, |
а) вокруг оси Oy , |
|
|
|
б) вокруг оси Ox . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
t |
2 |
, |
y |
2 |
t |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
Вычислить длину дуги полукубической параболы |
|
|
|
|
|
|
|
, |
|
заключенной между точками, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
соответствующими значениям параметра t1 0, |
|
|
t2 2 |
|
2 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
а) |
|
x2 sin xdx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
в) |
|
9 |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
|||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) |
|
|
|
на отрезке |
0,100 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Оценить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
4 5x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями x y |
2 |
, |
|
x |
|
|
3 |
y |
2 |
1. |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
5. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью a, кардиоидой a 1 cos |
и |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
содержащей точку M |
|
|
a, 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y ex, |
|
x 0, |
x 2, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) вокруг оси Ox , |
|
|
|
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
7. |
Найти длину дуги логарифмической спирали x et |
|
sint, |
|
|
|
|
y et |
cost , |
заключенной между |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точками, соответствующими значениям параметра t |
0, |
|
t |
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. |
Вычислить интегралы: а) |
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в) (x 4) arctgxdx . |
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
0,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) |
4 x2 |
на отрезке |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x5 1
3.Оценить интеграл dx .
1 x3 1
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y x, |
x 0, |
y2(x2 4) 32 . |
|
|||
5. Вычислитьплощадьфигуры,ограниченнойлиниями 2 1 cos , 2 |
исодержащейточку M 1,0 . |
||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y3 y x, |
x 0, |
|||||
|
а) вокруг оси ox, |
б) вокруг оси oy. |
|
|
|
|
|
7. |
Найти длину дуги кривой x 2 cos3 t, |
y sin3 t , |
0 t /2 . |
|
|
Вариант 10
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
2 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
||
1. |
Вычислить интегралы: а) |
ctg x ln(sin x)dx; |
б) |
|
|
|
|
|
; в) |
(x2 |
1) cosxdx . |
|||
|
|
|
2 |
|
2 |
|||||||||
|
6 |
|
|
|
2 |
3 4 x |
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найти среднее значение функции f (x) |
|
1 |
на отрезке 3, 0 . |
|
|
||||||||
x2 |
4x 5 |
|
|
|||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл x4 e x2dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y3 y x , |
y 1 x 2 , y 0. |
|
|||
5. |
Вычислитьплощадьфигуры,ограниченнойлиниями 2 1 cos , |
2 исодержащейточку M 1,0 . |
||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x 3 x , |
y x, |
||||
|
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
7. |
Найти длину дуги кривой x 6at5, |
y 5at 1 t8 , |
0 t 1 . |
|
Вариант 11
|
|
4 |
|
1. Вычислить интегралы: а) |
tg x ln(cos x)dx; |
0 |
|
2. Найти среднее значение функции f (x)
1
x2 2x 5
4
3. Оценить интеграл x2 e x2dx .
4 |
dx |
|
|
0 |
|
б) |
|
; |
в) (x2 |
4) cos(3x)dx . |
|
|
3 |
||||
0 (16 x2) |
2 |
|
2 |
|
|
на отрезке 31, |
. |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y |
|
1 |
|
y |
|
|||||
4. |
|
|
, |
|
. |
|
|||||
|
|
2 |
|
||||||||
|
|
|
|
1 x2 |
|
|
|
||||
5. |
Вычислитьплощадьфигуры,ограниченнойлинией 2 cos2 |
и лежащейвнелинии 2 sin . |
|||||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями 2y x2, |
2x 2y 3 0 , |
|||||||||
|
x 0 (x 0) |
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Найти длину дуги кривой x et cost, |
y et sint , |
0 t 1 . |
|
|
|
|
Вариант 12
|
|
3 |
x arctg |
4 x |
|
||
1. |
Вычислить интегралы: |
а) |
dx ; |
||||
2 |
|
||||||
|
|
0 |
|
1 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
2. |
Найти среднее значение функции f (x) ln2 x |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл ex |
1 x2dx . |
|
|
|||
|
1 |
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
2 |
|
б) |
16 x2dx; |
в) (1 5x2) sin xdx . |
|
0 |
|
|
0 |
на отрезке 1, e .
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y2 2x 1, y x 1. |
|
|
|
|||||||
5. |
Вычислить площадь общей части фигур, ограниченных линиями 3 cos4 , |
2 cos4 . |
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y |
|
2x 2 и |
||||||||
2 |
|||||||||||
|
y 2, |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Найти длину дуги кривой x a(3cost cos3t), |
y a(3sint sin3t), заключенной между точками, |
|||||||||
|
соответствующими значениям параметра t 0, |
t |
2 |
|
|
. |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
1 |
|
2 |
|
|
|
|
Вариант 13
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
2 |
dx |
|
|||
1. |
Вычислить интегралы: |
а) |
(2x 5) e 3xdx ; |
б) |
|
|
; |
в) |
|
. |
|||||||||
|
|
|
5 3cosx |
||||||||||||||||
x2 x |
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
1 |
|
|
|
|
|
0 |
|
|||
|
Найти среднее значение функции f (x) arccos 2x |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|||||||||
2. |
на отрезке 0, |
|
|
|
. |
|
|
|
|||||||||||
4 |
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
1 |
arcsin |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
3. |
Оценить интеграл |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
1 x |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x (y 2)2 , |
|
x 4y 8. |
|
|
|
|||||||||||||
5. |
Вычислить площадь части фигуры, ограниченной лемнискатой Бернулли 2 |
a2 cos2 |
и лежащей |
||||||||||||||||
|
вне окружности |
a |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y ex , y e , |
x 0, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
а) вокруг оси Ox , |
|
|
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
7. |
Найти длину дуги кривой x et (cost sint), |
y et (cost sint), |
0 t 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 14 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
3 |
dx |
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
а) |
|
|
|
; |
|
|
б) |
|
|
; |
в) (x2 2) e |
2dx. |
|
|
|
|
||||||||
|
|
2 |
|
|
|
2 3cosx |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
|
6x 5 |
0 |
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|||||
|
Найти среднее значение функции f (x) x cos 2x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
2. |
на отрезке |
0, |
|
. |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
e |
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
3.Оценить интеграл |
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
1 x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x 4 y2 , x y2 2y . |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
5. |
Найти площадь фигуры, |
ограниченной кривой asin5 |
и лежащей вне круга |
a |
. |
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y sin x, |
y 0, |
|||||||||||||||||||||||||||
|
x 0, |
x , |
а) вокруг оси Ox , |
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
7. |
Найти длину петли линии |
x t2, |
y t |
t3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 15
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
dx |
|
|
|
1. |
Вычислить интегралы: а) |
|
|
|
|
; |
|
sin |
2 |
x sin |
4 |
|
|||
|
1 |
|
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) cos3 x |
1 |
|
x |
2 |
dx |
|
|
|
e |
2 |
xdx |
|
|
б) |
|
|
|
|
; в) |
ln |
|
. |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
4 x2 |
|
|||||||||||
0 |
|
1 |
|
x |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
на отрезке |
0, |
|
|
|
. |
|
|
|
||||
2 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
8 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Оценить интеграл |
|
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 x |
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
4. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y |
27 |
|
, y |
x |
. |
|||||||
x2 9 |
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
||||
5. |
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 4cos3 и лежащей вне круга 2 . |
||||||||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y 2x x2 , |
||||||||||||
|
y x 2 , |
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
|
/2 t |
|||||||
7. |
Найти длину дуги кривой x 3sint 4cost, |
y 4sint 3cost , |
Вариант 16
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
x cos2 |
|
|
dx |
|
dx |
|
|
|
|||
1. Вычислить интегралы: |
|
а) |
|
x dx ; |
б) |
|
; |
в) |
|
|
. |
||||||
x |
3 |
4 |
|
|
|||||||||||||
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
1 |
x |
1 |
x |
x |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. Найти среднее значение функции f (x) x3 5x |
на отрезке 2, 3 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||
3.Оценить интеграл |
2 |
|
3 sin |
2 x |
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
5 2sin x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y2 4x , y x24 .
5. Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 1 sin и лежащей внутри круга 1 .
2 |
2 |
6. Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x2 , y sin x , 2
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
7. Найти длину дуги кривой x 2cost cos2t, |
y 2sint sin2t, заключенной между точками, |
|||||
соответствующими значениям параметра t 0, |
t |
2 |
|
|
. |
|
|
||||||
|
1 |
|
2 |
|
Вариант 17
1
1. Вычислить интегралы: а) 4x arcsin x dx ;
0
2. Найти среднее значение функции f (x)
1
1 x2
1 |
27 x3 |
||
3. Оценить интеграл |
|
|
dx. |
1 x |
2 |
||
2 |
|
|
|
|
|
|
6 |
|
dx |
|
|
1 |
|
xdx |
|
|
|
б) |
|
|
; |
в) |
|
|
. |
|||
|
|
|
|
|
2 |
2 |
||||
1 |
|
3x 2 |
(x |
|||||||
1 |
|
|
|
0 |
1) |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
на отрезке 0, 2 .
4. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y x2 |
4 x2 , y |
3 |
, x 0. |
||||
5. |
Найти площадь фигуры, ограниченной линиями sin , |
sin 2 , содержащей точку с |
||||||
|
|
1 |
, |
1 |
|
|
|
|
|
декартовыми координатами |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 2
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y2 x 2 ,
|
y x3 , y 0 , |
y 1, |
а) вокруг оси Ox , |
|
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
Найти длину дуги кривой x cost tsint, |
y sint tcost , |
0 t /4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln8 |
dx |
|
|
|
|
8 |
|
dx |
|
|
|||||
1. |
Вычислить интегралы |
а) arcsin2 |
x dx ; |
|
|
б) |
|
; |
|
|
|
в) |
|
|
. |
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|||||||||||||||||||
ex 1 |
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
ln3 |
|
|
|
|
2 x |
6x 8 |
|||||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) x |
4 |
|
на отрезке |
1 |
, 1 . |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
2x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
2 |
2 |
|
|
3x2 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Доказать неравенство |
0 x |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
dx 16e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
4. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x |
|
|
4 y2 , |
x 0, |
y 0 , |
y 1. |
|
|
||||||||||||||||||
5. |
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 1 |
|
cos и лежащей вне круга 1. |
||||||||||||||||||||||||
2 |
|||||||||||||||||||||||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x2 1, |
y x , |
|||||||||||||||||||||||||
|
x 0, x 1, |
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
t |
6 |
|
|
|
t4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
7. |
Найти длину дуги кривой x |
|
|
, |
y |
4 |
|
|
|
между точками пересечения с осью Ox . |
|
|
|||||||||||||||
6 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 19
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
а) |
|
x2 |
|
9 x2 dx ; |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) x2 3x dx. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
01 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
3x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) |
|
|
|
|
|
|
на отрезке 1, |
|
9 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2x 7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
0 |
arccosx2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
3. |
Оценить интеграл |
|
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
1 |
|
3 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
4. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
, |
y 0, |
x |
, |
x |
. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|||||||||||||||||||
5. |
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой 2sin 4 |
|
и лежащей внутри круга |
1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x2 , |
y 1, x 2, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) вокруг оси Ox , |
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
7. |
Найти длину части кривой, ограниченной линией x 2cos |
3 t |
|
, |
|
|
y 2sin |
3 |
t |
, заключенной между |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
4 |
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точками, соответствующими значениям параметра t1 0, |
|
t2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 20 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
а) |
|
ln x2 4 dx ; |
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
в) |
|
|
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 1 x2 3 |
|
|
|
|
|
|
11 3 x 1 |
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
f (x) |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
2. |
Найти среднее значение функции |
|
|
|
|
|
|
|
на отрезке 0, |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
2 ln x3 2 |
|
|
3 2cosx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
3. |
Оценить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
x |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x 4 y 1 2 , |
x y2 |
|
4y 3. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5.Найти площадь фигуры, ограниченной кривой |
|
2sin 4 |
|
и |
|
лежащей вне круга 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линией |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 (y 2)2 |
1, |
а) вокруг оси Oy , |
|
б) вокруг оси Ox . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Найти длину дуги кривой x 3 t sint , |
y 31 cost , |
|
|
|
|
заключенной между точками, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
соответствующими значениям параметра t1 , |
t2 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 21 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
a |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
а) |
|
ln(x 1)dx; |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
; |
|
|
|
|
в) |
|
x2 |
|
|
|
a x2 dx . |
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
1 |
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) sin2 x |
на отрезке 0, . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
3. |
Оценить интеграл |
|
3 x |
dx. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
7 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
1 |
8 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
4. |
Найти площадь фигуры, лежащей выше оси Ox и ограниченной линиями y2 4x , y 2x 4 . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить площадь четырехлепестковой розы asin4 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями |
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 y2 1, |
y 0, |
y |
|
|
3x |
, |
|
|
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
7. |
Вычислить длину дуги полукубической параболы |
x t |
2 |
, |
|
y |
t |
3 |
, |
|
|
заключенной между точками, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
соответствующими значениям параметра t1 0, |
|
|
t2 2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 22
|
12 |
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|||
2 |
|
x 4 |
|
|
x |
9 |
|
|||
1. Вычислить интегралы: а) x2 sin xdx; |
б) |
|
dx; |
в) |
|
|
dx. |
|||
|
|
|
|
|
4 |
|||||
0 |
5 |
|
x |
3 |
|
x |
|
|
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) |
4 x2 |
на отрезке 0,1 . |
|
|
|
|
|
||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл |
x4 e x2dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y |
1 |
|
, |
y |
x |
2 |
. |
|
||||||
1 x |
2 |
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
5. |
Вычислить площадь общей части фигур, ограниченных линиями 3 cos4 , |
2 cos4 . |
|||||||||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y ex , y e, x 0, |
||||||||||||||
|
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
7. |
Найти длину петли линии x t2, |
y t |
t3 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 23
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
dx |
|
|
|
|
1. |
Вычислить интегралы: |
а) |
|
|
|
|
|
; |
|||
sin |
2 |
x sin |
4 |
x |
|||||||
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) x3 |
5x |
||||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
27 x3 |
|
|
|
|
|
|||||
3. |
Оценить интеграл |
|
|
|
|
dx. |
|
|
|
||
|
1 x |
2 |
|
|
|
|
|||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
x |
2 |
dx |
|
|
e |
2 |
xdx |
|
|
б) |
|
|
|
; |
в) |
ln |
|
. |
|||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
||||
|
|
|
|
||||||||
0 |
|
4 x2 |
1 |
|
x |
на отрезке 2, 3 .
4. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями x |
4 y2 , |
|
x 0, |
y 0 , |
y 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Найти площадь фигуры, |
ограниченной кривой 2sin 4 |
|
и лежащей внутри круга 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
6.Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линией |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 (y 2)2 |
1, |
а) вокруг оси Oy , б) вокруг оси Ox . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
7. |
Вычислить длину одной арки циклоиды x a t sint , |
y a 1 cost . |
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 24 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
dx |
|
|
|
|||||||
1. |
Вычислить интегралы: а) |
x3ex2 dx; |
б) |
|
|
|
|
|
|
; |
|
в) |
|
|
|
|
. |
|||||||||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 1 x2 3 |
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) a bcosx |
на отрезке , . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
2 |
|
3 |
1 |
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл |
|
|
x |
dx |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
5 |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
5 |
|
1 |
|
x |
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между параболами y 4x2 |
, y |
|
и прямой y 2. |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
9 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
5. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной кривыми 2cos , |
|
|
|
1 |
(вне круга |
1). |
|||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Вычислить объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 y2 4, |
y 2, |
x 0, а) вокруг оси Oy , |
б) вокруг оси Ox . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||
7. |
Найти длину дуги логарифмической спирали x et |
sint, |
y et |
cost , |
|
заключенной между |
||||||||||||||||||||||||||||||
|
точками, соответствующими значениям параметра t 0, |
t |
2 |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 25
|
|
|
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
а) |
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
в) |
(x 4) arctgxdx . |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
|
f |
(x) |
|
|
|
|
|
|
|
|
на отрезке 3, 0 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x2 |
4x 5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл |
x2 e x2dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y2 2x 1, |
y x 1. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
5. |
Вычислить площадь части фигуры, |
ограниченной лемнискатой Бернулли 2 a2 cos2 и лежащей |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
вне окружности a |
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y sin x, |
y 0, |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x 0, |
x , |
|
а) вокруг оси Ox , |
|
|
б) вокруг оси Oy . |
/2 t |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Найти длину дуги кривой x 3sint 4cost, |
y 4sint 3cost , |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 26 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
10 |
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|||||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
|
а) |
|
|
|
|
x cos2 x dx ; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
в) |
|
|
|
|
|
|
. |
||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
3 |
|
|
|
|
4 |
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
x |
x |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
2. |
Найти среднее значение функции f (x) |
|
|
|
|
на отрезке 0, 2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
1 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
2 |
|
|
|
|
3x2 |
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Доказать неравенство |
|
0 x |
e |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||
|
|
|
|
dx 16e . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной линиями y |
|
|
|
, |
y 0, |
x |
, |
|
x |
. |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 cosx |
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|||||||||
5. |
Найти площадь фигуры, ограниченной кривой |
|
2sin 4 и |
лежащей вне круга 1. |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
y 1 2 |
x, |
y 2, |
x 0, |
|
|
а) вокруг оси Oy , |
|
|
|
б) вокруг оси Ox . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
7. |
Вычислить длину астроиды x a cos3 t, |
|
y a sin3 t . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 27 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
lncos x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
2 |
8 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
|
а) |
|
|
|
dx ; |
|
|
б) |
|
|
dx; |
|
|
|
в) |
|
|
|
dx . |
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
cos |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
|
f (x) 3x2 2x 1 |
на отрезке 1, 5 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл |
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||
|
3 x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y 2x, |
y 2 2x , |
x 0, |
|
|
y 2. |
|
|
|
5.Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью a, кардиоидой a 1 cos и
содержащей точку M a2, 0 .
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y ex, |
x 0, |
x 2, |
|||
|
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
7. |
Найти длину дуги кривой x 2 cos3 t, |
y sin3 t , |
0 t /2 . |
|
|
Вариант 28
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
12 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
||||||||
1. |
Вычислить интегралы: |
а) |
|
x2 sin xdx; |
|
|
|
|
|
|
|
|
б) |
|
|
|
|
dx; |
|
|
в) |
|
9 |
dx. |
|||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
4 |
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
x |
|
||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) |
|
|
на отрезке 0,100 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 x4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
3. |
Оценить интеграл |
|
|
|
|
|
|
|
dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 |
|
|
4 5x3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями x y |
2 |
, |
x |
|
3 |
y |
2 |
1. |
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
4 |
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5. |
Вычислить площадь фигуры, ограниченной окружностью a, кардиоидой a 1 cos |
и |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
содержащей точку M |
|
|
a, 0 |
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y ex, |
|
x 0, |
x 2, |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
а) вокруг оси Ox , |
|
|
|
|
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||
7. |
Найти длину дуги логарифмической спирали x et |
|
sint, |
|
|
|
|
y et |
cost , |
заключенной между |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
точками, соответствующими значениям параметра t |
0, |
t |
2 |
|
|
|
. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Вариант 29 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
64 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 |
|
|
|
x 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
6 x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
1. |
Вычислить интегралы: а) |
|
|
|
|
|
|
|
dx ; |
|
|
б) |
|
|
|
|
|
dx; |
|
|
|
|
|
|
в) (x 4) arctgxdx . |
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
x |
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x2 2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
|
|
|
|
на отрезке 0,1 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||
2. |
Найти среднее значение функции |
f (x) |
4 x2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2x5 1
3.Оценить интеграл dx .
1 x3 1
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y x, |
x 0, |
|
y2(x2 4) 32 . |
|
|
|||||||||||||
5. Вычислитьплощадьфигуры,ограниченнойлиниями 2 1 cos , |
2 исодержащейточку M 1,0 . |
||||||||||||||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y3 y x, |
x 0, |
|||||||||||||||||
|
а) вокруг оси ox, |
б) вокруг оси oy. |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Найти длину дуги кривой x 2 cos3 t, |
y sin3 t , |
0 t /2 . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
Вариант 30 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
dx |
|
|
|
|
|
|
|
||
1. |
Вычислить интегралы: |
а) ctg x ln(sin x)dx; |
|
б) |
|
|
|
|
|
|
|
; |
в) (x2 |
1) cosxdx . |
|||||
|
|
|
2 |
|
2 |
||||||||||||||
|
|
6 |
|
|
|
|
2 3 4 x |
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
1 |
|
на отрезке 3, 0 . |
|
|
|
|
||||||||||
2. |
Найти среднее значение функции f (x) |
|
|
|
|
|
|||||||||||||
x2 4x 5 |
|
|
|
|
|||||||||||||||
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3. |
Оценить интеграл x4 e x2dx . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4. |
Найти площадь фигуры, заключенной между линиями y3 y x , |
|
y 1 x 2 , |
y 0. |
|
|
|||||||||||||
5. |
Вычислитьплощадьфигуры,ограниченнойлиниями 2 1 cos , |
2 |
исодержащейточку M 1,0 . |
||||||||||||||||
6. |
Найти объем тела, образованного вращением фигуры, ограниченной линиями y x 3 x , |
y x, |
|||||||||||||||||
|
а) вокруг оси Ox , |
б) вокруг оси Oy . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
7. |
Найти длину дуги кривой x 6at5, |
y 5at 1 t8 , |
0 t 1 . |
|
|
|
|
|
|
|