Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Тема 4_векторный анализ (теория поля)

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
640.22 Кб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант №1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Найти производную поля (õ)

x2

 

 

y2

 

z2

 

x2yz в точке A 1,2,1 в

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направлении, образующем равные острые углы с осями координат.

 

 

 

2.

Найти угол между градиентами скалярных полей

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

v x,y,z

x

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

1

 

 

 

 

 

 

 

 

6 y3 3z3

 

6 , u x,y,z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

в точке М

2,

 

 

 

 

 

,

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yz

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2 3

 

 

 

 

 

 

 

3.

Показать, что поле вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

z

x

2

z 1

 

 

2

 

1

à

2x y z z

 

 

 

 

 

 

i

 

 

j

x

 

y 2xz

 

 

k

 

 

 

x

2

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

потенциально. Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля градиентов функции õ,y,z y2 xz x z.

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить работу силы F y z x2 i x z y2

j x y z

2 k при переме-

 

 

 

 

 

x2

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16 1, из точки A 2,0,1

в точку B 0,4,1 .

 

 

 

 

 

щении по линии 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

через плоский треугольник с вер-

Вычислить поток поля a y

i

y j xk

шинами в точках A 2,0,0 , B 0, 1,

0 ,

 

C 2,0,4 . Нормальный вектор плоскости

образует острый угол с осью OX .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Найти поток поля a x y

i y 2z

j x y z k

 

 

через полусферу

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z R

R2 x2 y2 в направлении внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Проверить формулу Стокса для вектора a

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y zi xz x2

x j

x yk , при-

нимая за поверхность интегрирования боковую поверхность пирамиды, ограниченную плоскостями x 3y 2z 6, x 0, y 0 z 0 , а за контур интегриро-

вания – линию пересечения её с плоскостью z 0. 9. Доказать, что div rota 0.

10. Вычислить r,a b , где a и b постоянные векторы, а r - радиус-

вектор точки.

1

10. Найти
rota

Вариант №2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Дано скалярное поля (M)

 

x2 y2 z2

. Найти ,

 

2,

 

1

. Построить

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поверхности уровня 0, 1,

2.

 

 

 

 

 

 

2.

Найти производную скалярного поля u(x, y,z) 4ln 3 x2 8x y z в точке

Ì 1,1,1 по направлению нормали к поверхности x2 2 y2 2z2 1, образующей тупой угол с положительным направлением оси OZ .

3.

Показать, что поле вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

1

 

2 y

 

 

3

 

x

2

 

 

3

 

 

 

à 3x

 

y z

 

 

 

 

 

 

2

i x

 

 

 

 

 

 

 

 

j

x

 

2z k

 

 

y

 

x

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

потенциально. Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля градиентов функции õ,y,z z2 x y x y.

 

 

 

 

 

 

 

 

yzi xz j x yk

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Вычислить работу силы F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при перемещении по линии

 

 

 

 

1 x2y2z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

L : x 1, y2 9z2

4 из точки A 1,

 

3, 1

в точку

 

 

 

B 1,1,

 

 

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

6. Вычислить поток поля a x 2 y i z

j yk через часть поверхности

x2 y2

4, лежащую в I октанте и отсеченную плоскостями z 0,

z 3

 

в

направлении внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

7. Найти поток поля a x yi x y

j zxk через часть поверхности

 

 

 

 

 

 

y 7

 

z2 x2 , отсеченную плоскостью y 3 в направлении внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

zk , при-

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора a 2zi 3x z j x

 

нимая за поверхность интегрирования поверхность, лежащую в I октанте об-

разованную поверхностью y2 1 x z

и плоскостями x 0, z 0, а за контур

интегрирования – линию пересечения этой поверхности с плоскостью y 0. 9. Доказать, что вектор a u gradv ортогонален к вектору , если u(õ,y,z),

v(õ,y,z) дифференцируемые скалярные функции.

a (r b) , где a i j k и b i 2 j 4k , r xi y j zk .

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант №3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

, M x, y,z . Построить

1.

Найти градиент поля (Ì

)

 

 

, где r

 

x2 y2 z2

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

поверхности уровня поля, соответствующие значениям 1,

2, 3.

2.

 

Найти производную скалярного поля u(x, y,z) x

 

 

 

 

y

 

в точке М 2,4,2

 

 

y

z

по направлению нормали к поверхности 4z 2x2 y2 0, образующей тупой

угол с положительным направлением оси OZ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Показать, что поле вектора à 3yx3y 1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по-

1 i 3x3y ln x z

j y 1 k

тенциально.

Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля градиентов функции (õ, y,z) y z 1 x2

y z .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

yzi xz j x yk

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Вычислить работу силы F

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при перемещении по линии

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z y

 

y2z2 x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2,4, 1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

от точки A

2, 2 2,

 

 

 

до точку B

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Вычислить поток поля

 

 

 

z

 

через часть поверхности

 

a yi j

 

k

 

 

 

 

 

 

 

 

в направлении внешней нормали.

 

z 6

 

x2 y2 , лежащую в IV октанте,

 

 

7.

Найти поток поля

 

 

 

2x

2

 

2 y

2

 

 

 

2

k

через замкнутую поверхность, об-

 

a

 

 

i

 

j 4z

 

разованную полусферой

 

 

 

 

 

и параболоидом 2z x2 y2 1 в

 

 

z

 

4 x2 y2

 

 

направлении внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверить формулу Стокса для поля вектора a x i

4 y2 y2z j 4z

2 k ,

принимая за контур интегрирования окружность, y2 z2 9,

x 1,

а за поверх-

ность интегрирования – поверхность цилиндра y2 z2

9,

x 5, натянутую на

этот контур.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Доказать, что вектор rot ua urota gradu a, где u u(х, y,z)

- дифферен-

цируемая функция.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти f(r) , где r радиус-вектор точки, r

 

 

 

,

f(x) произвольная

 

 

дважды дифференцируемая функция. В каком случае

f(r) 0?

 

3

Вариант №4

1. Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого имеет вид (x, y,z) a,r , где a - постоянный вектор, r - радиус-вектор точки

поля. Построить поверхности равного потенциала 1, 2, если a i 2 j 3k .

2. Найти производную скалярного поля u(x, y,z) 2ln x2 6 4x y z в точке

Ì 1, 1, 1

по направлению нормали к поверхности x2 2 y2 2z2 1, образующей

острый угол с положительным направлением оси OZ .

 

 

 

 

 

3. Показать, что поле вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z y

 

1

 

 

 

 

1

 

 

z

 

 

 

y

 

 

а

 

 

 

 

 

i

2 y

 

 

 

 

 

j

 

 

 

1 k

 

 

2

 

2

 

2

x

x

 

 

 

x

 

1 x y

 

 

 

1 x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

потенциально. Найти потенциал поля.

4. Найти векторные линии поля вектора a y 1 i x 1 j z 2 k .

 

 

 

 

 

 

x2

 

 

 

 

 

 

5.

Вычислить работу силы F

 

 

 

 

i x y j zk

при перемещении по меньшей

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

2

2

точки A 2,1,

0

к точке B 0,1, 2 ,

дуге кривой x3 z3

23, y 1 от

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

6.

Вычислить поток поля a x j

 

z 4 k

через часть поверхности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 4 x2 y2 , лежащую в IV октанте, в направлении внешней нормали.

7.

Найти поток поля a x z i x y

j y z k через часть поверхности

 

 

 

y

x2 y 1 2

, отсеченную плоскостью z 1, в направлении внешней нормали.

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a yz 4x i xz j x yk ,

принимая за контур интегрирования эллипс 9z2 4x2 36,

y 0, а за поверх-

ность интегрирования – часть поверхности цилиндра 9z2 4x2 36

0 y 3 и

часть плоскости y 3.

 

9. Доказать, что div a b rota b a rotb .

 

10. Найти (ra), где a 3i 2 j k , а r2 x2 y2 z2.

 

4

Вариант №5

1.Потенциал некоторого электростатического поля имеет вид

(x, y,z) x2 y2 z2 . Найти длину и направление вектора напряженности поля.

Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности?

 

 

 

 

 

 

 

2.

Найти производную скалярного поля u(x, y,z) 1 x2y

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 5z2 в точке

 

Ì 2, 12,1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

по направлению нормали к поверхности z2

x2 4 y2 4, образую-

щей тупой угол с направлением оси OZ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Показать, что поле вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

à 2 x y 1

 

i 2 x y

j 2 z

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

x2y z

 

x y z2

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

x y2z

 

 

 

 

 

 

 

потенциально. Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля a x 1

i z 3 j y 3 k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Вычислить работу вектора силы F

 

 

i x y j

z

 

k по меньшей дуге

 

y

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

окружности x2 z2 1, y 1 от

 

точки A 1,1,0

до точке B 0,1,1 .

 

 

 

6.

Вычислить поток поля a

xi x j zk через плоский треугольник с вер-

шинами в точках A 4,0,0 ,

B 0,2,0 , C 4,0,4 . Нормальный вектор плоско-

сти образует с осью OY острый.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Найти поток поля

 

 

 

 

 

2

2z

2

k

 

через границу пространственной об-

a y i y

j

 

 

ласти 13 x2 y2 z 6

 

 

 

 

 

x2 y2 в направлении внешней нормали.

 

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверить формулу Стокса для поля вектора a 2x yi x2

2y z j 3y

2 k ,

принимая за контур интегрирования астроидуx cos3t,

y sin3t,

z 0,а за по-

верхность интегрирования – часть плоскости XOY , ограниченную астроидой.

9.

Доказать, что поле вектора u v

 

соленоидально, если u u õ,y,z ,

 

v v õ, y,z

дифференцируемые скалярные функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

 

 

Найти a , где

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r радиус-вектор точки,

 

 

a cosr yi 2 j xzk ,

r

 

 

r

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5

Вариант №6

1. Потенциал некоторого электростатического поля имеет видx, y,z x2 y2 z2 . Найти модуль и направление вектора напряженности по-

ля. Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности ?

2. Найти производную скалярного поля u x,y,z xz2 x3y в точке М 2,2,4

по направлению нормали к поверхности x2 y2 3z 12 0, образующей острый

угол с положительным направлением оси OZ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Показать, что поле вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

1

 

 

 

 

а yz z

 

 

y

 

 

i xz x

1

 

 

j

x y 2xz

 

 

 

 

k

 

 

 

x2y

 

x y2

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

потенциально. Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля вектора

 

 

 

 

a y i x j x y

k .

 

 

5.

Вычислить работу вектора силы F y z

i z x j x y k

при пере-

 

 

 

 

 

 

2

y

2

16,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мещении по линии x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 4z 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Вычислить поток

поля

 

 

 

 

 

 

2

k

через часть

 

поверхности

a x 2z i x j y

 

 

x2 y2 4, лежащую

 

 

во

 

II октанте

и

 

отсеченную

плоскостями

z 0, z 1, в

направлении внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

2

k через часть поверхности

 

Найти поток поля a xz i x y j

 

 

 

 

 

 

z

 

x2 y2 , отсеченную плоскостью z 2, в направлении внешней нормали.

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a y i x j x y k , прини-

мая за поверхность интегрирования – поверхность, лежащую в первом октанте,

образованную параболоидом x 4 z2 y2,

а за контур интегрирования – ли-

нию пересечения этой поверхности с плоскостью x 0.

 

 

 

 

9. Доказать, что div ua udiva agradu, где u u(х, y,z)

- дифференциальная

функция.

 

 

 

 

 

10. Найти a и a, для поля вектора a

r

 

,

sinr xi 2 y

j 3zk , где r

 

r радиус-вектор точки.

6

Вариант №7

1. Потенциальная энергия частиц имеет вид u x, y,z lnr, где r модуль

радиуса - вектора r частицы, - постоянная величина. Найти силу F действующую на частицу. Какую форму имеют поверхности, для которой модуль

вектора силы F постоянен? Изобразить эти поверхности для случаев

 

F

1,

 

 

F

 

2,

 

F

 

3.

 

yz2 в точке Ì

1,1,

12

 

 

 

 

 

 

2. Найти производную скалярного поля u(x, y,z) x

 

 

y

по направлению нормали к поверхности x2 y2 4z, образующей острый угол

сположительным направлением оси OZ .

3.Показать, что поле вектора

 

 

2

 

z

 

 

x

 

а z

 

y

 

i z x j y 2xz 1

 

k

 

 

 

 

 

 

 

sin2 xz

 

 

sin2 xz

 

потенциально. Найти потенциал поля.

4. Найти векторные линии поля вектора a 1 x i z 3 j y 3 k .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

y

3

 

 

 

 

 

 

5. Вычислить циркуляцию вектора a

 

 

 

i 2 j xzk вдоль контура

 

x2 y2 2, z 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Вычислить поток поля a

 

 

x z

i x y k

через часть поверхности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 3

y2 z2 , лежащую в I октанте, в направлении внешней нормали.

 

 

7. Найти поток поля a 2xi y j 3zk через границу выпуклой области, за-

 

ключенной между поверхностями x2 y2 z2

9 и x2 z2 2 y 6 0, в направле-

нии внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a

 

 

 

 

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора

 

y z x 2 y2 i xz j x yk ,

принимая за контур интегрирования окружность

x2 y2 a2, z 0 ,

а за по-

верхность интегрирования –

поверхность

 

 

цилиндра

x2 y2 a2 0 z 14

и

плоскость z 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Доказать, что uv u v v u 2 u, v

, если u u(х, y,z), v v(х, y,z) -

 

дважды дифференцируемые скалярные функции.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти a и a для поля вектора a cosr 2x i 3y j zk , где

 

 

r

 

r

 

, r радиус-вектор точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7

Вариант №8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4x2

y 1 2

1.

Потенциальная энергия частицы имеет вид u

 

 

 

 

 

. Найти силу F ,

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

действующую на частицу.

Построить эквипотенциальные поверхности u 0,

u 1,

u 4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Найти производную

функции

 

f (x, y,z) arctg

yz

 

в

точке Ì 1,1, 1 в

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

направлению градиента функции (x, y,z) x2 4 y2 9z2 1.

 

 

 

3.

Показать, что поле вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

2 y

 

z

 

 

 

 

1

 

à

 

i

zcos yz

x

 

 

j

ycos yz 2z

k

 

x2

 

 

 

 

 

 

 

 

y2

 

 

 

 

y

потенциально. Найти потенциал поля.

4. Найти векторные линии поля a z 1 i y j x 1 k .

5.Вычислитьработувекторасилы F y2 i xz j z x yk приперемещениипо

 

2

 

2

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

y

 

 

z

 

4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2, 0,

 

2

 

кточке B 0,

 

 

2,

 

2 .

меньшейдугекривой

 

 

x2 y2

 

 

от точки A

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6. Вычислить поток поля a z i y j через часть поверхности y 8 z2 x2 ,

лежащую во II октанте, в направлении внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Найти поток поля r x i y j zk через часть поверхности z 4

 

 

 

 

 

 

x2 y2 ,

отсеченную плоскостью z 2, в направлении внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5y

2

 

2

 

2

yk ,

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора a

 

z i 5z

x j 5x

 

 

принимая за контур интегрирования часть параболы x y2 4,

z 2 и замыка-

ющей её прямой z 2,

 

x 0,

а за поверхность интегрирования часть поверхно-

сти z 2, ограниченную этим контуром.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Доказать, что grad u v v gradu u gradv,

где u u(х, y,z),

v v(х, y,z)

-

 

 

 

дифференцируемые функции. Проверить, что rot grad uv 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Для поля вектора

 

a

 

найти a

, a , потенциал и векторные линии,

 

r3

если r

 

r

 

, r радиус-вектор точки.

 

 

8

Вариант №9

1. Потенциальная энергия частицы имеет вид u x, y,z 2 . Найти си- x2 y2 z

лу F , действующую на частицу. Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля, в котором находится частица? Изобразить эти поверхности в слу-

чае u 1, u 2 .

2. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) 7 ln 131 x2 4x yz в точке Ì 1, 1, 1 по направлению нормали к поверхности 7x2 4 y2 4z2 7 , образую-

щей тупой угол с положительным направлением оси OZ .

3. Показать, что поле вектора

 

 

z

 

 

3y2

 

y3

 

1

 

 

à

yzcos x y z

 

i

x zcos x y z

 

 

j

x ycos x y z

 

 

 

 

2z k

x2

z

z2

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

потенциально. Найти потенциал поля.

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Найти векторные линии поля вектора a z2 y2 i z j y k .

 

 

 

5.

Вычислить работу вектора силы F yzi xz j x yk

 

при перемещении по

 

 

2

к точке B 2,4,2 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

кривой y x ,от точки A 1,1,2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

через плоский четырехуголь-

Вычислить поток поля a x

i

3z j x z k

ник с вершинами в точках M1 1, 2,

4 , M2 3, 2, 4 ,

M3 1, 2, 4 ,

M4 3, 2, 4 в

направлении оси OZ .

 

 

2k

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

через замкнутую поверх-

Найти поток поля a y 2x i z 12y j 3z

ность, ограничивающую пространственную область

x2

y2 4 y,

 

 

 

 

 

 

 

2

 

2 в направле-

нии внешней нормали.

 

 

 

0 z x

 

y

,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

x y

2

k , при-

Проверить формулу Стокса для поля вектора a y z

 

i zx

j

 

нимая за контур интегрирования окружность x2 y2 16,

 

z 4,

 

а за поверх-

ность интегрирования – любую поверхность, натянутую на эту окружность.

9.Доказать, что un n un 1 u, где u u(õ,y,z) дифференцируемая функ-

ция.

 

 

 

 

 

r lnr

 

 

 

 

,

 

 

 

 

 

 

 

10. Найти a

и

a

для вектора

a

r

, где r

 

r

 

r радиус-вектор

 

 

 

 

 

 

точки.

9

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант №10

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Потенциальная энергия частицы имеет вид u x,y,z arctg

 

 

 

1.

 

x2 y2 z2 .

Найти силу F , действующую на частицу. Какой вид имеют эквипотенциаль-

ные поверхности поля, в котором находится частица?

Изобразить эти поверх-

ности в случае u ,

u , u .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6

4

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Найти производную скалярного поля u(x,y,z)

 

по направлению векто-

z

 

ра МА в точке M, если À 0,3,4 ,

 

1,2,1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Ì

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Показать, что поле вектора

 

 

2ez

 

 

 

1

1

 

 

ez

 

3y

потенциаль-

à

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

j

 

 

 

 

 

k

 

x3

 

x

z3

 

 

x2

z4

но. Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля вектора a 2 y z i y j zk .

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при перемеще-

Вычислить работу силы F 2xy2 z2 i

2 yx2 z2 j 2z x2 y2k

нии по прямой из точки A 2,

0,1

к точке

B 4,2,3 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Вычислить поток поля

a 2x y2

 

 

 

 

 

 

 

 

через часть поверхности

i z2

j xk

x2 z2 4, лежащую в I октанте и отсеченную плоскостями y 1, y 4, в

 

направлении внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

k через замкнутую поверхность,

Найти поток поля a x z i z y

j z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

ограничивающую область

x2 y2

z

 

2 x2 y2 , в направлении внешней

нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Проверить формулу Стокса для поля вектора a 4x2 x2 z i y j 4z

2 k ,

принимая за контур интегрирования окружность x2 z2

 

9,

y 1, а за поверх-

ность интегрирования – полусферу, натянутую на этот контур.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

sinr

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Вычислить div f r r ,

где f r

,

 

r x i y j zk . Доказать, что про-

r

 

странственное поле вектора a

f r r

будет соленоидальным только тогда, ко-

гда f r

c

, c R .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10.

Найти rot

a

, где a постоянный вектор,

r2

x2 y2 z2.

 

 

 

 

 

r

 

 

 

 

 

10

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.