Добавил:
Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.
Вуз: Предмет: Файл:

Тема 4_векторный анализ (теория поля)

.pdf
Скачиваний:
26
Добавлен:
23.02.2015
Размер:
640.22 Кб
Скачать

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вариант №11

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого

имеет вид (r) arcsin

1

, где r

радиус-вектор точки,

r

 

r

 

 

. Построить по-

 

 

r

 

 

 

 

 

 

верхности равного потенциала для случаев ,

 

 

,

.

 

 

 

 

 

Найти производную поля f x, y,z x3y2 z

6

 

 

4

 

 

 

 

3

 

 

 

 

2.

в направлении градиента функ-

ции x,y,z x2 4x y 5y 6z2 в точке M 3,1,

13 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Показать, что поле вектора

 

 

 

 

3y

 

4x3

1

 

 

2x4

 

 

 

2

 

4

по-

à

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

3y

 

j 5z

k

 

x4

y2

 

 

 

y3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тенциально. Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля вектора a x y2 z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i y j zk .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Вычислить работу силы F x i

 

 

 

 

 

j yk

при перемещении по замкнуто-

 

3

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

9 y

2

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

му контуру 4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2x y 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Вычислить поток поля

a

 

 

y z

 

j

x y k

через часть поверхности

 

 

 

 

 

y

z2 x2 , лежащую в I октанте и отсеченную плоскостью y 3, в направле-

нии внешней нормали.

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

 

 

 

 

 

 

 

y

2

 

z

2

k

 

 

через замкнутую поверхность, огра-

Найти поток поля a x

i

 

 

j

 

 

 

 

ничивающую область

x2 y2 2,

в направлении внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 z y2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a 4x2 y x2

i 4 y2

j zk ,

принимая за контур интегрирования окружность x2 y2 a2, z 0, а за поверх-

ность интегрирования – часть поверхности цилиндра x2 y2 a2,

0 z 4 и

z 4.

 

 

9. Найти div grad f r , где

r2 x2 y2 z2 , а f r произвольная дважды

дифференцируемая функция от r.

 

10. Найти a , если a

с

, c y,z,x , r2 x2 y2 z2.

 

sin r

 

 

 

 

11

 

 

 

 

Вариант №12

 

1.

Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого

 

 

 

 

 

 

имеет вид (x, y,z)

 

x2 y2

. Построить эквипотенциальные поверхности для

 

z

случаев 0, 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Найти производную поля u(x,y,z) arctg

y

xz

в точке M 2, 2, 1 по

 

 

 

 

 

 

x

 

направлению нормали к поверхности x2 y2 2z 10, образующей острый угол с положительным направлением оси OZ .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5z

3

 

 

 

 

 

2

 

 

3.

Показать, что поле вектора

а 4x3ey

 

i x4 ey

1 j

15z

1 k по-

2

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

тенциально. Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля вектора a z y

i z 3

j y 3

k .

5.

Вычислить работу вектора силы F yi x j zk

при перемещении по за-

 

2

y

2

z

2

1,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

мкнутому контуру x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x z.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

Вычислить поток поля a

2

 

x 4

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

 

i z j 6 k через часть поверхности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x2 y2 z2 4, лежащую в IV октанте, в направлении внешней нормали.

7.

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

через замкнутую поверхность, ограни-

Найти поток поля a x

 

 

i y j 2zk

 

 

 

x

2

y

2

 

6 y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

чивающую область

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

в направлении внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 z

 

 

 

 

x2

y2 ,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

16

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y z

2

 

2

 

 

2

k , при-

Проверить формулу Стокса для поля вектора a

i zx

 

j x y

 

нимая за контур интегрирования окружность x2 y2

9,

z 1, а за поверхность

интегрирования – часть параболоида x2 y2 9z, натянутого на этот контур.

 

 

 

 

 

 

 

 

d f

 

 

r

 

 

9.

Доказать, что c

 

 

d r

 

 

, где c

, r f r , c - постоянный вектор,

 

r

r - радиус-вектор точки,

r

 

r

 

,

f r - произвольная дифференцируемая функ-

 

 

ция от r.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

a , если r - радиус-вектор точки,

10.

Для поля вектора a r3 r . Найти a,

r

 

 

r

 

.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

12

u 6 , u 4 , u 3 .
y
x2 yz .

Вариант №13

1. Потенциальная энергия частицы задана функцией u x,y,z arccos

Найти силу F , действующую на частицу. Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля, в котором находится частица? Изобразить эти поверхности в случае

2.

Найти производную поля f(x, y,z) x y3z4

в направлении градиента функ-

ции x, y,z x3 4x2y 5z2 3в точке M -1,21,-1 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Показать, что поле вектора

 

 

 

 

y z4 z4

 

 

 

z y

 

 

 

 

5

 

 

 

4y z3

z y

 

à

 

 

i

 

 

 

ze

 

 

6 y

 

 

j

 

 

 

ye

k

 

x2

 

x

 

 

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

потенциально. Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

j

 

 

 

 

 

k

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля вектора a

 

 

 

 

 

 

.

 

 

 

 

x 3

y 4

z 9

 

 

 

 

5.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

при переме-

Вычислить работу силы F y z x2

i xz y

 

j x y z2

k

 

 

 

 

 

 

2

y

2

9,

лежащей в I октанте, от точки A 3,0,0

к

щении по окружности x

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

точке B 0,3,0 .

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Вычислить поток поля a x y

i y j zk

через плоский треугольник с

вершинами в точках A 2,0,0 , B 2,0,4 ,

C 2, 2,

0 . В направлении оси OX .

7.

Найти поток поля a x z

i x y j z y

k

 

через замкнутую поверх-

ность, ограничивающую областьx2 y 2 z 23

3

 

 

, в направлении

 

x2 y2

внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора

 

2

 

 

 

z

2

 

x

2

y k , при-

a

y

z i

 

x j

 

нимая за контур интегрирования окружность x2 y2

4,

 

 

z 2, а за поверхность

интегрирования – круг, ограниченный этой окружностью.

 

 

 

 

 

 

 

 

9.

Доказать, что div f r r 3 f r r

dd rf , где r

радиус-вектор точки,

r

 

 

r

 

, f r произвольная дифференцируемая функция от r.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Для поля вектора a r3c

найти rot a,если

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

2

x

2

y

2

z

2

,

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c 2xi

y

x j z k.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

13

14

Вариант №14

1. Потенциальная энергия частицы задана функцией u x,y,z 2x2 y2 z2.

Найти силу F , действующую на частицу. Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля, в котором находится частица? Изобразить эти поверхности в случае u 0, u 1, u 2.

2. Найти производную скалярного поля u(x,y,z) ln 1 x2 y2 x2 z2 в

точке M 0,0,5 по направлению нормали к поверхности x2 6x 9y2 z2 4z 5,

образующей острый угол с положительным направлением оси OZ .

3.

Показать, что поле вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

à y4 zxz 1 2 yxy 1 i 4x y3 2xy lnx

j xz ln x 1 k

потенциально. Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля вектора a y 2 i x 2 j z k .

 

 

 

1

 

1

 

x

 

y

 

5.

Показать, что поле вектора a

 

 

 

i

 

 

 

 

 

 

j

 

k является потенциаль-

y

 

 

z2

 

 

 

 

z

 

y2

 

 

ным и вычислить линейный интеграл этого вектора от точки A 2, 3, 1 до точки B 4,6,2 .

6. Вычислить поток поля a x z i x j y k через часть поверхности

z2 x2 4, лежащую в IV октанте и отсеченную плоскостями y 3,

y 1, в

направлении внешней нормали.

 

7.

Найти поток поля a z i x y j yzk

через часть поверхности

y z2 x2 4, отсеченную плоскостью y 2,

в направлении внешней нормали.

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a y z i z j yk , прини-

мая за поверхность интегрирования – поверхность, лежащую в I октанте, ограниченную параболоидом y 9 x2 z2 и плоскостями x 0, z 0, а за линию интегрирования – линию пересечения этой поверхности с плоскостью y 0.

9. Доказать, что rot rota grad diva a.

10. Найти a, a , для вектора a r sin2 r , где r радиус-вектор точки, r r .

Вариант №15

1.Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого задан функцией (M) x2 3y2 z2. Построить поверхности равного уровня для случаев 0, 1, 2.

2.Найти производную скалярного поля u(x, y,z) x2 y2 z в точке

M 3, 4, 1 по направлению нормали к поверхности x2 y2 25z,образующей острый угол с положительным направлением оси OZ .

3. Показать, что поле вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

à y zxy 1 1 i 5z y4 xyzln x 2y

j y5 xy 3z2 k

потенциально. Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z

x

Найти векторные линии поля вектора a z i

 

j x k .

5.

Вычислить циркуляцию вектора a y i x j z k

по контуру, составлен-

ному из осей координат и дуги кривой x a cos3t,

y a sin3t

между точками

A a,0,1 и B 0,a,1 в плоскости z 1.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Найти поток поля a y i x

 

 

k через часть поверхности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

y

 

z2 x2, лежащую в IV октанте и отсеченную плоскостями y 2, в

направлении внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7.

Найти поток поля a y i x j z k

через замкнутую поверхность, ограни-

 

 

 

 

 

2

y

2

4,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

x 2

 

 

в направлении внешней нормали.

чивающую область

0 z 8 x,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a yz i xz 4x j x y k ,

принимая за контур интегрирования эллипс 4x2 y2 4,

 

 

z 0, а за поверхность

интегрирования – часть поверхности цилиндра

 

 

2

y

2

4,

и плоскости z 2.

4x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 z 2,

 

 

9.

Показать, что любое решение уравнения a k2 a 0, удовлетворя-

ющее условию соленоидальности, удовлетворяет векторному уравнению

Гельмгольца 2 a k2 a 0.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10. Вычислить rot a и diva, где a yzi 2xz j

cosr,

r2 x2 y2 z2.

15

Вариант №16

1. Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого равен функцией (M) x2 2x 1 4z2 4 y . Построить эквипотенциальные по-

верхности для случаев 0,

4.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z y

 

 

 

2.

Найти производную скалярного поля u(x,y,z) x

 

 

 

 

в точке

 

y

x

M 1, 1, 2 по направлению нормали к поверхности x2 y2 z2

4, образующей

острый угол с положительным направлением оси OZ .

 

 

 

 

 

 

 

 

3.

Показать, что поле вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

10x4

z

 

 

 

2x5

 

 

 

2 y

 

y

 

 

y2

 

à

 

y

i

 

 

 

 

 

 

 

 

z

j

 

 

1

 

 

k

 

 

 

 

 

y2

 

1 y2z2

 

 

 

 

 

1 y2z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

потенциально. Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля вектора a y 2 i x 2

 

j z 2 k .

 

 

 

 

 

 

 

 

x

2

 

 

y

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Вычислить работу силы F

 

 

i

 

 

j x yk

при перемещении по дуге

z

 

 

 

 

окружности x2 y2 1,

 

 

 

 

 

 

 

 

z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 1, расположенной в I октанте между точками

A 1, 0,1 и B 0,1,1 .

6.Вычислить поток поля a y, x, z через часть поверхности

x2 y2 z2 R2, лежащую в III октанте, в направлении внешней нормали.

 

x

2

 

 

через полную поверхность пирами-

7. Найти поток поля a

 

i x y j 3zxk

ды с вершинами в точках A(4, 0, 0), B 0, 2,

0 , C 0, 0,

4 , O 0,0,0

в направле-

нии внешней нормали.

 

 

 

 

 

 

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора a z i x j x y

 

k , прини-

мая за контур интегрирования окружность x b cost,

y 0,

z b sint,а за по-

верхность интегрирования – поверхность конуса с высотой H , натянутую на

этот контур.

 

 

 

a, r , где r радиус-вектор точки поля,

9. Доказать, что r r, a 4

a заданный постоянный вектор.

10. Найти rot a f r , где a

y i 2 j xzk ,

f r произвольная дифференци-

руемая функция, a r2 x2 y2 z2.

 

16

Вариант №17

1. Потенциальная энергия частицы задана функцией

u x,y,z x2 2x 1 3z2 9 y. Найти силу F , действующую на частицу. Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля, в котором находится части-

ца?

Изобразить эти поверхности в случае u 0, u 9.

 

 

2.

Найти производную скалярного поля u(x, y,z)

 

 

4 z2 в точке

x y

M 1, 1, 0 по направлению нормали к поверхности z x2 y2 , образующей ту-

пой угол с положительным направлением оси OZ .

3.

Показать, что поле вектора

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

3

 

 

 

3x

 

 

 

à

 

yzsin x i

 

 

 

i zcosx 1

j

ycosx

 

1 k

 

z

z2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

потенциально. Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля вектора a y z 1 i x z 1

j x yk .

5.Вычислить работу силы F y z2i x2y j y2xk при перемещении по пря-

мой из точки A 2, 3, 1 и B 4, 6, 2 .

 

 

 

 

6.

Вычислить поток поля a x y

i z y j x y k через плоский тре-

угольник с вершинами A 6,6,0 , B 6,6,0 ,

C 0,6,6 в направлении оси OY .

7.

Найти поток поля a 75 x3

 

 

 

 

 

через замкнутую поверхность,

i y3

j z3k

 

 

x

2

y

2

x,

 

 

 

 

 

 

 

 

ограничивающую область

 

 

 

 

 

 

 

 

в направлении внешней нормали.

 

 

 

 

 

y2 ,

 

 

0 z x2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

8.Проверить формулу Стокса для поля вектора a 3y2 i 3z2 j 3x2 k , принимая за поверхность интегрирования поверхность, лежащую в I октанте, ограниченную сферой x2 y2 z2 4 и плоскостями x 0, y 0, а за линию интегрирования – линию пересечения этой поверхности с плоскостью z 0.

9.Доказать, что в потенциалом поле вектора a его потенциал u(x, y,z) удовлетворяет уравнению Пуассона u a .

10. Найти rot a и diva для вектора a rsinr r ,

r

 

r

 

, r радиус-вектор

 

 

точки.

 

 

 

 

 

17

u 0, u 4.

Вариант №18

1. Потенциальная энергия частицы описывается функцией

u M x2 2x 2 y2 4 y 4z2 16z 15 . Найти силу F , действующую на частицу.

Какой вид имеют эквипотенциальные поверхности поля, в котором находится частица? Изобразить эти поверхности в случае

 

Найти производную скалярного поля u(x, y,z) x2 y2 z2

3

 

 

2.

2 в точке

 

M 1, 1, 0 по направлению нормали к поверхности заданной уравнением

 

2x2 y2 z2 1.

 

 

 

 

 

 

 

3.

 

4x3

 

 

3x4

 

 

Показать, что поле вектора à

z3

i zcos y 1

j sin y

z4

2z k по-

 

 

 

 

 

 

 

тенциально. Найти потенциал поля.

 

 

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля вектора a 1 z i y j x 1 k .

 

5.

Вычислить циркуляцию ротора вектора

F y z2

 

 

2yk

по контуру,

i

x2z j x

состоящему из дуги параболы y x2 и отрезка прямой y x в плоскости z

0.

6. Найти поток поля a y i x j z k через часть поверхности z 4 2 x2

16,

лежащую во II октанте и отсеченную плоскостями y 0, y 2, в направлении внешней нормали.

7. Вычислить поток поля a x y i xz j z k через часть поверхности

z 4 x2 y2 отсеченную плоскостью z 2, в направлении внешней нормали. 8. Проверить формулу Стокса для поля вектора a y i x j x y k , прини-

мая за поверхность интегрирования поверхность, лежащую во II октанте, ограниченную сферой с центром в начале координат радиуса a и плоскостями y 0, z 0, а за контур интегрирования – линию пересечения этой поверхности с плоскостью x 0.

9.

 

 

 

2

 

 

 

 

Доказать, что

, (x, y,z)- дважды дифференциру-

емая функция.

 

 

 

 

 

 

 

10.

Найти rot a и diva для вектора a r b cosr , где r

 

r

 

, r - радиус-

 

 

вектор точки, b - постоянный вектор.

18

Вариант №19

1. Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого

описывается функцией (x, y,z)

3

. Построить эквипотенциальные по-

x2 y z2

 

 

верхности для случаев 1, 2.

2. Найти производную скалярного поля u(x, y,z) 4ln 3 y2 8x y z в точке

M 1, 1, 1 по направлению нормали к поверхности x2 2 y2 2z2 1, образующей

тупой угол с положительным направлением оси OZ . 3. Показать, что поле вектора

à

 

3

 

4y 5y

 

 

 

 

4y

2

 

 

ze4y

3z4

i 4xz e

4

j xe

3z3

1 k

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

x

 

 

потенциально. Найти потенциал поля.

4.Найти векторные линии поля вектора a 1 z i x j y 1 k .

5.Вычислить работу силы a y z i xz j при перемещении по дуге винтовой

линии x Rcost, y Rsint,

z

4t

от точки пересечения кривой с плоскостью

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 0

до точки её пересечения с плоскостью z 8.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

 

 

 

 

6.

Вычислить поток поля

a y 2 i

 

 

z 2 k через часть поверхности

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

z 2

x2 y2 , лежащую во II октанте, в направлении внешней нормали.

 

7.

Найти поток поля

 

 

 

 

2

 

 

через замкнутую поверхность, ограни-

 

a x

 

i y j z k

 

 

 

 

 

 

 

 

2

y

2

2 y,

в направлении внешней нормали.

 

 

 

чивающую область x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

0 z 4 y,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

3

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a y z i

xz

 

 

x

 

j x y k ,

8

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

принимая за поверхность интегрирования боковую поверхность пирамиды,

 

ограниченную плоскостями x 0, y 0,

 

x 2 y 4z 8

z 0 , а за контур инте-

грирования – линию её пересечения с плоскостью z 0.

 

 

 

 

 

 

 

9.

Доказать, что rot

c f r 1 d f r,c , где r

 

r

 

,

r радиус-вектор точки,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

r

d r

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

c постоянный вектор,

f r - произвольная дифференцируемая функция от r.

10. Найти a и a

 

для поля вектора a csin r , если c постоянный вектор,

r

 

 

r

 

 

, r радиус-вектор точки.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

19

 

Вариант №20

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1.

Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого

описывается функцией (x, y,z)

 

 

1

 

 

 

 

. Построить эквипотенциальные по-

y

2 z2 x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

верхности для случаев 1, 2.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

2.

Найти производную скалярного поля u(x, y,z) ln ex ey ez

в начале ко-

ординат по направлению луча, образующего угол 60 с осью абсцисс,

угол 45

с осью ординат, а с осью аппликат – тупой угол.

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

1

 

 

 

 

 

z

 

 

y

 

5

 

 

y

 

3.

Показать, что поле вектора à

 

 

 

 

 

 

i

 

 

 

 

 

e

 

 

 

 

j

 

 

1 k по-

x y z

 

y z

 

 

 

тенциально, найти потенциал поля.

 

 

x

 

 

 

y

 

x y z

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

4.

Найти векторные линии поля вектора a z 1 i z x

j x 1 k .

 

 

 

 

 

 

z2

 

 

 

y2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

5.

Вычислить работу силы F z y i

 

 

 

 

j

 

 

 

 

k

при перемещении вдоль ли-

 

x

 

 

x

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

нии (L): x = 4, x 4, y2 z2 16 от точки A 4, 4, 0

к точке B 4, 0, 4 .

 

6.Вычислить поток поля a x3 i j k через часть поверхности

x2 y2 z2 1, лежащую в IV октанте, в направлении внешней нормали.

 

 

2

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

7. Найти поток поля a 6x y i 3y

j 5 k через полную поверхность пира-

миды с вершинами в точках A 2,0,0 , B 0,1,0 , C 0,0, 1 ,

 

D 0,0,0

в направ-

лении внешней нормали.

 

 

 

 

2

 

 

 

2

 

2

 

 

 

y

z

z

y k , при-

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора a

 

i

 

x j x

 

нимая за контур интегрирования окружность x2 y2

4, z

2, а за поверхность

интегрирования – поверхность кругового цилиндра

 

2

y

2

4,

натянутую на

x

 

 

эту окружность, и плоскость z 0.

 

0 z 2,

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

 

9. Доказать, что вектор div u gradv u v gradu, gradv , где u u(õ,y,z),

v v(õ, y,z) произвольные дважды дифференцируемые функции.

 

 

10. Вычислить rot r, a b , если a 2 i j , b 3 i 2

j k , r x i y j zk .

20

Тут вы можете оставить комментарий к выбранному абзацу или сообщить об ошибке.

Оставленные комментарии видны всем.