Тема 4_векторный анализ (теория поля)

Вариант №21

1.

Найти производную поля (õ)

x2

y2

z2

x2yz в точке A 1,2,1 в

z

y

x

направлении, образующем равные острые углы с осями координат.

2.

Найти угол между градиентами скалярных полей

v x,y,z

x

3

x

2

1

1

6 y3 3z3

6 , u x,y,z

в точке М

2,

,

.

2

2

yz

2 3

3.

Показать, что поле вектора

2

z

x

2

z 1

2

1

à

2x y z z

i

j

x

y 2xz

k

x

2

x

потенциально. Найти потенциал поля.

4.

Найти векторные линии поля градиентов функции õ,y,z y2 xz x z.

5.

Вычислить работу силы F y z x2 i x z y2

j x y z

2 k при переме-

x2

y2

16 1, из точки A 2,0,1

в точку B 0,4,1 .

щении по линии 4

z 1

6.

2

через плоский треугольник с вер-

Вычислить поток поля a y

i

y j xk

шинами в точках A 2,0,0 , B 0, 1,

0 ,

C 2,0,4 . Нормальный вектор плоскости

образует острый угол с осью OX .

7.

Найти поток поля a x y

i y 2z

j x y z k

через полусферу

z R

R2 x2 y2 в направлении внешней нормали.

8.

Проверить формулу Стокса для вектора a

y zi xz x2

x j

x yk , при-

1.

Дано скалярное поля (M)

x2 y2 z2

. Найти ,

2,

1

. Построить

поверхности уровня 0, 1,

2.

2.

Найти производную скалярного поля u(x, y,z) 4ln 3 x2 8x y z в точке

3.

Показать, что поле вектора

2

1

2 y

3

x

2

3

à 3x

y z

2

i x

j

x

2z k

y

x

y

2

x

потенциально. Найти потенциал поля.

4.

Найти векторные линии поля градиентов функции õ,y,z z2 x y x y.

yzi xz j x yk

5.

Вычислить работу силы F

при перемещении по линии

1 x2y2z2

1

L : x 1, y2 9z2

4 из точки A 1,

3, 1

в точку

B 1,1,

.

3

3

2

6.

Вычислить поток поля

a x 2 y

i z

j yk через часть поверхности

x2 y2

4, лежащую в I октанте и отсеченную плоскостями z 0, z 3

в

направлении внешней нормали.

7.

Найти поток поля a x yi x y j zxk

через часть поверхности

y 7

z2 x2 , отсеченную плоскостью y 3 в направлении внешней нормали.

8.

2

zk , при-

Проверить формулу Стокса для поля вектора a 2zi 3x z j x

нимая за поверхность интегрирования поверхность, лежащую в I октанте об-

разованную поверхностью y2 1 x z

и плоскостями x 0,

z 0, а за контур

Вариант №23

1

, M x, y,z . Построить

1.

Найти градиент поля (Ì

)

, где r

x2 y2 z2

r

поверхности уровня поля, соответствующие значениям 1,

2, 3.

2.

Найти производную скалярного поля u(x, y,z) x

y

в точке М 2,4,2

y

z

по направлению нормали к поверхности 4z 2x2 y2 0, образующей тупой

угол с положительным направлением оси OZ .

3.

Показать, что поле вектора à 3yx3y 1

по-

1 i 3x3y ln x z

j y 1 k

тенциально.

Найти потенциал поля.

4.

Найти векторные линии поля градиентов функции (õ, y,z) y z 1 x2

y z .

yzi xz j x yk

2

5.

Вычислить работу силы F

при перемещении по линии

z y

y2z2 x2

1

2,4, 1 .

от точки A

2, 2 2,

до точку B

2

6.

Вычислить поток поля

z

через часть поверхности

a yi j

k

в направлении внешней нормали.

z 6

x2 y2 , лежащую в IV октанте,

7.

Найти поток поля

2x

2

2 y

2

2

k

через замкнутую поверхность, об-

a

i

j 4z

разованную полусферой

и параболоидом 2z x2 y2 1 в

z

4 x2 y2

направлении внешней нормали.

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a x i

4 y2 y2z j 4z

2 k ,

принимая за контур интегрирования окружность, y2 z2 9,

x 1,

а за поверх-

ность интегрирования – поверхность цилиндра y2 z2

9,

x 5, натянутую на

этот контур.

9.

Доказать, что вектор rot ua urota gradu a, где u u(х, y,z)

- дифферен-

цируемая функция.

r

10. Найти f(r) , где r радиус-вектор точки, r

,

f(x) произвольная

дважды дифференцируемая функция. В каком случае

f(r) 0?

Ì 1, 1, 1

по направлению нормали к поверхности x2 2 y2 2z2 1, образующей

острый угол с положительным направлением оси OZ .

3. Показать, что поле вектора

z y

1

1

z

y

а

i

2 y

j

1 k

2

2

2

x

x

x

1 x y

1 x y

x2

5.

Вычислить работу силы F

i x y j zk

при перемещении по меньшей

y

2

2

2

точки A 2,1,

0

к точке B 0,1, 2 ,

дуге кривой x3 z3

23, y 1 от

1

6.

Вычислить поток поля a x j

z 4 k

через часть поверхности

z 4 x2 y2 , лежащую в IV октанте, в направлении внешней нормали.

7.

Найти поток поля a x z i x y

j y z k через часть поверхности

y

x2 y 1 2

, отсеченную плоскостью z 1, в направлении внешней нормали.

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a yz 4x i xz j x yk ,

принимая за контур интегрирования эллипс 9z2 4x2 36,

y 0, а за поверх-

ность интегрирования – часть поверхности цилиндра 9z2 4x2 36

0 y 3 и

часть плоскости y 3.

9. Доказать, что div a b rota b a rotb .

10. Найти (ra), где a 3i 2 j k , а r2 x2 y2 z2.

Какую форму имеют эквипотенциальные поверхности?

2.

Найти производную скалярного поля u(x, y,z) 1 x2y

x2 5z2 в точке

4

Ì 2, 12,1 по направлению нормали к поверхности z2

x2 4 y2 4, образующей

тупой угол с направлением оси OZ .

3.

Показать, что поле вектора

1

1

1

à 2 x y 1

i 2 x y

j 2 z

k

x2y z

x y z2

2

x y2z

потенциально. Найти потенциал поля.

4.

Найти векторные линии поля a x 1 i z 3 j y 3 k .

x

2

5.

Вычислить работу вектора силы F

i x y j

z

k по меньшей дуге

y

x

окружности x2 z2 1, y 1

от точки A 1,1,0

до точке B 0,1,1 .

6.

Вычислить поток поля a xi x j zk через плоский треугольник с вер-

шинами в точках A 4,0,0 , B 0,2,0 , C 4,0,4 . Нормальный вектор плоскости

образует с осью OY острый.

7.

Найти поток поля

2

2z

2

k

через границу пространственной об-

a y i y

j

ласти 13 x2 y2 z 6

x2 y2 в направлении внешней нормали.

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a 2x yi x2

2y z j 3y

2 k ,

принимая за контур интегрирования астроидуx cos3t,

y sin3t,

z 0,а за по-

верхность интегрирования – часть плоскости XOY , ограниченную астроидой.

9.

Доказать, что поле вектора u v

соленоидально, если u u õ,y,z ,

v v õ, y,z дифференцируемые скалярные функции.

10.

r радиус-вектор точки, r

r

.

Найти a , где a cosr yi 2 j xzk ,

угол с положительным направлением оси OZ .

3.

Показать, что поле вектора

2

z

z

1

а yz z

y

i xz x

1

j

x y 2xz

k

x2y

x y2

x y

потенциально. Найти потенциал поля.

2

4.

Найти векторные линии поля вектора

a y i x j x y

k .

5.

Вычислить работу вектора силы F y z

i z x j x y k

при пере-

2

y

2

16,

мещении по линии x

x 4z 4.

6.

Вычислить поток

поля

2

k

через часть

поверхности

a x 2z i x j y

x2 y2 4, лежащую

во

II октанте

и

отсеченную

плоскостями

z 0, z 1, в

направлении внешней нормали.

7.

z

2

k через часть поверхности

Найти поток поля a xz i x y j

z

x2 y2 , отсеченную плоскостью z 2, в направлении внешней нормали.

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a y i x j x y k , прини-

образованную параболоидом x 4 z2 y2,

а за контур интегрирования – ли-

нию пересечения этой поверхности с плоскостью x 0.

9. Доказать, что div ua udiva agradu, где u u(х, y,z)

- дифференциальная

функция.

10. Найти a и a, для поля вектора a

r

,

sinr xi 2 y

j 3zk , где r

вектора силы F постоянен? Изобразить эти поверхности для случаев

F

1,

F

2,

F

3.

yz2 в точке Ì

1,1,

12

2. Найти производную скалярного поля u(x, y,z) x

y

2

z

x

а z

y

i z x j y 2xz 1

k

sin2 xz

sin2 xz

x

2

y

3

5. Вычислить циркуляцию вектора a

i 2 j xzk вдоль контура

x2 y2 2, z 1.

4

6. Вычислить поток поля a

x z

i x y k

через часть поверхности

x 3

y2 z2 , лежащую в I октанте, в направлении внешней нормали.

7. Найти поток поля a 2xi y j 3zk через границу выпуклой области, за-

ключенной между поверхностями x2 y2 z2

9 и x2 z2 2 y 6 0, в направле-

нии внешней нормали.

a

8. Проверить формулу Стокса для поля вектора

y z x 2 y2 i xz j x yk ,

принимая за контур интегрирования окружность

x2 y2 a2, z 0 ,

а за по-

верхность интегрирования –

поверхность

цилиндра

x2 y2 a2 0 z 14

и

плоскость z 0.

9. Доказать, что uv u v v u 2 u, v

, если u u(х, y,z), v v(х, y,z) -

дважды дифференцируемые скалярные функции.

10. Найти a и a для поля вектора a cosr 2x i 3y j zk , где

r

r

, r радиус-вектор точки.

4x2

y 1 2

1.

Потенциальная энергия частицы имеет вид u

. Найти силу F ,

z2

действующую на частицу.

Построить эквипотенциальные поверхности u 0,

u 1,

u 4.

2.

Найти производную

функции

f (x, y,z) arctg

yz

в

точке Ì 1,1, 1 в

x

направлению градиента функции (x, y,z) x2 4 y2 9z2 1.

3.

Показать, что поле вектора

y2

2 y

z

1

à

i

zcos yz

x

j

ycos yz 2z

k

x2

y2

y

2

2

2

x

y

z

4,