Тема 4_векторный анализ (теория поля)

Вариант №31

1.

Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого

имеет вид (r) arcsin

1

, где r

радиус-вектор точки,

r

r

. Построить по-

r

верхности равного потенциала для случаев ,

,

.

Найти производную поля f x, y,z x3y2 z

6

4

3

2.

в направлении градиента функ-

ции x,y,z x2 4x y 5y 6z2 в точке M 3,1,

13 .

3.

Показать, что поле вектора

3y

4x3

1

2x4

2

4

по-

à

i

3y

j 5z

k

x4

y2

y3

x3

тенциально. Найти потенциал поля.

4.

Найти векторные линии поля вектора a x y2 z2

i y j zk .

z2

5.

Вычислить работу силы F x i

j yk

при перемещении по замкнуто-

3

2

9 y

2

1,

му контуру 4x

z 2x y 1.

4

2

6.

Вычислить поток поля

a

y z

j

x y k

через часть поверхности

y

z2 x2 , лежащую в I октанте и отсеченную плоскостью y 3, в направле-

нии внешней нормали.

2

7.

y

2

z

2

k

через замкнутую поверхность, огра-

Найти поток поля a x

i

j

ничивающую область

x2 y2 2,

в направлении внешней нормали.

0 z y2,

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a 4x2 y x2

i 4 y2

j zk ,

ность интегрирования – часть поверхности цилиндра x2 y2 a2,

0 z 4 и

z 4.

9. Найти div grad f r , где

r2 x2 y2 z2 , а f r произвольная дважды

дифференцируемая функция от r.

10. Найти a , если a

с

, c y,z,x , r2 x2 y2 z2.

sin r

Вариант №32

1.

Найти вектор напряженности электрического поля, потенциал которого

имеет вид (x, y,z)

x2 y2

. Построить эквипотенциальные поверхности для

z

случаев 0, 1.

2.

Найти производную поля u(x,y,z) arctg

y

xz

в точке M 2, 2, 1 по

x

5z

3

2

3.

Показать, что поле вектора

а 4x3ey

i x4 ey

1 j

15z

1 k по-

2

x

x

тенциально. Найти потенциал поля.

4.

Найти векторные линии поля вектора a z y

i z 3

j y 3

k .

5.

Вычислить работу вектора силы F yi x j zk

при перемещении по за-

2

y

2

z

2

1,

мкнутому контуру x

x z.

Вычислить поток поля a

2

x 4

6.

i z j 6 k через часть поверхности

x2 y2 z2 4, лежащую в IV октанте, в направлении внешней нормали.

7.

2

через замкнутую поверхность, ограни-

Найти поток поля a x

i y j 2zk

x

2

y

2

6 y,

чивающую область

1

в направлении внешней нормали.

0 z

x2

y2 ,

16

8.

y z

2

2

2

k , при-

Проверить формулу Стокса для поля вектора a

i zx

j x y

нимая за контур интегрирования окружность x2 y2

9,

z 1, а за поверхность

d f

r

9.

Доказать, что c

d r

, где c

, r f r , c - постоянный вектор,

r

r - радиус-вектор точки,

r

r

,

f r - произвольная дифференцируемая функ-

ция от r.

a , если r - радиус-вектор точки,

10.

Для поля вектора a r3 r . Найти a,

r

r

.

2.

Найти производную поля f(x, y,z) x y3z4

в направлении градиента функ-

ции x, y,z x3 4x2y 5z2 3в точке M -1,21,-1 .

3.

Показать, что поле вектора

y z4 z4

z y

5

4y z3

z y

à

i

ze

6 y

j

ye

k

x2

x

x

потенциально. Найти потенциал поля.

i

j

k

4.

Найти векторные линии поля вектора a

.

x 3

y 4

z 9

5.

2

при переме-

Вычислить работу силы F y z x2

i xz y

j x y z2

k

2

y

2

9,

лежащей в I октанте, от точки A 3,0,0

к

щении по окружности x

z 0,

точке B 0,3,0 .

6.

Вычислить поток поля a x y

i y j zk

через плоский треугольник с

вершинами в точках A 2,0,0 , B 2,0,4 ,

C 2, 2,

0 . В направлении оси OX .

7.

Найти поток поля a x z

i x y j z y

k

через замкнутую поверх-

ность, ограничивающую областьx2 y 2 z 23

3

, в направлении

x2 y2

внешней нормали.

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора

2

z

2

x

2

y k , при-

a

y

z i

x j

нимая за контур интегрирования окружность x2 y2

4,

z 2, а за поверхность

интегрирования – круг, ограниченный этой окружностью.

9.

Доказать, что div f r r 3 f r r

dd rf , где r

радиус-вектор точки,

r

r

, f r произвольная дифференцируемая функция от r.

10. Для поля вектора a r3c

найти rot a,если

r

2

x

2

y

2

z

2

,

2

c 2xi

y

x j z k.

à y zxy 1 1 i 5z y4 xyzln x 2y

j y5 xy 3z2 k

потенциально. Найти потенциал поля.

2

4.

z

x

Найти векторные линии поля вектора a z i

j x k .

5.

Вычислить циркуляцию вектора a y i x j z k

по контуру, составлен-

ному из осей координат и дуги кривой x a cos3t,

y a sin3t

между точками

A a,0,1 и B 0,a,1 в плоскости z 1.

y

6.

Найти поток поля a y i x

k через часть поверхности

2

y

z2 x2, лежащую в IV октанте и отсеченную плоскостями y 2, в

направлении внешней нормали.

7.

Найти поток поля a y i x j z k

через замкнутую поверхность, ограни-

2

y

2

4,

x 2

в направлении внешней нормали.

чивающую область

0 z 8 x,

8.

Проверить формулу Стокса для поля вектора a yz i xz 4x j x y k ,

принимая за контур интегрирования эллипс 4x2 y2 4,

z 0, а за поверхность

интегрирования – часть поверхности цилиндра

2

y

2

4,

и плоскости z 2.

4x

0 z 2,

9.

Показать, что любое решение уравнения a k2 a 0, удовлетворя-

ющее условию соленоидальности, удовлетворяет векторному уравнению

Гельмгольца 2 a k2 a 0.

10. Вычислить rot a и diva, где a yzi 2xz j

cosr,

r2 x2 y2 z2.