ТВ_и_МС
.pdf164 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Лекции 15–16 |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xijk |
|
|
|
|
|
|
|
Q |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
общее среднее |
X |
= |
|
|
|
ijk |
|
= |
|
|
; |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
|
pqn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
pqn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
средние по строкам таблицы |
|
|
|
(B)j = |
|
∑xijk |
= |
Q(B)j |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X |
|
|
ik |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
pn |
|
pn |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
(для каждого значения фактора B ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
∑xijk |
|
|
Q(A)i |
|
|||||||||||||||||||
средние по столбцам таблицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
(A)i = |
|
jk |
|
|
|
|
|
|
= |
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
qn |
qn |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||
|
|
|
(для каждого значения фактора A ); |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
средние по клеткам таблицы |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
ij = |
∑xijk |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
X |
k |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
n |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
(для каждого сочетания факторов) . |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
Отклонение результата отдельного измерения xijk |
от общего среднего |
|
|
|
|
мож- |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
но представить в виде: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||
xijk − |
|
= (xijk |
− |
|
|
|
ij )+( |
|
|
|
ij − |
|
|
)= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||
X |
X |
X |
X |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= (xijk |
− |
|
|
ij )+( |
|
|
ij − |
|
(A)i − |
|
|
(B) j + |
|
|
)+( |
|
|
(A)i − |
|
|
)+( |
|
(B) j − |
|
|
)= |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
= ( |
|
(A)i − |
|
)+( |
|
(B) j |
− |
|
)+( |
|
ij − |
|
(A)i |
− |
|
(B) j + |
|
)+(xijk − |
|
ij ). |
|||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||||
|
|
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
X |
Первое слагаемое зависит только от фактора A , второе – только от фактора B , третье слагаемое описывает эффекты взаимодействия факторов A и B , а последнее – влияние неучтенных случайных факторов.
Разложим сумму квадратов отклонений значений признака X от общего среднего на составляющие. С учетом того, что суммы перекрестных произведений равны нулю, получаем
∑(xijk − X )2 = ∑(X (A)i − X )2 + ∑(X (B)j − X )2 +
ijk |
|
|
|
|
ijk |
|
|
|
|
ijk |
||
|
+∑( |
|
ij − |
|
(A)i |
− |
|
(B)j + |
|
)2 + ∑(xijk − |
|
ij )2 . |
|
X |
X |
X |
X |
X |
|||||||
|
ijk |
|
|
|
|
ijk |
Найдем число степеней свободы, соответствующее каждому источнику вариации. Общее число степеней свободы равно N −1 ( N – общее число наблюдений, N = npq ). Число степеней свободы между столбцами равно p −1, между
строками – q −1, для взаимодействия – (p −1)(q −1), внутри ячеек – (n −1) pq = N − pq . Проверка:
(N − pq)+(p −1)+(q −1)+((p −1)(q −1))=
166 |
Лекции 15–16 |
Пример:
Пусть экспериментально проверяется влияние на сроки работы детали двух факторов: технология изготовления (три метода, фактор A ) и материал (два вида, фактор B ). Данные (число месяцев работы детали) собраны в таблице.
|
Материал |
|
Технология (фактор A ) |
|
Сред- |
||
|
(фактор |
|
Сумма по |
||||
|
|
нее |
|||||
|
B ) |
|
|
|
|
строке |
|
|
|
1 |
|
2 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
10; 8; 7; |
8; 12; 14; 12 |
15; 8; 10; 10 |
124 |
10,33 |
|
|
10 |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
12; 8; 8; 7 |
12; 13; 11; |
13; 15; 12; |
135 |
11,25 |
|
|
14 |
10 |
|||||
|
|
|
|
|
|
||
|
Сумма по |
70 |
|
96 |
93 |
259 |
–– |
|
столбцу |
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Среднее |
8,75 |
|
12,00 |
11,63 |
–– |
–– |
|
|
|
|
|
|
|
|
Результаты вычислений сумм квадратов и дисперсий дают:
Источник |
|
Сумма квадратов |
|
|
Число степеней |
|
Оценка |
|
|||||||||||||||||||||
вариации |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
свободы |
|
|
дисперсии |
|
|||||||||||
Фактор A |
|
|
|
|
50,6 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
s42 = 25,3 |
|
||||||||||
Фактор B |
|
|
|
|
|
5,0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
s32 |
= 5,0 |
|
||||||||
Взаимодействие |
|
|
|
2,8 |
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
s22 |
=1,4 |
|
||||||||||
A×B |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Остаточная |
|
|
|
|
85,4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
s12 |
= 4,8 |
|
|||||||||
вариация |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
Итого: |
|
|
|
|
|
143,8 |
|
|
|
|
|
|
23 |
|
|
|
|
–– |
|
|
|||||||||
Экспериментальные значения критерия |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||
* |
|
25,3 |
|
2 |
|
* |
|
5,0 |
|
|
|
1 |
|
* |
|
1,4 |
|
|
2 |
|
|||||||||
FA |
= |
4,8 |
= 5,3; |
|
, |
FB = |
4,8 |
=1,1; |
|
|
|
, |
FAB = |
4,8 |
= 0,28; |
|
|
. |
|||||||||||
|
|
|
|
||||||||||||||||||||||||||
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
18 |
|
||||||||||
При α = 0,05 критические значения |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
2 |
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
FA(α) |
|
|
|
|
= 3,555 ; FB(α) |
|
|
= 4,414 |
, |
FAB(α) |
|
|
= 3,555 . |
|
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||||||||||||||||||
|
|
18 |
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
18 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
Сравнивая, получаем |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||
F* |
= 5,3 > F |
= 3,555 , F* =1,1 < F |
|
= 4,414 , F* |
= 0,28 < F |
|
|
= 3,555 . |
|||||||||||||||||||||
A |
|
|
|
|
|
A(α) |
|
|
|
|
B |
|
B(α) |
|
|
|
|
|
AB |
|
AB(α) |
|
|
Так как в качестве нулевых гипотез выдвигались предположения об отсутствии влияния факторов, то гипотезу об отсутствии влияния фактора А следует откло-
нить, фактор А оказывает значимое влияние, для отклонения гипотез об от-
сутствии влияния фактора В и взаимодействия факторов оснований нет, их влияние незначимо.
Вывод: срок службы детали зависит от метода изготовления и не зависит от вида материала (в рамках исследованных методов и материалов!).
ПРИЛОЖЕНИЯ