ТВ_и_МС

Дальнейшее построение критической области для двух- и односторонней проверок проводится аналогично предыдущему, но вместо квантилей стандартного нормального распределения zα используются квантили распреде-

ления Стьюдента tα , определяемые по таблицам распределения Стьюдента,

а не Лапласа. Плотность распределения Стьюдента подобна функции Гаусса (плотности стандартного нормального распределения), но имеет отрицательный эксцесс, вследствие чего в «хвостах» распределения Стьюдента заключена бóльшая площадь. Следовательно, при том же уровне значимости значение tα будет больше, чем zα , т.е. доверительный интервал шире, чем по-

строенный на основе нормального распределения.

Пример:

Рассмотрим условия предыдущего примера ( H0 : средний размер детали X = 5,8 мм, альтернатива H1 : X ≠ 5,8 мм, выборочное среднее X B = 5,2 мм) с изменениями: выборка является малой, n =15 , выборочное среднеквадратическое отклонение s = 0,4 мм.

При том же уровне значимости α = 0,05 и числе степеней свободы ν = n −1 =15 −1 =14 найдем соответствующий квантиль tα 2 = 2,145 .

Допустимая область значений параметра t (−2,145;2,145). Вычисляя выбо-

б) Сравнение средних значений двух совокупностей

Пусть имеются две совокупности, характеризующиеся средними X , Y и дисперсиями σx2 , σy2 . Выдвигается гипотеза, что эти средние равны, т.е.

H0 : X = Y . Для проверки этой гипотезы из каждой совокупности производится выборка: из первой – объемом n1 , в результате которой получаются

Теперь сделаем дополнительное предположение, что дисперсии обеих совокупностей равны, т.е. σx2 =σy2 = σ2 . Это предположение нуждается в специ-

альной проверке, о чем речь пойдет в следующем разделе. Если принять это предположение, то

Подставляя это выражение в формулу для критерия, получаем

Если обе выборки достаточно большого объема, то X B и YB распределены нормально, поэтому нормально будет распределен и критерий Θ. Заменяя

неизвестную дисперсию генеральной совокупности σ2 ее несмещенной выборочной оценкой

зуются два соотношения для средних X B и YB .

Дальнейшая проверка ведется обычным образом с использованием таблиц функций распределения Лапласа. Если выборки малого объема и применение нормального распределения может привести к ошибкам, для того же критерия z используется распределение Стьюдента.

Пример:

Для проверки эффективности новой технологии отбираются две группы рабочих: в первой группе численностью n1 = 40 чел., где применяется новая

технология, получены следующие данные: средняя выработка в штуках X B = 84 , при этом sx =10,1, во второй группе численностью n2 = 54

YB = 77,5 sy = 8,4 .

Определим со значимостью α = 0,05 , действительно ли новая технология

Критическое табличное значение критерия при α = 0,05 составляет 1,96. Так как zэксп >1,96 , то нулевая гипотеза об отсутствии влияния новой технологии должна быть отклонена. Если, считая n1 и n2 небольшими числами, воспользоваться распределением Стьюдента, получается тот же результат.

12.1.3. Сравнение дисперсий двух совокупностей

Проверять гипотезу о равенстве дисперсий двух совокупностей приходится во многих случаях: например, при анализе стабильности производства до и после введения технического новшества (стабильность выпуска продукции измеряется с помощью дисперсии измеряемого признака), при изучении качества измерительных приборов (сопоставление дисперсий показателей отдельных приборов), при изучении степени однородности двух совокупностей в отношении какого-либо признака (квалификации рабочих, успеваемости учащихся и т.д.). Необходимость проверки равенства дисперсий возникает, как было показано в предыдущем разделе, и при сравнении средних значений двух совокупностей, поскольку при этом в большинстве случаев предполагается, что генеральные дисперсии равны.

Пусть имеются две нормально распределенные совокупности, дисперсии которых равны σ12 и σ22 ; нулевая гипотеза H0 :σ12 =σ22 . Так как дисперсии генеральных совокупностей неизвестны, проверка гипотезы осуществляется на основе сопоставления выборочных дисперсий s12 и s22 . Если отношение s12 : s22 близко к 1, нет оснований отклонять нулевую гипотезу, если значи-

тельно отличается – гипотеза отклоняется. Для решения вопроса, насколько большим должно быть отличие выборочных дисперсий, чтобы отклонение нулевой гипотезы было достаточно обоснованным, используется отношение

Фишера – Снедекора, рассматривалось ранее, при обсуждении распределений, связанных с нормальным. Оно зависит от двух параметров – чисел степеней свободы числителя и знаменателя: ν1 = n1 −1 и ν2 = n2 −1, где n1 и n2 –

объемы выборок. Числа ν1 и ν2 указываются в фигурных скобках рядом с вычисленным значением F :

126 Лекции 11–12

Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной гипотезы.

1). Нулевая гипотеза H0 :σ12 =σ22 . Альтернативная гипотеза H1 :σ12 >σ22 (считаем, что выборки пронумерованы так, что s12 > s22 ).

По заданному α и известным ν1 и ν2 по таблице распределения Фишера – Снедекора находим критическое значение Fα . Проверка гипотезы H0 сво-

дится к следующему правилу: если отношение выборочных дисперсий Fэксп > Fα , гипотеза H0 отклоняется; если Fэксп < Fα , гипотеза H0 не отклоняется.

2). Нулевая гипотеза H0 :σ12 =σ22 . Альтернативная гипотеза H1 :σ12 ≠σ22 .

В этом случае строим симметричную двустороннюю критическую область с

ческих точек распределения Фишера – Снедекора для уровня значимости α2

и степеней свободы ν1 и ν2 . Левых критических точек F1 таблица не содер-

жит, но, при выбранном симметричном способе построения критической области, достигается попадание критерия F в критическую область с вероятностью, равной уровню значимости α . Так как из определения уровня значи-

мости P (F < F1 )+ P (F > F1 )=α , то выбирая P (F > F2 )= α2 , мы одновре-

менно достигаем и P (F < F1 )= α2 . Проверка гипотезы H0 производится по тому же правилу, что и в случае односторонней критической области, но таб-

Пример:

Два завода производят однотипные измерительные приборы. Для сравнения качества продукции проведены серии измерений приборами каждого завода. Из совокупностей наблюдений сделаны выборки, объемы которых

n1 = n2 =15 , исправленные выборочные дисперсии s12 =1,35 и s22 = 0,45 . При уровне значимости α = 0,1 проверить гипотезу о равенстве генеральных дисперсий при альтернативной гипотезе σ12 ≠σ22 .

Найдем наблюдаемое значение критерия

принимается, различие дисперсий статистически значимо. Приборы второго завода производят измерения с меньшей дисперсией, с меньшим разбросом и поэтому более предпочтительны.

12.1.4.Сравнение исправленной выборочной дисперсии

сгипотетической генеральной дисперсией

нормальной совокупности

Пусть генеральная совокупность распределена нормально и есть основания предполагать (скажем, на основании предыдущих испытаний), что гипотети-

ческая (предполагаемая) дисперсия генеральной совокупности равна σ02 . Из генеральной совокупности извлечена выборка объема n и по ней вычислена исправленная выборочная дисперсия s2 с ν = n −1 степенями свободы.

Требуется проверить, значимо ли отличие s2 от σ02 . Как нулевую гипотезу выдвигаем H0 :σ2 =σ02 . На практике рассматриваемая гипотеза проверяется,

если нужно проверить точность приборов, инструментов, станков, устойчивость технологических процессов. Например, известна допустимая мера рас-

сеяния размера деталей σ02 , изготовляемых станком-автоматом, и по найденной по выборке характеристике рассеяния s2 требуется определить, значимо ли отличие s2 от σ02 , нужна переналадка станка или не нужна.

В качестве критерия проверки нулевой гипотезы примем случайную величи-

(n −1)s2

ну . Можно доказать, что она распределена (при нормальном рас-

σ02

пределении признака) по закону χ2 с ν = n −1 степенями свободы. Итак, критерий проверки нулевой гипотезы

χ2 = (n −1)s2 .

σ02

Критическая область строится в зависимости от вида альтернативной гипотезы.

1). Нулевая гипотеза H0 :σ2 =σ02 . Альтернативная гипотеза H1 :σ2 >σ02 . В этом случае строим правостороннюю критическую область из усло-

вия

P (χ2 > χкрит2 )= α .

критические точки. Это затруднение можно обойти следующим образом: так

нимается.

12.2.Непараметрические гипотезы. Критерии согласия Пирсона и Колмогорова

Впредыдущих параграфах рассматривались методы проверки гипотез относительно отдельных параметров генерального распределения. Особое место занимают гипотезы относительно согласованности выборочного распределения с теоретическим (генеральным) распределением. Критерии согласия позволяют ответить на вопрос о том, являются ли различия между выборочным и теоретическим распределениями столь незначительными, что они могут быть приписаны влиянию случайных факторов, или нет.

Пусть закон распределения генеральной совокупности неизвестен, но есть основания предполагать, что он имеет определенный вид. В частности, если выполняются условия центральной предельной теоремы, есть основания ожидать, что генеральное распределение – нормальное; если выборочное среднее и выборочная дисперсия равны, то можно предполагать, что генеральная совокупность распределена по закону Пуассона и т.д. Эти утвержде-

ния носят характер гипотез, а не категорических утверждений, и должны быть подвергнуты статистической проверке.

Для проверки гипотезы H0 : закон распределения имеет данный вид (на-

пример, равномерный, нормальный и др.) используется специально подобранная с. в., которая называется критерием согласия.

Критерий согласия есть критерий проверки гипотезы о предполагаемом законе неизвестного распределения.

Имеется несколько критериев согласия: χ2 (хиквадрат) Пирсона, Колмогорова, Мизеса – Смирнова и др.. Мы познакомимся с критериями χ2 и Колмогорова.

12.2.1. Критерий Пирсона

Рассмотрим случай, когда выборка представляется интервальным статистическим рядом. Для изучения случайной величины Х проведено n опытов, диапазон наблюдавшихся значений величины Х разбит на q интервалов. Ряд распределения имеет вид:

В соответствии с предполагаемым теоретическим законом распределения, вычислим вероятности попадания с.в. в соответствующий интервал pi = P(xi < X < xi +1 ) и рассмотрим величину

которая характеризует степень расхождения теоретических и эмпирических данных. Учитывая, что pi = mni , получим

Можно показать, что при n → ∞ распределение этой с.в., независимо от того, каков закон распределения генеральной совокупности, стремится к рас-

пределению Пирсона χ2 с числом степеней свободы ν = q −1−k , где k –

число параметров генерального распределения, оцениваемых на основании наблюденных данных. Если проверяется согласие выборочного распределения с распределение Пуассона, единственный параметр которого оценивается по выборочным данным, то ν = q −2 , если проверяется согласие с нор-

130 Лекции 11–12

мальным распределением, для которого по выборочным данным оцениваются два параметра X и σ , то ν = q −3 и т.д.

При полном совпадении теоретического и экспериментального распределений χ2 = 0 , в противном случае χ2 > 0 . Задавшись уровнем значимости α , находим табличное критическое значение χα2 , при χнабл2 < χα2 принимаем гипотезу H0 , при χнабл2 ≥ χα2 отклоняем гипотезу H0 о виде распределения.

В связи с асимптотическим характером закона Пирсона χ2 должны выполняться следующие условия:

1)выборка должна образовываться в результате случайного отбора;

2)объем выборки n должен быть достаточно большим (практически не менее 50 единиц);

3)численность каждой группы должна быть не менее 5 (если это условие не выполняется, производится объединение малочисленных интервалов).

Пример:

На экзамене экзаменатор задает студенту только один вопрос по одной из четырех частей курса. Из 100 студентов 26 получили вопрос по первой части, 32 - по второй, 17 - по третьей, остальные - по четвертой. При уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу, что вероятность получить вопрос по любой из четырех частей для пришедшего на экзамен одинакова.

Объемы выборки и групп n =100 , m1 = 26 , m2 = 32 , m3 =17 , m4 =100 −(26 +32 +17)= 25 . Вероятность получить вопрос по любой из че-

Так как ни один из параметров предполагаемого распределения не находился по выборке, то k = 0 б q = 4 и число степеней свободы

ν = 4 −(1+0)= 3 . По таблице для ν = 3 и α=0,05 находим критическую

точку χкр2 = 7,82 . Так как χнабл2 = 4,56 < χкр2 = 7,82 , гипотеза о равновероятности получить вопрос по любой из четырех частей курса не отвергается.

Пример:

Распределение признака Х в выборке задано интервальным вариационным рядом (первый и второй столбцы таблицы).

При уровне значимости α=0,05 проверить гипотезу о нормальном распределении Х в генеральной совокупности.

По данному интервальному ряду составим вспомогательный ряд (в качестве значений возьмем середины интервалов, в качестве вероятностей – относительные частоты):

Для вспомогательного ряда найдем выборочное среднее X B = 9,643 и исправленную выборочную дисперсию sB2 = 0,166 . Принимая их в качестве то-

чечных оценок соответствующих параметров генерального распределения, по таблице значений функции Лапласа найдем теоретические частоты (третий столбец исходной таблицы).

При дальнейших вычислениях объединим интервалы с малыми числами наблюдений (числа в таблице обведены рамками) и найдем наблюдаемое зна-

чение критерия χнабл2 = 7,06 (четвертый – шестой столбцы исходной таблицы). При уровне значимости α=0,05 и числе степеней свободы ν =11−(1+ 2)= 8 табличное критическое значение χкр2 =15,5 .

Так как χнабл2 = 7,06 < χкр2 = 15,5 , гипотеза о нормальном законе распределения Х в генеральной совокупности не противоречит опытным данным (гипотеза не отвергается).

12.2.2. Критерий Колмогорова

Величина χ2 зависит от группировки выборочной совокупности по интервалам, что вносит в оценку дополнительный элемент случайности.

В ряде случаев оказывается удобнее пользоваться критерием Колмогорова, основанном на сравнении эмпирической функции распределения F* (x)

(построенной на основании опытных данных) и предполагаемой теоретической функции распределения F (x). В качестве меры расхождения берется

максимум абсолютной величины разности между опытной F* (x) и теоретической F (x) функциями распределения накопленных относительных частот,

Очевидно, если расхождения слишком велики, то гипотеза о том, что функция распределения генеральной совокупности имеет вид F (x), отвергается.

При достаточно больших объемах выборки (как показывает практика, при n > 20 ) можно пользоваться предельным распределением критерия, предложенным А.Н. Колмогоровым, формально справедливым при n → ∞: если функция распределения генеральной совокупности F (x) непрерывна, то при n → ∞

При заданном уровне значимости α критерий Колмогорова отклоняет основную гипотезу H0 о виде функции распределения F (x), если Dn > D1−α ,

где D1−α – квантиль уровня 1−α распределения случайной величины D при