Добавил:

Upload Опубликованный материал нарушает ваши авторские права? Сообщите нам.

Вуз:

Уральский Федеральный университет им. Б.Н. Ельцина «УПИ»

Предмет:

[НЕСОРТИРОВАННОЕ]

Файл:

ТВ_и_МС

.pdf

Скачиваний:

Добавлен:

23.02.2015

Размер:

1.72 Mб

Скачать

☆

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Основы дисперсионного анализа

153

ТОбщее среднее равно среднему арифметическому групповых средних, взвешенному по объемам групп.

Доказательство:

Обозначим объем совокупности n , число групп m , групповые средние xk ,

общее

среднее

x ,

число элементов

в k -й группе

nk , ∑nk = n .

,x2

k =1

Пусть в

k -й группе наблюдаются значения признака

,...,xn . Тогда

(Σx)

групповое среднее xk

x1 + x2

+ ...+ xn

k , где (Σx)k

– сумма значе-

ний признака для элементов k -й группы, и (Σx)k

= xk nk .

Общее среднее

+ x

+ ...+ x

n x + n x

+ ...+ n x

x =

∑(

Σx)k =

∑nk xk =

1 1

n k =1

ОГрупповая дисперсия – дисперсия значений признака X, принадлежащих группе, относительно группового среднего,

	1	n
Dk (гр) =		∑k (xik − xk )2 (суммирование идет по элементам k -й группы).
	nk
		i=1

ОВнутригрупповая дисперсия – среднее арифметическое дисперсий, взвешенное по объемам групп,

D(внутр) =	1 ∑nk Dk(гр) = n1D1(гр) + n2 D2(гр) + ...+ nm Dь(гр) .
	m
	n k =1
	n k =1	n

ОМежгрупповая дисперсия – дисперсия групповых средних относительно общего среднего,

D(межгр) = 1 ∑m nk (xk − x )2 .

n k =1

ООбщая дисперсия – дисперсия значений признака X, принадлежащих всей совокупности, относительно общего среднего,

D(общ) = 1 ∑n (xi − x )2 ,

n i=1

(суммирование идет по всей совокупности). Справедливо следующее утверждение:

ТЕсли совокупность состоит из нескольких групп, то общая дисперсия равна сумме внутригрупповой и межгрупповой дисперсий.

Доказательство:

		n		m nk			m nk
D(общ) =	1	∑(xi − x )2	=	1 ∑∑(xi − x )2	=	1	∑∑(xi − xk + xk − x )2 =
	n i=1			n k =1 i=1		n k =1 i=1
	1	m nk					− xk )(xk − x )
=	1	∑∑ (xi − xk )2 + (xk − x )2 + 2 (xi					− xk )(xk − x )	=
	n k =1 i=1

154								Лекции 15–16
		m nk		m nk			m nk	− xk )(xk − x )=
=	1	∑∑(xi − xk )2 +		1 ∑∑(xk − x )2 +		2	∑∑(xi	− xk )(xk − x )=
	n k =1 i=1			n k =1 i=1		n k =1 i=1
		m	m		m		nk
=	1	∑nk Dk(гр) +	1 ∑nk (xk − x )2 +		2 ∑(xk − x ) ∑(xi − xk ) =
	n k =1		n k =1		n k =1		i=1

= D(внутр) + D(межгр)

Пример:

Пусть совокупность состоит из двух групп, статистические ряды для них имеют вид:

xi	2				4								5													xi′							3			8
mi	1				7								2													mi′							2			3
															3														2
Объемы				групп										n1 =∑mi =10 ,										n2 = ∑mi′ = 5 ,																		объем									совокупности
																i=1													i=1
n = n1 + n2			=15 , число значений признака в совокупностях ν1 = 3 , ν2																																																		= 2 .
Групповые средние
			3																																					2
				∑mi xi																																			∑mi′ xi′											2 3
	x =			i=1										= 1 2 +7 4						+ 2 5 = 4 ,														x =					i=1									=		2 3			+3 8 = 6 ,
	x =													= 1 2 +7 4						+ 2 5 = 4 ,														x =														=					+3 8 = 6 ,
	1							n1										10																2										n2									5
								n1										10			n1 x1 + n2 x2																							n2									5
общее среднее																			x =		n1 x1 + n2 x2											= 4 10 +6 5 =														14 .
общее среднее																			x =													= 4 10 +6 5 =														14 .
																							n + n											15												3
Групповые дисперсии																							1	2
Групповые дисперсии																					= 1 (2 −4)								+7 (					4 −4)												(5 −4)
	D1(гр) =								1 ∑mi (xi − x1 )2																		2											2			+ 2										2		6 ,
	D1(гр) =								1 ∑mi (xi − x1 )2																																+ 2										=		6 ,
											3
							n1					i=1																						10																			10
	D2(гр) = 1 ∑mi′														(xi − x2 )2						= 2 (3 −6)								2	+3 (8 −6)										2
	D2(гр) = 1 ∑mi′														(xi − x2 )2						= 2 (3 −6)									+3 (8 −6)										= 6 .
													2
									n2			i=1																		5
Внутригрупповая дисперсия																				10 0,6 +5 6
										1			m																= 12 .
	D(внутр)					=				1			∑nk Dk(гр) =																= 12 .
										n k =1													15									5
Межгрупповая дисперсия																							10 (4 −								)2 +5 (6 −												)2
										1			m								2							14													14						8
										1			m								2							3													3						8
	D(		межгр)			=							∑nk (xk					− x )				=																							=			.
	D(		межгр)			=							∑nk (xk					− x )				=										15													=		9	.
											n k =1																					15															9
Общая дисперсия
		1 (2 −							14	)2			+7 (4 −				14		)2 +		2 (5 −				14	)2 +				2 (3 −					14		)2 +3 (8 −												14	)2			148
D	=	1 (2 −							3	)2			+7 (4 −				3		)2 +		2 (5 −				3	)2 +				2 (3 −					3		)2 +3 (8 −												3	)2		=	148	.
D	=																																																			=		.
(общ)																							15																														45
																							15																														45
	D					+ D							межгр)		= 12			+ 8		=		148 = D										.
		(внутр)								(			межгр)		5			9				45				(общ)
															5			9				45

Основы дисперсионного анализа						155
	Если	групповые	средние	не	различаются,	x1 = x2 = ... = xm = x ,	то
!
		m	− x )2 = 0	и	внутригрупповая	дисперсия совпадает	с
	D(межгр) = 1 ∑nk (xk
		n k =1
	общей,	D(внутр) = D(общ) . Если		же групповые средние различаются, то
	различаются и D(внутр) и D(общ).				Именно на сопоставление дисперсий и
	опирается дисперсионный анализ.

15.3.Однофакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента

Рассмотрим наиболее простой план эксперимента – полностью случайный (рандомизированный). При таком способе получения и анализа данных не предпринимаются никакие действия, способствующие повышению надежности заключений при том же объеме данных или уменьшению объема данных при том же уровне надежности. Исследуем вначале влияние на значение признака только одного фактора. Разобьем результаты наблюдений на p групп (выборок), различающихся между собой уровнем фактора. Число наблюдений в каждой группе может быть различным, обозначим число наблюдений в j -й группе ( j =1,2, ..., p ) через nj . Значения признака в j -й группе обозначим через xij ,

где i =1,2, ..., np , i – порядковый номер наблюдения в j -й группе. Результаты наблюдений оформим в виде таблицы:

Номер
выборки	Наблюденные значе-	Объем	Сумма	Групповое
(уровень	ния признака	выборки	Сумма	среднее
(уровень	ния признака	выборки		среднее
фактора)

x11 , x21 , ..., xi1 , ..., xn11

T1 = ∑xi1

∑xi1

…

x1 j , x2 j , ..., xij , ..., xn1 j

Tj = ∑xij

∑xij

X j

…

x1 p , x2 p , ..., xip , ..., xn1 p

Tp = ∑xip

∑xip

X p

N = ∑nj

G = ∑∑xij

∑∑xij

Сумма

i j

В таблице представлены (кроме собственно значений признака) объемы выборок, суммы значений и средние значения, соответствующие данному зна-

156	Лекции 15–16

чению признака, а также общие: число наблюдений, сумма значений и среднее значение.

В соответствии с основной идеей дисперсионного анализа мы должны рассмотреть две дисперсии: первая, межгрупповая, обусловлена влиянием изучаемого фактора (дисперсия групповых средних); вторая, внутригрупповая, описывает влияние неучтенных факторов.

Соответствующие суммы квадратов отклонений запишем в виде

∑∑(xij − X )2 = ∑∑(xij − X j + X j − X )2 =

= ∑∑i j (xij − X j )2 + 2 (xij − X j )(X j − X )+ (X j − X )2 =

=∑∑(xij − X j )2 +∑∑(X j − X )2 + 2∑∑(xij − X j )(X j − X ) =

Слагаемое

Обозначив

= ∑∑(xij − X j )2 +∑nj (X j − X )2 .

2∑∑(xij −

j )(

j −

)=2∑(

j −

)∑(xij −

j )=

=0 .

=2∑(X j − X )

∑xij −nj X j

∑∑(xij −

)2 = Q0 , = ∑∑(xij −

j )2 = Q1 ,

∑∑(

j −

)2 = ∑nj (

j −

)2 = Q2 ,

перепишем разложение в виде Q0 = Q1 + Q2 , где Q0 – общая сумма квадратов отклонений, Q1 – сумма квадратов отклонений от групповых средних (сумма квадратов остаточных отклонений), Q2 – взвешенная сумма квадратов отклоне-

ний групповых средних от общего среднего.

Для получения оценок дисперсий необходимо каждую сумму квадратов разделить на число степеней свободы ν . Обозначим через ν0 число степеней

свободы, учитываемое при расчете общей дисперсии, ν1 – при расчете внутригрупповой дисперсии, ν2 – при расчете межгрупповой дисперсии. При расчете

несмещенной оценки дисперсии число степеней свободы равно N −1, так как одна степень свободы теряется при определении среднего, т.е. ν0 = N −1. Ана-

логично при оценке внутригрупповых дисперсий ν1 = N − p , так как p степе-

ней свободы теряется при вычислении p групповых средних X j . Наконец, при оценке межгрупповой дисперсии ν2 = p −1, так как групповые средние варьи-

руют вокруг одного общего среднего. Очевидно,

ν1 +ν2 = N − p + p −1 = N −1 =ν0 .

Основы дисперсионного анализа							157
Используя полученные суммы квадратов и числа степеней свободы, вы-
числим несмещенные оценки трех дисперсий:
s2 =	Q0	, s2 =	Q1	, s2	=	Q2	.
0	N −1	1	N − p	2		p −1

Группы, на которые разбита вся совокупность результатов, соответствуют различным значениям фактора, поэтому s12 характеризует рассеяние внутри групп, (случайная вариация признака, s12 называют также остаточной дисперсией); s22 характеризует рассеяние групповых средних (систематическая вариа-

ция). Задачу проверки существенности влияния исследуемого фактора можно, как обсуждалось в предыдущем параграфе, представить как задачу о сравнении внутригрупповой и межгрупповой дисперсий. Если влияние фактора отсутству-

ет, то s12 и s22 являются независимыми оценками дисперсии генеральной совокупности σ2 . Если же фактор оказывает существенное влияние, то отношение s22 : s12 превзойдет критический предел и выборки следует считать взятыми из

разных совокупностей (отличающихся уровнем воздействия фактора). Сравнение дисперсий двух выборок производится с помощью F - распре-

деления Фишера – Снедекора. Выдвигается нулевая гипотеза H0 : X 1 = X 2 = ... = X p = X об отсутствии влияния фактора По выборочным данным

	2				p −1
вычисляются оценки дисперсий s12 и s22 и их отношение	F =	s2	;			. В
		s12
				N − p

фигурных скобках после отношения дисперсий указаны числа степеней свободы, учтенных при расчете s12 и s22 . Задавшись уровнем значимости α , определяем по таблице критическое значение Fα и сравниваем вычисленное значение F с критическим. Если F ≤ Fα , то нет оснований отвергать нулевую гипотезу, влияние фактора не существенно; если же F > Fα , то нулевая гипотеза отвер-

гается и статистически подтверждается влияние фактора.

Результаты вычислений удобно оформить в виде таблицы, носящей название таблицы дисперсионного анализа.

Характер

Сумма квадратов

Число

Оценка

степеней

вариации

дисперсии

свободы

Систематическая

Q2 = ∑nj (

j −

p −1

s22

(межгрупповая)

p −1

Остаточная

Q1 = ∑∑(xij −

j )2

N − p

s12

N − p

(внутригрупповая)

Q0 = Q1 +Q2

= ∑∑(xij −

Итого:

N −1

––

i j

158	Лекции 15–16

Для вычисления сумм квадратов удобно воспользоваться формулами:

2		G2		Tj2		G2
Q0 = ∑xij	−	N	, Q2 = ∑		−	N	, Q1 = Q0 −Q2 ,

ij			j	n j

где Tj = ∑xij – сумма значений признака при определенном значении фактора,

G = ∑∑i xij – общая сумма значений признака.

i j

Пример:

Для проверки влияния методики обучения производственным навыкам на качество подготовки отбираются случайным образом четыре группы учеников, которые после окончания обучения (по разным методикам) показали следующие результаты (см. таблицу ниже).

Группа

Выработка, шт.

Число

Суммарная

Групповое

(методика)

учени-

выработка,

среднее

ков

шт.

60, 80, 75, 80, 85, 70

450

75, 66, 85, 80, 70, 80,

546

80, 90

426

60, 80, 65, 60, 86, 75

95, 85, 100, 80

360

Итого:

1782

77,48

Вычисляя суммы, имеем G =1782 , N = 23 ,

Tj2

∑xij =140481,

=138066,3,

∑

=138984

и заполняем таблицу дисперсионного анализа.

Характер

Число

Оценка

Сумма квадратов

степеней

вариации

дисперсии

свободы

Систематическая

Q2 = 917,7

917,7

= 305,9

Остаточная

Q1 =1497,0

1497,0

= 78,8

Итого

Q0 = 2414,7

––

Экспериментальное значение критерия F

= 305,9 = 3,88 . Для уровня значи-

78,8

мости α = 0,05

табличное значение критерия F

= 3,13 . Так как

F > F , ну-

левая гипотеза

H0 :

1 =

2 = ... =

p =

с вероятностью 0,95

отклоняется,

т.е. методика обучения значимо влияет на производственные навыки.

Основы дисперсионного анализа

159

16.1.Однофакторный анализ при группировке по случайным блокам

Пусть проверяется различие в урожайности нескольких сортов сельскохозяйственной культуры. Если все участки земли по плодородию примерно одинаковы, то лучше всего прибегнуть к полностью случайному плану размещения сортов по участкам. Однако участки чаще всего различаются между собой, и это будет вызывать дополнительный разброс в экспериментальных данных. Для устранения влияния неоднородности выделенную для эксперимента площадь делят на участки, которые назовем блоками, с примерно одинаковым качеством земли в пределах каждого блока (между блоками могут существовать большие различия в отношении качества земли). Затем каждый блок делят на столько делянок, сколько испытывается сортов культуры. Распределение сортов по делянкам производится в случайном порядке. Такой метод планирования эксперимента получил название метод случайных блоков. В отличие от полностью случайного плана число единиц наблюдения для каждого уровня фактора должно быть одинаковым, т.е. n1 = n2 = ... = nj = ... = np = n . Модель эксперимен-

та можно записать в виде

xij = X +αi + βj +εij ,

где αi – эффект блоков, βj – эффект уровня фактора, εij – случайная компонента.

Преимущество метода случайных блоков в том, что с его помощью уменьшается разброс данных наблюдения. Результаты наблюдений сводятся в таблицу:

Уровень

Результат наблюдения по блокам

Сумма по

Среднее по

фактора

строкам

уровням

фактора

…

x1 j

x2 j

xij

xnj

…

X j

…

x1 p

x2 p

xip

xnp

…

X p

Сумма по вертикали

…

Среднее по блокам

…

––

160	Лекции 15–16

Общую сумму квадратов Q0 = ∑∑(xij − X )2 разобьем на три составляю-

i j

щие:

Q0 = ∑∑(xij − X )2 = ∑∑(xij − Bi + Bi − X j + X j − X + X − X )2 =

ij (xij − Bi − X j + X )+(Bi − X )+(X j − X ) 2 =

=∑∑i j (xij − Bi − X j + X )2 +(Bi − X )2 + (X j − X )2 + 2∑i ∑j (X j − X )(Bi − X )+= ∑∑

+2∑∑ (xij − Bi − X j + X )(Bi − X )+(xij − Bi − X j + X )(X j − X ) .

i j

Все суммы перекрестных произведений обращаются в ноль, например,

2∑∑(X j − X )(Bi − X )= 2∑(X j − X )∑(Bi − X )= 0,

i j				j				i
так как
∑(		−		)= ∑		−n		= 0 .
∑(	Bi	−	X	)= ∑	Bi	−n	X	= 0 .
i				i

Оставшиеся суммы квадратов можно преобразовать:

Q0 = ∑∑i j (xij − X )2 = ∑∑i j (xij − Bi − X j + X )2 + (Bi − X )2 + (X j − X )2 =

= ∑∑(xij − Bi − X j + X )2 + p∑(Bi − X )2 + n∑(X j − X )2 = Q1 +Q2 +Q3 ,

где первое слагаемое, Q1 , описывает остаточную вариацию, второе, Q2 – вариацию между блоками, третье, Q3 – межгрупповую вариацию, обусловленную изменением уровня фактора.

Расчет удобно вести следующим образом: вычислить Q0 , Q2 и Q3 непо-

Q0 = ∑xij2 − G

∑Bi2

− G

∑Tj2

− G

средственно,

Q2 =

, Q3

а Q1 вычислить как их разность,

Q1 = Q0 −Q2 −Q3 .

Снова организуем данные в таблицу. Числа степеней свободы для Q0 , Q2 ,

Q3 очевидны, а

число

степеней

свободы

для

найдем

из

соотношения

ν1 =ν0 −ν2 −ν3 .

Основы дисперсионного анализа

161

Характер

Число

Оценка

Сумма квадратов

степеней

вариации

дисперсии

свободы

Систематическая

Q3 = n∑(

−

p −1

s32

(межгрупповая)

p −1

Q2 = p∑(

−

Между блоками

n −1

s22

n −1

Остаточная

Q = Q −(Q +Q )

(n −1)(p −1)

s12 =

(n −1)(p −1)

Q0 = ∑∑(xij −

Итого:

N −1

––

Для проверки значимости влияния фактора используем критерий Фишера

p −1

;

, в качестве нулевой гипотезы предполагая, что рас-

(p −1)(n −1)

сматриваемый

фактор не

влияет

на значения

признака. Как

обычно, при

≤ F

нулевая гипотеза не отклоняется, при F

> F – отклоняется, т.е. влия-

ние фактора считается статистически значимым.

Как видно из таблицы дисперсионного анализа, введение блоков уменьшает долю остаточной вариации, так как часть этой вариации теперь объясняется различием в блоках.

Пример:

Рассмотрим классическую ситуацию, для которой применяется метод случайных блоков. Проверяется урожайность четырех сортов пшеницы.

Для эксперимента выделено пять участков земли, на каждом из которых высеяны все четыре сорта пшеницы (делянки по 1 га).

Результаты эксперимента приведены в таблице.

	Урожайность (ц/га) по блокам					Сумма	Среднее
Уровень						по		по
Уровень						по		по
фактора	1	2	3	4	5	блокам	факторам
	1	2	3	4	5	Tj		X j
						Tj		X j

1	28,7	26,7	21,6	25,0	28,2	130,2	26,04

2	24,5	28,5	27,7	28,7	32,5	141,8	28,38

3	23,2	24,7	20,0	24,0	24,0	115,9	23,18

4	29,0	28,7	22,5	28,0	27,0	135,2	27,04

Суммы по	105,4	108,6	91,8	105,7	111,7	523,2	26,16

162

Лекции 15–16

сортам ( Bi )

Среднее по

блокам

26,35

27,15

22,95

26,42

27,92

––

(

i )

По данным таблицы находим G = 523,2 ,

=13692,14 ,

∑xij2 =13867,38 ,

∑Bi2 = 54979,74 ,

∑Tj2 = 67771,1,

соответствующие суммы квадратов отклонений приведены в таблице.

Источник	Сумма квадратов	Число степеней			Оценка
вариации			свободы		дисперсии
Между сортами	Q3 = 62,08			3	s32 = 20,69
Между блоками	Q2 = 52,80			4	s22	=13,20
Остаточная	Q1 = 60,36		12		s12	= 5,03
Итого	Q0 =175,24		19			––
Экспериментальное значение критерия F =			20,69	= 4,11 . Для уровня значи-
			5,03
мости α = 0,05 и числах степеней свободы 3 и 12				табличное значение крите-

рия Fα = 3,49 . Так как F > Fα , нулевая гипотеза об отсутствии влияния сорта

на урожайность с вероятностью 0,95 отклоняется, т.е. различные сорта имеют различную урожайность.

Заметим, что если бы данный эксперимент проводился по схеме случайного плана, то изменения урожайности, определяемые различием в плодородии отдельных блоков, относились бы к случайным. В этом случае Q1 =175,24 −62,08 =113,16 и остаточная дисперсия (уже при 16 степенях сво-

боды) составит 113,16 :16 = 7,07 .

Экспериментальное значение критерия в этом случае F = 207,,0769 = 2,93 и ну-

левая гипотеза не отклонялась бы, т.е. при более высоком уровне шума влияние сорта на урожайность не заметно.

16.2.Двухфакторный анализ при полностью случайном плане эксперимента

Рассмотрим простейший план, позволяющий проверить не только влияние ряда факторов порознь, но и их взаимодействие. Пусть необходимо выявить влияние на некий признак X двух факторов A и B и их взаимодействий

<<< < Предыдущая 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 11 12 13 14 1516 / 1916 17 18 19 > Следующая >>>

Соседние файлы в предмете [НЕСОРТИРОВАННОЕ]

#
23.04.2019206.34 Кб9таран .doc
#
19.11.2019265.73 Кб8Тарский_ Семантическая концепция истины.doc
#
17.09.201996.26 Кб7тб.doc
#
04.12.2018165.38 Кб17ТВ для учеников (РАСПЕЧАТАТЬ).doc
#
10.07.2019185.34 Кб6ТВ1 2007 ПИЭ.doc
#
23.02.20151.72 Mб27ТВ_и_МС.pdf
#
22.02.201588.58 Кб17ТВзачет.doc
#
23.02.2015316.85 Кб8ТВЗиС Раздел 11 (реконструкция зданий).pdf
#
31.08.20191.38 Mб3ТВиМС-КЗ (ФИ).doc
#
30.07.2019392.7 Кб0тгп 96_полн (Восстановлен).doc
#
19.12.201882.5 Кб8ТГП лекция.docx