Замятин, задачник по матлогике

3)( z)(F → Gi (z)) → (F → ( z)Gi (z)),

4)F → Gk = F → ( z)Gi (z),

8)( z)Gi(z) → ( y)Gi(y) [формулы с 5 по 8 – формулы из примера 4],

15) F → ( y)Gi(y) [формулы с 9 по 15 – формулы из примера 3 с заменой G на ( z)Gi (z) и H на ( y)Gi (y)],

.

Здесь добавлены формулы с 2 по 14. Обоснования включения той или иной формулы делать не будем, так как эти обоснования фактически те же, что и для предыдущей схемы. Случай 4 полностью рассмотрен.

В качестве примеров применения теоремы о дедукции докажем возможность введения и снятия двойного отрицания и закон контрапозиции. Закон контрапозиции утверждает, что формула F → G равносильна формуле ¬G → ¬F. Для удобства дальнейшего применения продолжим нумерацию примеров из §

3.

Пример 6. |− F → ¬¬F [или по теореме о дедукции F |−

¬¬F].

1) (¬¬¬F → ¬F) → ((¬¬¬F → F) → ¬¬F), 2) ¬¬¬F → ¬F,

3) (¬¬¬F → F) → ¬¬F,

4) F → (¬¬¬F → F),

5) F,

6) ¬¬¬F → F,

7) ¬¬F.

Пример 7. ¬G → ¬F |− F → G [или по теореме о дедукции

80

§ 5. Оправданность аксиоматизации

Основной целью данной главы является доказательство утверждения о том, что

P|− G P |= G,

т. е. что выводимость формулы G из множества формул P (с помощью аксиом и правил вывода) равносильна логическому следствию формулы G из того же множества формул. Это утверждение называется теоремой о полноте исчисления предикатов. В этом параграфе мы докажем необходимость, т. е. ут-

верждение о том, что если P |− G, то P |= G. Последнее утверждение носит свое название и называется теоремой об оправданности аксиоматизации. Доказательство достаточности теоремы о полноте является довольно сложным. В качестве промежуточного шага оно потребует доказательства так называемой

теоремы о непротиворечивости (см. § 6) и будем приведено в §

7.

Теорема 3.4 (об оправданности аксиоматизации). Если P |−

G, то P |= G.

Доказательство теоремы использует следующее вспомогательное утверждение.

Лемма. Все аксиомы исчисления предикатов тождественно истинны.

81

Доказательство. Тождественная истинность аксиом, полученных по схемам A1 – A3 доказывается простым построением таблиц истинности. Рассмотрим остальные схемы аксиом.

Схема A4: ( x)(F → G(x)) → (F → ( x)G(x)). Предполагает-

ся, что формула F не содержит свободного вхождения переменной x. Рассмотрим произвольную интерпретацию ϕ с областью M. Предположим, что

ϕ[( x)(F → G(x))] = 1 и ϕ(F) = 1.

Надо доказать равенство

ϕ[( x)G(x)] = 1,

т. е. надо доказать, что для любой интерпретации ϕ′ I( выполняется равенство ϕ′(G(x)) = 1.

Из (1) следует, что ϕ′(F → G(x)) = 1. Далее, интерпретации ϕ и ϕ′ совпадают на всех сигнатурных символах и свободных переменных формулы F. По теореме 1 имеем равенство ϕ(F) = ϕ′(F). Учитывая равенство (2), получаем, что ϕ′(F) = 1 ϕ′(F → G(x)) = 1 и поэтому ϕ′(G(x)) = 1. Поскольку ϕ − произвольная интерпретация из I(ϕ, x), получаем, что ϕ[( x)G(x)] = 1. Итак, аксиомы по схеме 4 являются тождественно истинными.

Схема A5: ( x)F(x) → F(t). Предполагается, что подстановка терма t вместо переменной x допустима. Как и выше, возьмем произвольную интерпретацию ϕ с областью M, такую, что ϕ[( x)(F(x))] = 1. Это означает, что для любой интерпретацию ϕ′ I(ϕ, x) выполняется равенство ϕ′(F(x)) = 1. Среди интерпретаций из I(ϕ, x) выберем такую интерпретацию ϕ′, что ϕ′(x)

= ϕ(t). Тогда по теореме 2 получим равенство ϕ′(F(x)) = ϕ(F(t)),

т. е. равенство ϕ(F(t)) = 1. Тождественная истинность аксиом, полученных по схеме 5, доказана.

Приступим непосредственно к доказательству теоремы. Пусть F1 , F2 , …, Fk , …, Fn = F – вывод формулы F из мно-

жества формул P. Рассмотрим произвольную интерпретацию ϕ такую, что ϕ(P) = 1. Индукцией по длине вывода докажем, что

ϕ(Fk ) = 1 для любого k.

База индукции: k = 1. Тогда Fk – аксиома или гипотеза. В первом случае равенство ϕ(Fk) = 1 следует из леммы, во втором − из условия ϕ(P) = 1.

Шаг индукции: предположим, что ϕ(F1 ) = ϕ(F2 ) = … = ϕ(Fk - 1 ) = 1. Докажем равенство ϕ(Fk) = 1. Если Fk – аксиома или гипотеза, то это равенство доказывается так же, как и в базе индукции. Пусть формула Fk получается из формул Fi и Fj по

82

правилу MP. Тогда Fj = Fi → Fk (или Fi = Fj → Fk). Так как i, j < k , по предположению индукции имеем равенства ϕ(Fi ) = 1 и

ϕ(Fj ) = ϕ(Fi → Fk) = 1. Но тогда очевидно, что ϕ(Fk ) = 1. Осталось рассмотреть случай, когда Fk получается из Fi по

правилу обобщения. В этом случае Fi = Fi(x) и Fk = ( y)Fi(y). Равенство

ϕ[( y)Fi(y)] = 1,

которое надо доказать, означает, что для любой интерпретации ϕ′ I(ϕ, y) выполняется равенство ϕ′(Fi(y)) = 1. Возьмем ϕ′ из I(ϕ, y). Рассмотрим интерпретацию ψ I(ϕ, x) такую, что ψ(x) = ϕ′(y). Так же, как и раньше, доказываем, что ψ(Fi(x)) = 1. По

теореме 2 получаем равенство ψ(Fi (x)) = ϕ′(Fi(y)). Следователь-

но, ϕ′(Fi(y)) = 1.

§ 6. Теорема о непротиворечивости (леммы)

Начнем с основного определения.

Определение. Множество формул P называется противоречивым, если существует формула F такая, что P |− F и P |− ¬F.

Пример 9. Убедимся в том, что множество формул

P = {( y)(F(y) → G(a, b)), F(a), ( x)¬G(a, x)}

является противоречивым. Рассмотрим последовательности формул D1 , …, D5 и E1 , E2 , E3 :

= ( y)(F(y) → G(a, b)) → (F(a) → G(a, b)), = ( y)(F(y) → G(a, b)),

= F(a) → G(a, b), = F(a),

= G(a, b).

= ( x)¬G(a, x),

= ( x)¬G(a, x) → ¬G(a, b), = ¬G(a, b).

Легко видеть, что эти последовательности являются выводами из P. Следовательно, P |− G(a, b) и P |− ¬ G(a, b). Это означает, что множество P противоречиво.

Укажем два полезных для дальнейшего свойства противоречивых (и непротиворечивы) множеств формул.

Свойство 1. Из примера 2 легко следует, что противоречи-

вое множество можно было определить как множество, из которого выводима любая формула.

Свойство 2. Если из множества формул P не выводима некоторая формула G, то множество P {¬G} непротиворечиво.

83

Действительно, пусть найдется формула F такая, что P {¬G} |− F и P {¬G} |− ¬F. По теореме о дедукции получаем, что

P |− ¬G → F и P |− ¬G → ¬F.

Из этих утверждений и аксиомы по схеме A3 (¬G → ¬F) →((¬G → F) → G)

следует, что P |− G. Получили противоречие с условием. Следовательно, множество формул P {¬G} непротиворечиво.

Целью данного и следующего параграфов является доказательство утверждения о том, что если множество формул непротиворечиво, то оно выполнимо. Это утверждение называется теоремой о непротиворечивости. При доказательстве этой теоремы нам будет удобно считать, что непротиворечивое множество формул P удовлетворяет следующим двум формальным условиям:

(α) для любой формулы F сигнатуры множества P либо F P, либо ¬F P;

(β) если множество P содержит формулу ¬( x)F(x), то найдется переменная w, которой нет в этой формуле, такая, что

¬F(w) P.

Хотя условия (α) и (β) были названы формальными, им можно придать некоторый содержательный смысл. Действительно, условие (α) означает, что множество P является максимальным среди всех непротиворечивых множеств данной сигнатуры. (Конечно, пока неясно, что такое множество существует.) Смысл условия (β) состоит в следующем. Формула ¬( x)F(x) в логике с обычным набором связок и кванторов равносильна формуле ( x)¬F(x). Условие (β) требует, чтобы утверждение о существовании элемента x, для которого формула F(x) ложна, «реализовалось» на некоторой переменной w.

Данный параграф посвящен «обеспечению» этих условий. Доказательство самой теоремы о непротиворечивости будет изложено в следующем параграфе.

Лемма 1. Пусть P – непротиворечивое множество формул сигнатуры Σ. Тогда существует множество формул P′ той же сигнатуры Σ, удовлетворяющее условиям:

1)P P′,

2)P′ непротиворечиво,

3)P′ удовлетворяет условию (α).

84

Другими словами, всякое непротиворечивое множество формул содержится в максимальном непротиворечивом расширении.

Доказательство леммы 1 использует лемму Цорна. Напомним ее формулировку: если в частично упорядоченном множестве S каждая цепь имеет верхнюю грань, то множество S содержит максимальный элемент. Цепь – это непустое линейно упорядоченное подмножество множества S.

Пусть S – множество всех непротиворечивых расширений множества P, имеющих сигнатуру Σ, т. е.

S = {Q | Q имеет сигнатуру Σ, P Q и Q непротиворечиво}. Ясно, что множество S непусто, так как P S, что оно частично упорядочено отношением теоретико-множественного

включения. Возьмем в S цепь

T= {Qi | i I}.

Вкачестве «кандидатуры» на максимальную грань цепи

рассмотрим множество

Q′ = {Qi | i I}.

Надо убедиться в том, что Q′ S. Очевидно, что Q′ имеет сигнатуру Σ и что P Q′. Предположим, что Q′ противоречиво. Тогда существует формула F такая, что Q′ |− F и Q′ |− ¬F. Рассмотрим вначале первый случай, т. е. что Q′ |− F. Пусть

H1 , H2 , …, Hn − ( )

вывод формулы F из множества Q′. В выводе выберем все гипотезы. Пусть это будут формулы

Hi 1 , Hi2 , …, Hi k .

Тогда в цепи T найдутся множества Qi 1 , Qi 2 , …, Qi k такие,

что Hi 1 Qi 1 , Hi 2 Qi2 , …, Hik Qik . Эти множества являются элементами цепи, поэтому они попарно сравнимы относительно

теоретико-множественного включения. Следовательно, среди них есть наибольшее по включению множество. Пусть это будет

Qi k . Тогда вывод ( ) будет выводом из Qi k , т. е. Qi k |− F. Аналогично доказывается существование элемента цепи Qi l такого,

что Qil |− ¬F. Воспользуемся еще раз тем, что Qi k и Qil – элементы цепи, и потому среди них есть наибольший. Пусть это будет Qil . Но тогда Qil |− F и Qi l |− ¬F. Это противоречит тому, что Qil S. Следовательно, Q′ непротиворечиво, и поэтому Q′ S. Условие леммы Цорна выполнено.

Заключение леммы Цорна говорит о том, что S содержит (хотя бы один) максимальный элемент. Обозначим его через P′. Тот факт, что P P′ и что P′ – непротиворечиво следует из принадлежности P′ S. Осталось проверить, что P′ удовлетво-

85

ряет условию (α). Предположим противное, пусть существует формула F такая, что F P′ и ¬F P′. Тогда по свойству 2 множества формул P′ {F} и P′ {¬F} противоречивы, так как P′ – максимальное непротиворечивое множество. Проанализируем противоречивость множества P′ {¬F}. По определению противоречивого множества существует формула G такая, что

P′ |− G и P′ |− ¬G.

Как уже неоднократно делалось, применение здесь теоремы о дедукции и аксиомы по схеме 3 дает, что P′ |− F. Но тогда множество P′ {F} не может быть противоречивым, так как P′{F} = P′ и P′ непротиворечиво. Следовательно, P′ удовлетворяет условиям 1) – 3) из формулировки леммы 1.

С «обеспечением» условия (β) дело обстоит несколько сложнее. Мы вначале в лемме 2 получим ослабленный вариант этого условия.

Лемма 2. Пусть P – непротиворечивое множество формул сигнатуры Σ. Тогда существует сигнатура Σ′ и множество формул P′ сигнатуры Σ′, для которого выполняются условия:

1)P P′,

2)P′ непротиворечиво,

3)если формула ¬( x)F(x) принадлежит P, то найдется новая переменная w такая, что формула ¬F(w) принадлежит P′.

Доказательство. Пусть

M = {¬( xi )Fi (xi) | i I} −

множество всех формул вида ¬( x)F(x), содержащихся в P. Для каждой такой формулы ¬( xi)Fi(xi) из M добавим к Σ новую (такую, которой нет в P) переменную wi . Получим сигнатуру Σ′. В качестве P′ рассмотрим множество

P′ = P {¬Fi (wi) | i I}.

Ясно, что P′ удовлетворяет условиям 1) и 3) леммы 2. Надо доказать, что P′ непротиворечиво. Предположим противное: пусть множество P′ противоречиво. Тогда достаточно рассмотреть множество P′, полученное из P′ добавлением конечного множества формул вида ¬( x)F(x), а следовательно, и одной формулы такого вида.

Итак, пусть ¬( x)F(x) P, P′ = P {¬F(w)} и множество P′ противоречиво. По определению противоречивости существует формула G такая, что

P {¬F(w)} |− G и P {¬F(w)} |− ¬G.

86

Тогда, как это часто демонстрировалось, P |− F(w). Применение правила обобщения дает, что P |− ( x)F(x). И в то же время, ¬( x)F(x) P. Получили противоречие с условием о непротиворечивости множества P. Итак, множество P′ удовлетворяет условиям 1) – 3) из формулировки леммы.

Лемма 3. Для любого непротиворечивого множества P существует непротиворечивое расширение P′, удовлетворяющее условиям (α) и (β).

Доказательство. Построим последовательность множеств

формул Q0 , Q1 , …, Qn , … сигнатур Σ0 , Σ1 , …, Σn , … соответственно следующим образом. Пусть Q0 = P и Σ0 – сигнатура множества формул P. К множеству Q0 применим лемму 1, получим непротиворечивое множество Q1 , удовлетворяющее условию (α), сигнатуры Σ1 , равной Σ0 . Далее к множеству Q1 применим лемму 2, получим непротиворечивое множество Q2 сигнатуры Σ2 . Затем снова применим лемму 1, но теперь уже к множеству Q2 и т. д. В итоге возникнет последовательность непротиворечивых расширений множества P:

P = Q0 Q1 … Qn ….

Каждое множество с четным номером удовлетворяет условию (α). А каждое множество с нечетным номером удовлетворяет условию 3) леммы 2, более слабому, чем условие (β). Для удобства изложения повторим третье условие леммы 2 в новых обозначениях: если ¬( x)F(x) Ql и l – нечетно, то существует новая переменная w такая, что ¬F(w) Ql+1 . Условие 3 в такой

«редакции» обозначим через (4).

Вкачестве P′ рассмотрим объединение построенной последовательности множеств формул:

P′ = Q0 Q1 … Qn … .

а в качестве – объединение сигнатур:

Σ′ = Σ0 Σ1 … Σn … .

Доказательство непротиворечивости множества P′ в близкой ситуации (см. проверку условия леммы Цорна) мы уже проводили. Действительно, если найдется формула F такая, что P′ |− F и P′ |− ¬F то существует множество Qn с тем же свойством. Это противоречит тому, что Qn непротиворечиво.

Докажем, что множество P′ удовлетворяет условию (α). Пусть F – формула сигнатуры Σ′. Так как Σ′ − объединение возрастающей последовательности сигнатур существует сигнатура Σk такая, что F является формулой сигнатуры Σk . Можно считать, что k – четное число (иначе вместо n можно взять k + 1).

87

Но тогда Qk + 1 удовлетворяет условию (α) и поэтому либо F Qk + 1 , либо ¬F Qk + 1 . По построению множества P′ отсюда следует, что либо F P′, либо ¬F P′.

Установим, что множество P′ удовлетворяет условию (β). Возьмем формулу ¬( x)F(x) из P′. Тогда найдется множество Ql , содержащее эту формулу. Можно считать, что l – нечетное число (иначе вместо l можно взять l + 1). Тогда по условию (4) существует переменная w такая, что ¬F(w) Ql +1 . Так как Ql + 1 содержится в P′, получаем, что ¬F(w) P′.

§ 7. Теорема о непротиворечивости (доказательство теоремы)

Напомним вначале формулировку теоремы о непротиворечивости.

Теорема 3.5. Если множество формул P непротиворечиво, то P выполнимо, т. е. существует интерпретация ϕ такая, что

ϕ(P) = 1.

Доказательство. В силу леммы 3 можно считать, что P удовлетворяет условиям (α) и (β).

Сигнатуру множества P обозначим через Σ. В качестве области интерпретации возьмем множество термов T сигнатуры Σ. Функцию ϕ определим следующим образом:

1)ϕ(x) = x,

2)ϕ(c) = c,

3)(ϕf)(t1 , t2 , …, tn ) = f(t1 , t2 , …, tn ),

4)(ϕr)(t1 , t2 , …, tn ) = 1 r(t1 , t2 , …, tn) P.

Здесь x – переменная, c − константа, f и r − соответственно n-местные символы функции и предиката.

Легко видеть, что из первых трех пунктов определения интерпретации следует, что ϕ(t) = t для любого терма t.

Индукцией по построению интерпретации докажем, что

ϕ(F) = 1 F P. ( )

Из этой эквиваленции очевидным образом следует выполнимость множества формул P.

База индукции: F − атомарная формула. Эквиваленция ( ) следует из построения интерпретации (см. пункт 4), так как множество P одновременно не может содержать атомарную формулу и ее отрицание.

88

Шаг индукции: предположим, что для всех собственных подформул формулы F эквиваленция ( ) доказана. Рассмотрим три случая.

Случай 1: F = ¬G. Тогда выполняются следующие эквиваленции:

ϕ(F) = 1 ϕ(¬G) = 1 ϕ(G) = 0

G P ¬G P F P.

В дополнительных комментариях нуждаются только две эквиваленции: ϕ(G) = 0 G P – по предположению индукции, G P ¬G P – по условию (α).

Случай 2: F = G → H. Этот случай сложнее первого. Доказательство эквиваленции ( ) разобьем на две части: «туда» и «обратно». А каждую из этих частей разобьем еще на две возможности.

( ) Пусть ϕ(G → H) = 1.

Возможность 1: ϕ(H) = 1. Тогда по предположению индукции H P, и P |− G → H (аксиома A1). Но в таком случае, G → H P, так как P непротиворечиво и удовлетворяет условию (α).

Возможность 2: ϕ(H) = 0. Так как ϕ(G → H) = 1, имеем равенство ϕ(G) = 0. По предположению индукции отсюда следует, что G P. Следовательно, ¬G P и множество P {G} противоречиво. В таком случае, из P {G} выводима любая формула (свойство 2 и предыдущего параграфа), в том числе формула H. По теореме о дедукции получаем, что P |− G → H. Следователь-

но, G → H P.

( ) Пусть G → H P.

Возможность 1: H P. Тогда по предположению индукции ϕ(H) = 1, и следовательно, ϕ(G → H) = 1.

Возможность 2: H P. Тогда G P, поскольку в противном случае из условий G P и G → H P следует, что H P. По предположению индукции получаем равенство ϕ(G) = 0, и поэтому ϕ(G → H) = 1.

Случай 2 рассмотрен полностью.

Случай 3: F = ( x)G(x). Этот случай, как и предыдущий, разобьем на две части: «туда» и «обратно».

( ) Пусть ϕ[( x)G(x)] = 1. Надо доказать, что ( x)G(x) P. Предположим противное: пусть ( x)G(x) P. Тогда по свойствам (α) и (β) и найдется переменная w такая, что ¬G(w) P. Еще раз воспользуемся свойством (α), получим, что G(w) P. По предположению индукции имеем равенство ϕ(G(w)) = 0. С

89