Замятин, задачник по матлогике

Программа машина должна, таким образом, содержать команды

q0 a1 → q1 λR и q0 a2 → q2 λR.

Далее, как сказано выше, машина в состоянии q1 или q2 должна дойти, двигаясь вправо, до первой пустой ячейки. Это могут “обеспечить” следующие команды

q1 x → q1 xR и q2 x → q2 xR,

где x {a1 , a2 , b1 , b2 , }. Если встретится первая пустая ячейка, то записать в нее символ b1 или b2 . Добавим для выполнения этого в программу команды

q1 λ → q3 b1 L и q2 λ → q4 b2 L .

Теперь машина должна вернуться, символ λ заменить на ai . На этом один цикл работы машины закончится. Символы q3 и q4 “обеспечивают” это возвращение:

q3 x → q3 xL и q4 x → q4 xL ,

где x {a1 , a2 , b1 , b2 , }. И, наконец, добавим команды

q3 λ → q0 a1 R, q4 λ → q0 a2 R, q0 → q5 .

Символ q5 является заключительным состоянием машины.

Мы написали программу машины Тьюринга, названной переводчиком. Эта программа представлена таблицей 6.3.

Параграф содержит еще два примера машин Тьюринга, которые на первый взгляд могут показаться «экзотическими». Эти примеры включены, чтобы облегчить понимание универсальной машины, о которой речь пойдет в § 5.

Пример 6. Через hx(w) обозначим начальный отрезок слова w до первого вхождения буквы x, а через tx(w) – конечный отрезок слова w, который начинается первым вхождением буквы x.

Если w не содержит x, то hx(w) = w, а tx(w) = ε. Ясно, что w = hx(w)tx (w). Пусть А = {a, b, c, m, λ}, λ – пустой символ, Σ = {a, b, c}, w Σ*, w ≠ ε. Слово w записано на ленте. Задача состоит в том, чтобы в слове w найти первое вхождение буквы c и сдвинуть tc(w) на одну ячейку вправо, а в освободившуюся ячейку (там, где было первое вхождение буквы c) записать m. Диаграмма машины М, решающей эту задачу, приведена на рис. 6.8.

202

Исполняя команды q0 a → q0 aR и q0 b → q0 bR, машина находит первое вхождение буквы c. На месте этого вхождения машина ставит маркер m, переходит в состояние qc, запоминая тем самым прочитанный символ c, и сдвигается вправо. Затем она, считывая очередной символ x, печатает на ленте предшествующий символ (это индекс внутреннего состояния), переходит во внутреннее состояние qx и сдвигается вправо. Если M встречает пустой символ λ, то она печатает на ленте предшествующий символ и останавливается, переходя в состояние q. Если же слово w не содержит буквы c, то машина его не изменяет. Для ссылок машину М назовем “переносчиком”.

qc

c→R

Рис. 6. 8

Пример 7. Пусть А = {а1 , a2 , b1 , b2 , a, m, 0, 1, , λ}, λ – пус-

той символ, Σ = {a1 , a2 , a}, u, v – непустые цепочки над Σ. Необходимо построить машину М, которая определяет, равны ли отрезки ha(u) и ha (v) или различны. Более точно, машина должна начальную конфигурацию q0 mu v переводить в конфигурацию

q0u v, если ha(u) ≠ ha (v), и в конфигурацию q1u v, если ha(u) = ha(v). Диаграмма машины приведена на рис. 6.9. и 6.10.

q

Рис. 6. 9

203

встретившийся ей символ из Σ {λ} есть а, то это означает, что ha(u) = ha (v), машина в состоянии q1 1 возвращается в начало цепочки, символы b1 , b2 заменяет на а1 , а2 соответственно, на месте маркера m печатает 1 и останавливается. Если же первый встретившийся символ есть а1 , а2 или λ, то это означает, что ha(u)≠ha(v), машина переходит в состояние q1 0 и выполняет действия, которые были описаны выше.

Осталось рассмотреть случай, когда в состоянии q0 машина обозревает символ . Это означает, что слово u не содержит символа а, т.е. ha(u) = u. Если измененное в процессе работы машины слово v содержит символы из Σ, то ha (u) ≠ ha(v), машина уходит в состояние q1 0 и на месте маркера m печатает 0. Если же измененное слово состоит только из символов b1 и b2 , то ha(u) = ha (v), машина переходит в состояние q1 1 и на месте маркера m печатает 1.

Две машины с одним и тем же внешним алфавитом назовем эквивалентными, если они, начиная работу на одинаковых лентах, либо завершают ее также на одинаковых лентах, либо обе работают бесконечно.

Следующее утверждение часто оказывается полезным.

Теорема 6.1. Для любой машины Тьюринга Т существует эквивалентная ей машина Тьюринга S, удовлетворяющая условиям:

1)если S имеет команды вида qa → q′a′, то q′ – заключительное состояние;

2)если S имеет команды вида qa → q′a′d, где d – это L или R, то состояние q′ не является заключительным.

Доказательство. Пусть внутренний алфавит машины Т есть

Q= {q1 , ..., qk}, q1 – начальное, qk – заключительное состояния. Напомним соглашение о том, что если в действии команды

стоит символ d, то d = L или d = R.

Машина S получается из машины Т в результате преобразования команд. Если программа машины T содержит пару команд qa→q′a′ и q′a′→q′′a′′d, то заменим эти две команды на одну qa→ q′′a′′d. Будем проводить это преобразование до тех пор, пока не исчезнут указанные выше пары. Далее все команды ви-

да qa → q′a′, где q′ ≠ qk, заменим на qa → qk a′. И наконец, в случае, когда программа содержит команды вида С = qa → qk

a′d, где d – это L или R, к внутренним состояниям добавляем новые внутренние состояния qc и каждую из этих команд заме-

205

няем на две команды qa → qca′d и qca → qk a. В результате выполнения этих преобразований и получится требуемая машина

S.

§3. Функции, вычислимые на машинах Тьюринга

В этом параграфе рассматриваются функции, заданные на множестве натуральных чисел N, вообще говоря, многоместные и не обязательно всюду определенные. Натуральные числа, как правило, будем задавать в единичном коде. Так, запись 1х обозначает последовательность, состоящую из х ″штук″ единиц.

Параграф посвящен изучению функций натурального аргумента, вычислимых на машинах Тьюринга. Пример такой функции уже был в §2, где было показано, что функция х1 +х2 вычислима на машине Тьюринга. Однако часто необходимо, чтобы головка при остановке обозревала самую левую непустую ячейку. В этом случае говорят, что машина правильно вычисляет функцию.

Дадим точное определение.

Определение. Машина Тьюринга М правильно вычисляет

функцию f(x1 , ..., xn ), если М, начиная работу в конфигурации

q0 1x1 1x 2 ... 1x n ,

заканчивает ее в конфигурации

qs1f ( x 1, ... , x n ) ,

если f(x1 , ..., xn ) определена, и работает бесконечно, если f(x1 , ..., xn ) не определена. (Здесь q0 – начальное, qs – заключительное состояния.)

Другими словами, машина Т начиная работу в состоянии q0 , обозревая первую ячейку на ленте, изображенной на рис. 5.8, заканчивает ее в состоянии qs, обозревая первую ячейку на ленте, изображенной на рис. 6.11, если f(x1 , ..., xn ) определена, и работает бесконечно в противном случае.

206

сматривалось сложение ненулевых чисел. ”Подправим” эту машину (ее программа представлена в таблице 6.1) так, чтобы выполнялись отмеченные условия, получим машину Тьюринга, программа которой задается диаграммой на рис. 6.11

Пример 2. В качестве второго примера приведем диаграмму машины Тьюринга M, вычисляющей функцию y = 2x (см. рис. 6.12). Эта машина в качестве своей части содержит машину «переводчик» из предыдущего параграфа. Пример демонстрирует такой прием в «технологии программирования на машинах Тьюринга», как уход на подпрограмму.

нии q5 на символе . Машина M на месте ставит 1, находит самую левую единицу, ее затирает и останавливается.

Чтобы привести более сложные примеры, нам понадобятся два утверждения – теорема 6.2 и теорема 6.3. Для простоты теоремы сформулированы для одноместных функций, хотя их утверждения справедливы и для многоместных функций.

Теорема 6.2. Пусть функции y = f(x) и y = g(x) правильно вычислимы. Тогда их суперпозиция g(f(x)) тоже правильно вычислима.

Доказательство. Пусть S – машина, вычисляющая функцию y = f(x), а Т – машина, вычисляющая функцию y = g(x) и U = {u1 , …, uk }, V = {v1 , …, vl } – множества внутренних состояний этих машин (u1 , v1 – начальные состояния, uk , vl – заключительные). Можно считать, что U∩V = . Условимся, что машины S и Т удовлетворяют утверждению теоремы 5.1. Рассмотрим машину М, множество внутренних состояний которой есть {u1 , ..., uk - 1 ,

207

v1 , ..., vl }, u1 – начальное, vl – заключительное состояния. Внешний алфавит машины М равен объединению внешних алфавитов машин S и Т. Команды машины М получаются также объединением команд машин S и Т со следующей “корректировкой”: команда машины S вида uia → uka′ заменяются на uia →

v1 a′.

Если функция y = f(x) определена, то машина S, начиная работу в конфигурации u1 1x , заканчивает ее в конфигурации uk1f ( x ) . Предположим, что на последнем такте S применила команду uia → uka′. Машина М на всех тактах, кроме последнего, работает так же, как и S, а на последнем такте применяет команду uia → v1 a′. Это означает, что машина М конфигурацию u1 1x переводит в конфигурацию v1 1f( x ) и далее работает как машина Т при вычислении g(z), где z = f(x). Если функция g(z) оп-

ределена, то машина Т (и М) заканчивает работу в конфигура-

ции vl1g ( f ( x )) .

Если же f(x) или g(z) при z = f(x) не определены, то машина М работает бесконечно.

Аналогично понятию правильной вычислимости функции натурального аргумента можно ввести понятие правильной вычислимости предиката, заданного на множестве натуральных чисел N.

Определение. Предикат P(x1 , x2 , …, xn), заданный на множестве N, правильно вычислим на машине Тьюринга М, если М, начиная работу в конфигурации

q0 1x1 1x 2 … 1x n ,

заканчивает в конфигурации qs1, если P(x1 , x2 , …xn ) истинно, и в конфигурации qs0, если P(x1 , x2 , …, xn ) ложно. (Здесь q0

– начальное, qs – заключительное состояния.)

Сделаем замечание, касающееся понятия правильной вычислимости предиката. Правильная вычислимость предиката P(x1 , x2 , ..., xn ) равносильна правильной вычислимости характеристической функции этого предиката, т.е. функции

1, если P(x1 , x2 , ..., xn ) истинно,

f(x1 , x2 , ..., xn ) =

0 в противном случае.

Несмотря на это, будем пользоваться сформулированным выше определением.

Приведем два примера правильной вычислимости предика-

та.

208

Пример 3. Предикат P(x) – «x есть четное число» правильно вычислим. Рассмотрим машину, которая читает входное слово,

на рис. 6.13.

Пример 2. Покажем, что предикат P(x, y) = «x меньше или равно y» правильно вычислим. Машина Тьюринга входное слово 1x 1y будет «обрабатывать» следующим образом. Она будет поочередно затирать сначала левую единицу первого аргумента, уходить вправо, затем правую единицу второго аргумента и возвращаться влево. Если при этом вначале «обнулится» первый аргумент, то x ≤ y; если второй, то – x > y. Диаграмма машины приведена на рис. 6. 14.

Определение. Пусть y = f(x1 , x2 ,…, xn ) и y = g(x1 , x2 ,…, xn ) –

функции, а Р(x1 , x2 ,…, xn ) – предикат, заданные на N. Функция

f(x1 , x2 ,…, xn ), если Р(x1 , x2 ,…, xn ) истинно,

h(x1 , x2 ,…, xn ) =

g(x1 , x2 ,…, xn ), если Р(x1 , x2 ,…, xn ) ложно,

называется ветвлением функций y = f(x1 , x2 ,…, xn ) и y = g(x1 , x2 ,…, xn ) по предикату Р(x1 , x2 ,…, xn ).

Ближайшей целью является доказательство того, что ветвление правильно вычислимых функций по правильно вычислимому предикату является правильно вычислимым. Для упрощения обозначений в следующей теореме это будет сделано только в одноместном случае.

209