Замятин, задачник по матлогике

5. Показать, что машина Тьюринга, программа которой представлена в таблице,

осуществляет копирование, т.е. перезапись слова d в слово d d, где d {a, b}* и d≠ε. Состояние q1 – начальное, q6 – заключительное, λ – пустой символ. Нарисовать диаграмму этой машины.

6. Какую одноместную функцию вычисляет машина Тьюринга со следующей диаграммой (аргумент задается в единичном коде):

λ→1

λ→1

q3

λ→λ

1→R

7. Какую двухместную функцию вычисляет машина Тьюринга со следующей диаграммой (аргументы задаются в единичном коде):

8. Написать программу машины Тьюринга, проверяющей правильную расстановку скобок [ и ].

230

9. Начертить диаграмму машины Тьюринга, правильно вычисляющей разность x – y.

10. Написать программы трехленточных машин Тьюринга, вычисляющих следующие функции (положение головок на лентах в момент остановки не имеет значения):

12. Составить схему нормального алгоритма, вычисляющего функцию f(x) = x + 1 в единичном коде.

Ответ: (a1 → 1, a → 1, ε → a).

13. Составить схему нормального алгоритма, вычисляющего функцию f(x) = 2x в единичном коде.

Ответ: (a1 → 11a, a → ε, ε → a).

14. Составить схему нормального алгоритма, осуществляющего перевод из единичного кода ненулевого натурального числа в двоичный код. Для некоторого упрощения задачи можно считать, что входное слово имеет вид 1x .

Ответ: (a1→ 1b, b1 → a, b → 0, a → 1, 1 → 1, 1 →

a1).

231

1)приводится условие задачи с указанием параметров и областей изменения параметров;

2)формулируются условия, которым должно удовлетворять решение (ответ) задачи (решений может быть несколько).

Индивидуальная задача получается из массовой задачи, если параметрам приданы конкретные значения из своих областей изменения.

В качестве примера приведем задачу о раскраске графа. Напомним ее формулировку. Дан обыкновенный граф G и число k. Определить, можно ли раскрасить вершины графа G k красками так, чтобы смежные вершины были раскрашены разными красками. Часто в случае положительного ответа требуется дополнительно привести хотя бы один вариант раскраски. Здесь параметрами являются обыкновенный граф G и число k. Условие, которому должно удовлетворять решение: смежные вершины раскрашиваются разными красками. Сформулированная задача является массовой. На рисунке 7.1 приведен пример двух индивидуальных задач.

Рис. 7.1

Для первой задачи ответ – «да». Один из вариантов необходимой раскраски обозначен цифрами у вершин графа. В случае второй задачи ответ – «нет».

Список задач начнем с задачи, практическая важность которой не должна вызывать сомнений.

1. «Сортировка». Дана последовательность элементов a1 , a2 , …, an линейно упорядоченного множества. Найти перестановку индексов π: {1, 2, …, n} → {1, 2, …, n} такую, что

aπ( 1 ) ≤ aπ( 2 ) ≤ … ≤ aπ( n ) .

2. «Эйлеров цикл». Дан обыкновенный граф G. Определить, существует ли в графе G цикл, проходящий по всем ребрам графа (в точности по одному разу). [В случае положительного ответа выдать один такой цикл].

3. «Эйлеров контур». Дан ориентированный граф G. Определить, существует ли в графе G контур, проходящий по всем

233

дугам графа (в точности по одному разу). [В случае положительного ответа выдать один такой контур].

4. «Каркас наименьшего веса». Дан обыкновенный связный граф G, каждому ребру которого поставлено в соответствие положительное действительное число – вес ребра. (Такие графы называются взвешенными.) Найти подграф T этого графа, удовлетворяющий условиям:

1)T содержит все вершины графа G, т. е. получается из G удалением некоторых ребер;

2)T – связный граф;

3)суммарный вес ребер графа T является наименьшим (среди всех подграфов, удовлетворяющих первым двум условиям).

Заметим, что в силу того, что G имеет конечное множество вершин и ребер, такой подграф T всегда существует (но, как правило, не один). Он называется каркасом (или остовом) графа G.

5. «Транзитивное замыкание». Дан ориентированный граф. Найти транзитивное замыкание этого графа.

Напомним, что транзитивным замыканием орграфа G на-

зывается орграф H с тем же множеством вершин, что и у графа G, удовлетворяющий условию:

вграфе H из вершины x в вершину y (x ≠ y) идет дуга тогда

итолько тогда, когда в графе G существует путь из x в y.

Прежде, чем формулировать следующую задачу, напомним ряд определений. Паросочетанием обыкновенного графа называется множество ребер, никакие два различных ребра которого не имеют общей инцидентной вершины. Паросочетание называется максимальным, если при добавлении нового ребра расширенное множество ребер перестает быть паросочетанием. Паросочетание называется наибольшим, если оно имеет наибольшее количество ребер среди всех паросочетаний данного графа.

6. «Паросочетание». Дан обыкновенный граф G и натуральное число k. Определить, существует ли в G паросочетание мощности k. [В случае положительного ответа выдать одно такое паросочетание.] У задачи есть варианты оптимизационного характера: «максимальное паросочетание» − выдать хотя бы одно максимальное (по включению) паросочетание, «наибольшее паросочетание» − выдать хотя бы одно наибольшее (по мощности) паросочетание.

Как и в случае предыдущей задачи, перед постановкой очередной задачи приведем ряд определений.

234

Сетью называется тройка (V, E, c), где G = (V, E) – ориентированный граф, c – функция из множества дуг E в множество неотрицательных действительных чисел R* . Если e – дуга графа G, то величина c(e) называется весом дуги e.

Степенью исхода ρ−(v) вершины v называется сумма весов дуг, выходящих из v. Степенью захода ρ+ (v) вершины v − сумма весов дуг, заходящих в v. Вершина v называется источником,

если ρ+ (v) = 0, ρ−(v) > 0. Вершина v называется стоком, если

ρ+ (v) > 0, ρ−(v) = 0.

Пусть (V, E, c) – сеть, имеющая один источник a и один сток b. Функция ϕ: E → R* называется потоком через сеть, если выполнены условия:

1)ϕ(e) ≤ c(e) для любой дуги e;

2)в сети (V, E, ϕ) для любой вершины v, кроме a и b, выполняется равенство ρ+ (v) = ρ−(v).

Обратим внимание на то, что во втором условии вместо исходных весов дуг взяты значения функции ϕ.

Пусть ϕ – поток через сеть (V, E, c), a и b – источник и сток соответственно. Величина ρ−(a) в сети (V, E, ϕ) (или что то же самое величина ρ+ (b)) называется величиной потока. Поток называется максимальным, если он имеет наибольшую величину.

7. «Максимальный поток». Дана сеть. Найти максимальный поток через эту сеть.

Имеется ввиду, что надо найти хотя бы один максимальный поток, так как таких потоков может быть несколько.

8. «Планарность». Дан обыкновенный граф. Определить, будет ли он планарным.

Напомним, что граф называется планарным, если его можно расположить на плоскости без пересечений ребер.

9. «Выполнимость». Дана формула F логики высказываний, имеющая конъюнктивную нормальную форму. Определить, выполнима ли формула F, т. е. существует ли интерпретация ϕ такая, что ϕ(F) = 1. [В случае положительного ответа выдать такую интерпретацию.]

10. «Независимое множество». Дан обыкновенный граф и натуральное число k. Определить, существует ли подмножество вершин мощности k, никакие две вершины которого несмежны. [В случае положительного ответа выдать такое множество.]

Как и задача «паросочетание» эта задача имеет варианты: «максимальное (по включению) независимое множество» и «наибольшее (по мощности) независимое множество».

235

11. «Полное множество (или клика)». Дан обыкновенный граф и натуральное число k. Определить, существует ли подмножество вершин мощности k, любые две различные вершины которого смежны. [В случае положительного ответа выдать такое множество.]

Варианты задачи: «максимальное (по включению) полное множество» и «наибольшее (по мощности) полное множество».

Прежде, чем сформулировать очередную задачу, приведем определение. Множество вершин U обыкновенного графа G = (V, E) называется доминирующим, если для любой вершины u V\U существует смежная с ней вершина v U.

12. «Вершинное покрытие». Дан обыкновенный граф G и натуральное число k. Определить, имеется ли в графе G вершинное покрытие мощности k. [В случае положительного ответа выдать вершинное покрытие мощности k.]

Варианты задачи: «минимальное вершинное покрытие» и «наименьшее вершинное покрытие».

Подмножество U множества вершин графа G называется вершинным покрытием этого графа, если любое ребро графа инцидентно хотя бы одной вершине из U.

Формулировку следующей задачи начнем с определения. Пусть S − непустое семейство подмножеств непустого множества M. Подсемейство S′ семейства S называется покрытием множества M, если объединение множеств, принадлежащих S′, равно M.

13. «Покрытие множествами». Дано непустое семейство S подмножеств непустого множества M и натуральное число k. Определить, существует ли подсемейство S′ мощности k семейства S, которое покрывает M. [В случае положительного ответа выдать такое подсемейство.]

Имеется варианты: «минимальное покрытие множествами» и «наименьшее покрытие множествами».

14. «Гамильтонов цикл». Дан обыкновенный граф G. Определить, имеет ли G гамильтонов цикл, т. е. цикл, проходящий по каждой вершине в точности по одному разу. [В случае положительного ответа выдать такой цикл.]

Следующая задача является обобщением задачи «гамильто-

нов цикл».

15. «Коммивояжер». Дан обыкновенный взвешенный граф G, т. е. обыкновенный граф, каждой дуге которого поставлено в соответствие положительное действительное число – вес дуги.

236

Найти в графе G гамильтонов цикл наименьшего суммарного веса (если граф G имеет гамильтонов цикл.

Довольно часто задача «коммивояжер» формулируется в более общем смысле: найти цикл, проходящий по всем вершинам и имеющий наименьший суммарный вес (т. е. снимается условие, что цикл проходил через вершину в точности по одному разу).

16. «Гамильтонов контур». Дан ориентированный граф G. Определить, имеет ли G гамильтонов контур, т. е. контур, проходящий по каждой вершине в точности по одному разу. [В случае положительного ответа выдать такой контур.]

Задача, которой мы завершаем список, фактически сформулирована выше. Но для полноты картины повторим ее формулировку.

17. «Раскраска». Дан обыкновенный граф G и натуральное число k. Определить, можно ли граф G правильно раскрасить k красками. [В случае положительного ответа выдать такую раскраску.]

Задача имеет и оптимизационный вариант: найти наименьшее число красок, которыми можно правильно раскрасить данный граф. Это вариант называется «хроматическое число». Хроматическое число графа G будем обозначать через χ(G).

§ 2. Задачи и языки

Во введении к данной главе уже отмечалось, что значительная часть главы будет посвящена изучению практически значимых задач, для которых в настоящее время не известны алгоритмы, решающие эти задачи в реальное время. В этой фразе термины «задача», «алгоритм», «реальное время» понимаются в интуитивном смысле. Для второго термина у нас есть формальный аналог – машина Тьюринга. В этом параграфе мы дадим формальный аналог первого термина, формальный аналог последнего термина будет приведен в следующем параграфе.

Проанализируем примеры задач из первого параграфа с точки зрения структуры их ответов. У многих задач предполагается простой ответ: «да» или «нет». Это, например, задачи «планар-

ность», «полное множество», «независимое множество», «раскраска», если в формулировках этих задач убрать то, что записано в квадратных скобках. Такие задачи мы будем назы-

вать задачами распознавания.

237

Если же в задаче, кроме ответа «да» или «нет», требуется в случае «да» выдать одно из решений, то такие задачи будем на-

зывать задачами распознавания с ответом. В качестве приме-

ров таких задач можно привести те же, что и в предыдущем абзаце, если в формулировках этих задач оставить то, что записано в квадратных скобках.

Формулировки некоторых задач содержат условия оптимизационного характера. В этих задачах требуется найти максимальное, наибольшее, минимальное или наименьшее в каком-то смысле решение. Таковы, например, задачи «каркас наименьше-

го веса», «максимальное независимое множество», «наибольшее независимое множество», «хроматическое число». Задачи такого типа будем называть оптимизационными.

Сказанное в предыдущих абзацах показывает, что формализация понятия «задача» − довольно сложное дело. В литературе, посвященной анализу сложности алгоритмов, обычно рассматриваются только задачи распознавания. Это вызвано, вопервых, тем, что такие задачи допускают довольно простую формализацию (что будет сделано в следующем абзаце). Кроме того, одна из целей этой главы – дать представление о методах оценки трудности решения задачи. Интуитивно понятно, и это во-вторых, что задача распознавания не труднее соответствующей оптимизационной задачи и, тем более, задачи распознавания с ответом. Предположим, например, что у нас есть алгоритм решения задачи «раскраска» в оптимизационной форме, т. е. алгоритм вычисления хроматического числа данного графа. Тогда, чтобы решить задачу «раскраска» как задачу распознавания, т. е. узнать, можно ли данный граф G правильно раскрасить k красками, достаточно сравнить два числа k и χ(G). Следовательно, если задача распознавания относится к трудно решаемым в каком-то смысле задачам, то и соответствующие оптимизационные задачи и задачи распознавания с ответом надо тоже отнести к трудно решаемым.

Задачи распознавания мы будем сводить к задачам распо-

знавания принадлежности к языку. Пусть L – язык над алфави-

том Σ. Задача распознавания принадлежности к языку L состоит в том, чтобы по данной цепочке w Σ* определить, принадлежит ли она языку L. В случае задачи о раскраске в k цветов графа G, сводимость к языку может быть проведена следующим образом. Вершины графа G будем именовать натуральными числами, а ребра – парами чисел. Числа будем записывать в десятичном коде. Например, задача о раскраске графа, изображен-

238

1)кодировка естественным образом вытекает из условия

задачи,

2)подобные способы задания математических структур, используемых в задаче, ранее использовались на практике.

И при той, и при другой кодировке длина получившейся цепочки не превосходит cn2 , где n – число вершин графа, а – c некоторая константа. Кроме того, у этих кодировок есть более важное общее свойство. Все известные на данный момент алго-

ритмы при обеих кодировках решают задачу о раскраске обыкновенного графа за время, не меньшее, чем d2l (о том, что же

239