Замятин, задачник по матлогике

такое «время решения задачи» – чуть позже), где l – длина цепочки, кодирующей индивидуальную задачу, d – некоторая положительная константа.

Приведем пример «неразумной» кодировки. Пусть граф G имеет n вершин и задается матрицей смежности M = (mi j). Задачу о раскраске в k цветов закодируем в алфавите Σ = {0, 1, } следующим образом:

<число k в двоичном коде> m1 1 <2n символов > m1 2 <2n символов > m1 3 <2n символов > и т. д.

Для такой кодировки нетрудно придумать алгоритм, решающий ее за линейное время, т. е. за время cl, где l – длина цепочки, кодирующей индивидуальную задачу, c – некоторая константа.

§3. Класс P-time

Вначале этого параграфа мы определимся с «вычислительным устройством», которое будет решать задачи, и выберем числовые характеристики этого устройства.

Вкачестве вычислительного устройства возьмем машину Тьюринга, но уточним ее определение следующим образом. Вопервых, будем считать, что зафиксировано непустое подмноже-

ство A входного алфавита Σ, которое не содержит пустой символ. Во-вторых, машина будет иметь два заключительных состояния qy и qn («yes» и «no») и будет останавливаться, только приходя в одно из них. Начинать работу машина Тьюринга будет так же, как и раньше, т. е. находясь в начальном состоянии

иобозревая первую непустую ячейку ленты. Пусть w Σ* . Будем говорить, что машина начинает работу на цепочке w, если цепочка w записана на входной ленте, остальные ячейки пусты,

имашина начинает работу так, как сказано выше. Будем гово-

рить также, что машина заканчивает работу на цепочке w, если она приходит в одно из заключительных состояний и цепочка входной ленты, начинающаяся первым непустым символом и заканчивающаяся последним непустым символом, есть цепочка w.

Напомним, что мы рассматриваем задачи распознавания, которые сведены к задачам распознавания принадлежности к языку. Надо определиться, в каком смысле машина распознает язык. В принципе, имеются два варианта определения.

Определение (вариант 1). Машина Тьюринга M распознает

язык L над Σ, если для любой цепочки w Σ* , на которой M начинает работу, выполняется одно из двух условий:

240

1)машина заканчивает работу в состоянии qy , если w L;

2)машина заканчивает работу в состоянии qn , если w L. Определение (вариант 2). Машина Тьюринга M распознает

язык L над Σ, если она, начиная работу на цепочке w Σ* , заканчивает ее в состоянии qy тогда и только тогда, когда w L.

Подчеркнем, что во втором варианте определения если w L, то машина, либо останавливается в состоянии qn , либо работает бесконечно.

Ясно, что в первом варианте определения распознаваемыми будут рекурсивные языки, во втором – рекурсивно перечислимые. По причинам, которые будут указаны позднее, в качестве основного варианта выберем второй вариант.

К понятию распознаваемости языка машиной Тьюринга можно подойти и несколько по-другому.

Определение. Цепочка w распознается машиной M, если M, начиная работу на w, останавливается в состоянии qy (состояние входной ленты на момент остановки значения не имеет).

Используя только что приведенное определение, второй вариант определения распознаваемости языка можно сформулировать и так: языком, распознаваемым машиной Тьюринга, называется множество всех цепочек, распознаваемых этой машиной.

Введем важную числовую характеристику машины Тьюринга, которая называется временной сложностью. В содержательном плане временная сложность машины M – это функция (мы будем ее обозначать через TM ) такая, что всякая распознаваемая машиной M цепочка длины n может быть распознана ею не более, чем за TM (n) тактов работы (такт работы – выполнение одной команды). Приведенную фразу можно, в принципе, взять за определение временной сложности. Однако эта фраза нуждается в уточнении. Во-первых, получается, что если – временная сложность, то и всякая большая, чем TM , функция также является временной сложностью. Такая ситуация не всегда удобна. Во-вторых, несложно привести пример языка L, который не содержит цепочек некоторой длины m. Тогда если машина M распознает язык L в приведенном выше смысле, то значение функции TM (m) не определено. Нам будет удобно в этом случае считать, что TM(m) = 1.

Введем обозначение: tM(x) − число тактов работы машины M на цепочке x до остановки. Если M не останавливается, начиная работу на x, то tM(x) = ∞.

Учитывая сказанное в предыдущем абзаце, приведем

241

Определение. Временной сложностью машины Тьюринга M

называется функция TM : N → N, определяемая равенством:

TM(n) = max{{1} {tM(w) | w L и |w| = n}.

Используя это определение, введем основное понятие этого параграфа.

Определение. Язык L называется полиномиальным, если существует машина Тьюринга M, распознающая язык L, и поли-

ном p, такие, что TM (n) ≤ p(n) для всех n N.

Полиномиальные языки мы будем содержательно воспринимать, как легко распознаваемые языки.

Вернемся к тому моменту, когда мы доопределили функцию TM равенством TM (n) = 1 в случае, когда язык L не содержит цепочек длины n. Рассмотрим в качестве L множество четных чисел (представленных, скажем, в десятичном коде). Если не доопределять функцию TM указанным равенством, то язык L не будет полиномиальным, так как неравенство TM(n) ≤ p(n) не будет выполняться для нечетных чисел. Это противоречит содержательному восприятию множества четных чисел, как легко распознаваемого языка.

Еще раз напомним, что задачу распознавания мы свели к задаче распознавания принадлежности к языку. Размером индивидуальной задачи мы будем называть длину соответствующей цепочки языка. Задачу будем называть полиномиальной, если полиномиальным является соответствующий язык.

Из списка задач первого параграфа задачи 1 – 8 являются полиномиальными. Укажем оценки временной сложности этих задач и ссылки, где можно ознакомиться с соответствующим доказательством. Пусть f(n) – всюду определенная функция из N в N.Здесь и далее мы будем пользоваться обозначением O(f(n)) для класса функций g: N → N таких, что

g(n) ≤ cf(n)

для всех натуральных чисел n и некоторой положительной константы c.

1. «Сортировка», O(nlogn), [АБР, стр. 156]. 2. «Эйлеров цикл», O(n2 ), [АБР, стр. 179].

3. «Эйлеров контур», O(n2 ), [АБР, стр. 179].

4. «Каркас наименьшего веса», O(n2 logn), [АБР, стр. 184]. 5. «Транзитивное замыкание», O(n3 ), [АБР, стр. 191].

6. «Максимальное паросочетание», O(n5 / 2 ), [АБР, стр. 243]. 7. «Максимальный поток», O(n5 ), [АБР, стр. 226].

8. «Планарность», O(n), [Л, стр. 202].

242

Введенная выше числовая характеристика работы машины M (функция TM (n)) не является единственной числовой характеристикой работы машины M.

Во-первых, временная сложность была определена нами как

временная сложность в худшем случае. (Вспомним, что в опре-

делении функции TM(n) берется максимум по tM (w).) Кроме нее,

изучается временная сложность в среднем. Она определяется следующим образом

T*M (n) = max[{1} (tM (w1 ) + tM(w2 ) + … + tM (wp)/p],

где w1 , w2 , …, wp – все (попарно различные) цепочки языка L длины n. На практике чаще всего используется временная сложность в худшем случае (т. е. та, которую мы назвали просто временная сложность). Однако возможны ситуации, когда полезной оказывается временная сложность в среднем. Допустим, что пользователю надо решить большое количество индивидуальных задач, принадлежащих одной и той же массовой задаче и имеющих одну и ту же длину. В этом случае временная сложность в среднем дает большую информацию о суммарном времени решения всех задач, чем временная сложность в худшем случае. Мы будем рассматривать только функцию TM (n). О временной сложности в среднем можно прочитать в [АХУ].

Во-вторых, кроме временной сложности рассматривается так называемая емкостная сложность. Формальных определений здесь давать не будем (так как емкостную сложность в дальнейшем не будем рассматривать). Скажем только, что емкостная сложность – число просмотренных машиной ячеек в процессе работы. Изучаются емкостная сложность в среднем и емкостная сложность в худшем случае. Подробнее об этом можно прочитать в [АХУ].

§ 4. Полиномиальная сводимость

Начнем с определения полиномиальной сводимости одного языка к другому. Для этого нам понадобятся машины Тьюринга, которые останавливаются на любой цепочке из Σ .

Определение. Пусть Σ1 и Σ2 − непустые подмножества входного алфавита машины M, не содержащие пустой символ, а f – всюду определенная функция из Σ 1 в Σ 2 . Мы будем говорить, что машина M вычисляет функцию f, если M, начиная работу на цепочке w Σ 1 , заканчивает ее на цепочке f(w) Σ 2 .

Другими словами, f(w) − цепочка на входной ленте на момент остановки машины M, начинающаяся первым непустым символом и заканчивающаяся последним непустым символом.

243

Определение. Пусть Σ1 и Σ2 − непустые подмножества входного алфавита машины M, не содержащие пустой символ, L1 − язык над Σ1 , L2 − язык над Σ2 . Будем говорить, что M полиномиально сводит язык L1 к языку L2 , если для любой цепочки

wΣ1 выполняются условия:

1)w L1 тогда и только тогда, когда f(w) L2 ;

2)существует полином p(n) такой, что выполняется нера-

венство

max[{1}} {tM (w) | w Σ1 и |w| = n} ≤ p(n).

Напомним, что – tM(w) число тактов работы машины M на цепочке w до остановки и что M останавливается на любой цепочке из Σ1 .

Разумеется, и здесь (т. е. для машин, вычисляющих словарные функции) можно было бы ввести временную сложность работы машины, но нетрудно привести примеры, показывающие, мы получили бы функцию, отличающуюся от уже введенной

функции TM(n).

Естественно, мы будем говорить, что одна задача полиномиально сводится к другой, если язык, соответствующий первой задаче, полиномиально сводится к языку, соответствующему второй задаче.

244

Определение. Два языка называются полиномиально эквивалентными, если они полиномиально сводятся один к другому.

Понятие полиномиальной эквивалентности известным нам способом перенесем на задачи. Из рассмотрения предыдущего примера следует, что задачи «полное множество» и «независимое множество» полиномиально эквивалентны.

Теорема 7.1. Задача «выполнимость» полиномиально сво-

дима к задаче «полное множество» («клика»).

Доказательство. Дана формула F, имеющая конъюнктивную нормальную форму:

F = D1 & D2 & … & Dp ,

где D1 , D2 , …, Dp – элементарные дизъюнкции (или дизъюнкты). Рассмотрим обыкновенный граф G, вершинами которого являются пары (D, L), где D – дизъюнкт формулы F, а L – литерал этого дизъюнкта. Две вершины графа (D, L) и (D′, L′) смежны (соединены ребром), если D ≠ D′ и множество {L, L′} выполнимо. Последнее означает, что {L, L′} ≠ {X, ¬X} для любой атомарной формулы X.

Длиной формулы F (индивидуальной задачи) будем считать сумму числа литералов, входящих в дизъюнкты формулы F. Тогда ясно, что граф G можно получить за время, полиномиально зависящее от длины формулы F.

Докажем, что граф G содержит полное множество из p вершин тогда и только тогда, когда формула F выполнима.

Пусть U – полное множество графа G, содержащее p вершин. Тогда

U = {(D1 , L1 ), (D2 , L2 ), …, (Dp , Lp )},

для некоторых литералов L1 , L2 , …, Lp . Рассмотрим множество литералов M = {L1 , L2 , …, Lp }. По построению графа G любое двухэлементное подмножество этого множества выполнимо. Убедимся в том, что все множество U выполнимо. Действительно, множество {L1 , L2 } выполнимо, так как вершины (D1 , L1 ) и (D2 , L2 ) смежны. Определим интерпретацию ϕ так, что ϕ(L1 ) = 1 и ϕ(L2 ) = 1. (Подчеркнем, что ϕ определена только на атомарных формулах из L1 и L2 .) Если ϕ(L3 ) = 0, то одно из множеств {L1 , L3 } или {L2 , L3 } состоит из атомарной формулы и ее отрицания. Это противоречит тому, что вершины (D1 , L1 ), (D2 , L2 ) и (D3 , L3 ) попарно смежны. Следовательно, ϕ(L3 ) = 1 или ϕ(L3 ) не определено. В последнем случае доопределяем ϕ(L3 ) так, что бы выполнялось равенство ϕ(L3 ) = 1. Расширим указанным способом интерпретацию ϕ на все множество M. Получим интерпретацию ϕ, при которой все литералы L1 , L2 , …, Lp истинны. Это

245

Теорема 7.2. Задача «полное множество» («клика») поли-

номиально сводится к задаче «вершинное покрытие». Доказательство. Пусть дан обыкновенный граф G = (V, E).

Через H = (V, F) обозначим дополнение графа G (в классе обыкновенных графов). Напомним, что две вершины x и y в графе H соединены ребром тогда и только тогда, когда эти вершины в графе G ребром не соединены. Подчеркнем, что графы G и H имеют одно и то же множество вершин.

Докажем, что непустое собственное подмножество U множества V является полным в графе G тогда и только тогда, когда множество V\U является вершинным покрытием графа H.

246

Предположим, что множество U является полным в графе G, т. е. любые две различные вершины множества U в графе G соединены ребром. Возьмем произвольное ребро (z, w) графа H. Обе вершины z и w принадлежать U не могут по определению дополнения. Следовательно, хотя бы одна из них принадлежит множеству V\U. Мы доказали, что если U – полное множество графа G, то V\U – вершинное покрытие графа H.

Докажем обратное утверждение. Пусть V\U – вершинное покрытие графа H. Возьмем различные вершины x и y из U. Если они в G несмежны, то по определению дополнения они смежны в H. Но тогда одна из этих вершин принадлежит V\U, так как V\U – вершинное покрытие графа H. Следовательно, x и y смежны в H. Мы доказали, что если V\U – вершинное покрытие графа H, то U – полное множество графа G.

Итак, для того, чтобы узнать, имеет ли обыкновенный граф G с n вершинами полное множество мощности k (0 < k < n) достаточно выяснить, имеет ли дополнение графа G вершинное покрытие мощности n − k. Мы уже отмечали, что дополнение графа может быть построено за время, не превосходящее cn2 для некоторой константы c.

Пример 3. Рисунок 7.6 иллюстрирует доказательство теоремы 7.2.

На рисунке изображен граф G и его дополнение H. В качестве U возьмем полное в графе G множество {v1 , v2 , v3 }. Мы видим, что его дополнение до множества всех вершин, т. е. множество V/U, является вершинным покрытием графа H. Если теперь в графе H взять вершинное покрытие W = {v1 , v2 , v3 }, то его дополнение до V будет полным множеством в G.

Теорема 7. 3. Задача «вершинное покрытие» полиномиально сводится к задаче «гамильтонов контур».

Доказательство. Предположим, что дан обыкновенный граф G = (V, E) и натуральное число k. Построим ориентированный граф H = (W, F). Введем вначале ряд обозначений. Пусть V = {v1 , v2 , …, vn }, а ei j – ребро графа G, инцидентное вершинам vi и vj . Так как G – неориентированный граф, выполняется равенство ei j = ej i . Для каждой вершины графа G упорядочим ребра,

247

инцидентные этой вершине. Пусть di1 , di1 , …, di ri – список ребер, инцидентных вершине vi V.

Граф H построим следующим образом. Множество вершин W будет содержать по четыре вершины для каждого ребра графа G и новые вершины a1 , a2 , …, ak. Более точно,

W = { a1 , a2 , …, ak }

{(v, e, b) | v V, e E, b {0, 1} и e инцидентно b}.

Дуги графа H, т. е. элементы множества F, будут двух типов. Первый тип – дуги, соединяющие четыре вершины, инцидентные

ребру eij так, как показано на рис 7.7. Дуги второго типа получаются следующим образом. Из каждой

вершины a1 , a2 , …, ak проведем дугу во все вершины вида (vi , di 1 , 0). (Напомним, что di1 – первое ребро в списке ребер, инцидентных вершине

vi .) Из вершины (vi , dij , 1) проводим дугу в вершину (vi , dil , 1), если реб-

ро eil непосредственно следует за eij в списке ребер вершины vi . Если же ребро eij является последним в этом списке, то из вер-

шины (vi, dij , 1) проводим дуги во все вершины a1 , a2 , …, ak. Докажем, что граф G имеет вершинное покрытие мощности

k тогда и только тогда, когда граф H содержит гамильтонов контур.

Предположим, что граф G имеет вершинное покрытие мощности k. Без ограничения общности можно считать, что это покрытие образуют вершины v1 , v2 , …, vk . Рассмотрим следующий контур графа H:

a1 → (v1 , d11 , 0) → (v1 , d11 , 1) → (v1 , d12 , 0) → … → (v1 , d1 r1 ,

1)→

→a2 → (v2 , d21 , 0) → (v2 , d21 , 1) → (v2 , d22 , 0) → … → (v2 ,

d2 r2 , 1) →

→ a2 → … → ak → … → a1 .

(Напомним, что d1 ri – последнее ребро в списке ребер, инцидентных вершине vi .) Этот контур проходит по всем вершинам графа G, кроме вершин вида (vj , e, 0) и (vj , e, 1), где j > k. Пусть построенный контур не проходит через вершины (vj , e, 0) и (vj , e, 1). Так как множество {v1 , v2 , …, vk } является вершинным покрытием графа G, существует вершина vi при i ≤ k, инцидентная ребру e. Тогда в построенном контуре между вершинами (vi , e, 0) и (vi , e, 1) поставим вершины (vj , e, 0) и (vj, e, 1).

248

Это можно сделать, так как имеются ребра первого типа (см. рис. 0.0). Расширенный таким способом контур проходит через все вершины графа H, т. е. является гамильтоновым.

Докажем обратное. Предположим, что граф H имеет гамильтонов контур. (Напомним, что гамильтонов контур проходит через каждую вершину в точности по одному разу.) Можно считать, что вершины a1 , a2 , …, ak при обходе контура встречаются именно в этом порядке, т. е. контур имеет вид:

f0 → … → a1 → … → a2 → … … → ak → f0 ,

где – некоторая вершина графа . Этот контур разобьем на k путей π1 , π2 , …, πk . Путь πi при i < k начинается в вершине ai и заканчивается в вершине ai+ 1 . Путь πk начинается в вершине ak и заканчивается в вершине a1 . Вершину, в которую ведет дуга контура из ai обозначим через (vi, e, 0). Докажем, что множество вершин U = {v1 , v2 , …, vk } является вершинным покрытием графа G. Возьмем ребро e графа G. Пусть оно инцидентно вершинам vl и vm , т. е. e = el m. Так как контур проходит через все вершины графа, он пройдет через вершину (vl , e, 0). Следовательно, эта вершина принадлежит некоторому пути πi . По построению графа вершинами пути πi являются либо вершины вида (vi , e, b), где vi U, либо вершины вида (vi , e, b), где v – вершина, инцидентная ребру e и отличная от vi . Это означает, что vi = vl или vi = vm. В обоих случаях одна из вершин, инцидентных ребру e принадлежит U. Следовательно, граф G имеет вершинное покрытие мощности k.

Пример 4. Рисунок 7.8 иллюстрирует доказательство теоремы 7.3. Здесь k = 2. Считаем, что ребра, инцидентные верши-

v3 упорядочены соответственно: (e12 , e13 ) и (e13 , e34 ). (Для вершин v2 и v4 этот порядок не указываем, так как этим вершинам инцидентно по одному ребру.)

249