Замятин, задачник по матлогике

Алгоритм приведения к ДНФ

Шаг 1. Используя законы 21 и 20, исключить из исходной формулы эквиваленцию и импликацию.

Шаг 2. С помощью законов 17 – 19 занести отрицание к атомарным формулам.

Шаг 3. Если формула содержит подформулу вида

H1 & ( H2 H3 ),

то заменить ее на равносильную формулу

( H1 & H2 ) ( H1 & H3 ) .

Пример 1 . Применение алгоритма проиллюстрируем на примере формулы

F = ¬( X↔Y) & X.

Выполним первый шаг. Для этого, используя закон 21, заменим X↔Y равносильной ей формулой ( X→Y) & ( Y→X) . Затем в полученной формуле с помощью закона 20 исключим связку →. Мы получим формулу

F1 = ¬[( ¬X Y) & ( ¬Y X)] & X.

Перейдем ко второму шагу. Применение закона 17, приведет к формуле

F2 = [ ¬( ¬X Y) ¬( ¬Y X)] & X.

Затем дважды воспользуемся законом 18 и снимем двойное отрицание ( закон 19), получим формулу

F3 = [( X& ¬Y) ( Y& ¬X)] & X.

Шаг 2 выполнен.

Выполнение шага 3 состоит из применения дистрибутивности к формуле F3 . Это дает нам формулу

F4 = ( X& ¬Y& X) ( Y& ¬X& X) .

Алгоритм на этом завершен. Формула F4 имеет дизъюнктивную нормальную форму. Но эту формулу можно упростить. Действительно, формула Y& ¬X& X в силу законов 15 и 3 равносильна 0, а формула X& ¬Y& X равносильна X& ¬Y ( закон 5) . Следовательно, формула F4 равносильна формуле

F5 = X& ¬Y.

Формула F5 , как и F4 , имеет ДНФ и равносильна исходной формуле F.

Рассмотренный пример показывает, что формула F может иметь не одну равносильную ей формулу, имеющую ДНФ. Иногда это обстоятельство является неудобным. Чтобы его исключить, вводится более узкое понятие, нежели ДНФ.

20

Определение. Формула G имеет совершенную дизъюнктивную нормальную форму ( сокращенно: СДНФ) относительно атомарных формул X1 , … , Xn , если выполнены сле-

дующие условия:

1) F = F( X1 , … , Xn ), т. е. в записи формулы участвуют только X1 , … , Xn ;

2)F имеет дизъюнктивную нормальную форму, т. е. F = C1 C2 … Ck , где C1 , … , Ck – элементарные конъюнкции;

3)каждая элементарная конъюнкция содержит один и

только один из литералов Xi или ¬Xi для любого i = 1, … , n; 4) F не содержит одинаковых элементарных конъюнк-

ций.

Например, формулы X, ¬X& Y, ( ¬X& Y) ( X& ¬Y) имеют СДНФ относительно содержащихся в них атомарных фор-

мул. Формулы ¬( X& Y), ( X& Y) ( ¬X& Z), ( X& Y& X) & ( ¬X& ¬Y ), ( X& Y) ( X& ¬Y) ( Y& X) не имеют СДНФ ( отно-

сительно содержащихся в них атомарных формул) . Для первой формулы не выполняется второе условие, для второй и третьей – третье условие, для четвертой формулы не выполняется последнее условие из определения СДНФ.

Теорема 1 . 4 . Для любой выполнимой формулы F существует равносильная ей формула G, имеющая совершенную дизъюнктивную нормальную форму.

Как и теорема 1 . 3, эта теорема легко следует из соответствующего алгоритма, который по формуле F выдает формулу G, удовлетворяющую требуемому условию

Алгоритм приведения к СДНФ

Шаги 1–3 – те же, что и в алгоритме приведения к ДНФ. Шаг 4. Если элементарная конъюнкция С не содержит ни атомарной формулы Xi , ни ее отрицания для некоторого i = 1, … , n, то заменить C на две элементарные конъюнкции

( C& Xi ) ( C& ¬Xi ) .

Шаг 5. Если элементарная конъюнкция C содержит два вхождения одного литерала, то одно из них вычеркнуть. Если же С содержит Xi и ¬Xi для некоторого i = 1, … , n, то вычеркнуть всю элементарную конъюнкцию.

Шаг 6. Если формула содержит одинаковые элементарные конъюнкции, то вычеркнуть одну из них.

Напомним, что “ одинаковость” понимается с точностью до коммутативности и ассоциативности конъюнкции и дизъюнкции.

21

Пример 2 . В качестве примера рассмотрим ту же формулу F = ¬( X↔Y) & X, что и в примере для предыдущего алгоритма. Как мы видели, выполнение шагов 1 – 3 приводит к формуле F4 . Эта формула имеет ДНФ, но не имеет СДНФ, поскольку для нее не выполняется третье условие. Если для F4 выполнить шаг 4, то в первой элементарной конъюнкции будет зачеркнуто одно из вхождений литерала X, а вторая эдементарная конъюнкция будет вычеркнута вся. В результате мы получим формулу F5 . Она имеет СДНФ относительно X и Y.

Пример 3 . Рассмотрим еще один пример. Пусть G = ( X& Y) ( X& ¬Z) . Эта формула имеет ДНФ, поэтому выполнение алгоритма приведения к СДНФ начинается с шага 4 . При выполнении этого шага элементарная конъюнкция X& Y будет заменена на ( X& Y& Z) ( X& Y& ¬Z), а X& ¬Z – на ( X& ¬Z& Y) ( X& ¬Z & ¬Y) . В результате получим формулу

G1 = ( X& Y& Z) ( X& Y& ¬Z) ( X& ¬Z& Y) ( X& ¬Z & ¬Y) .

Условия шага 5 для формулы G1 не выполняются, поэтому этот шаг формулы G1 не изменяет. Формула G1 содержит одинаковые элементарные конъюнкции – вторую и третью. При выполнении шестого шага будет зачеркнута одна из них и получится формула

G2 = ( X& Y& Z) ( X& Y& ¬Z) ( X& ¬Y& ¬Z) .

Это и есть формула, равносильная G и имеющая СДНФ относительно входящих в G атомарных формул.

Ответим на естественно возникающий вопрос о том, зачем в формулировке теоремы 1 . 4 требуется выполнимость формулы F? Нетрудно доказать, что если формула F невыполнима, т. е. при любой интерпретации ϕ выполняется равенство ϕ( F) = 0, то после приведения F к ДНФ каждая элементарная конъюнкция будет содержать хотя бы одну пару противоположных литералов X и ¬X. Но в таком случае на шаге 5 все элементарные конъюнкции будут вычеркнуты.

Имеется еще один способ приведения к СДНФ, основанный на построении таблицы истинности исходной формулы. Изложим этот способ на примере формулы

F = X1 & ( X2 →X3 ) .

Составим таблицу истинности формулы F ( таблицу 1 . 5) .

22

Выделим строки, в которых в столбце F стоит 1. ( Хотя бы одна такая строка должна быть, так как формула F выполнима. ) Это будут первая, третья и четвертая строки. Каждой из выделенных строк поставим в соответствие элемен-

тарную конъюнкцию X1 α1X2 α2 X3 α3, где Xi αi = Xi , если в столбце Xi этой строки стоит 1, и Xi αi = ¬Xi , если в столбце Xi этой строки стоит 0, где i = 1, 2, 3 . Так, первой строке будет поставлена в соответствие элементарная конъюнкция

X1 & X2 & X3 , третьей – X1 & ¬X2 & X3 , четвертой – X1 & ¬X2 & ¬X3 . Формула

G = ( X1 & X2 & X3 ) ( X1 & ¬X2 & X3 ) ( X1 & ¬X2 & ¬X3 )

имеет СДНФ относительно X1 , X2 , X3 . В то же время G имеет ту же таблицу истинности, что и F. Это означает, что G равносильна F. Следовательно, G – искомая формула.

Из других нормальных форм рассмотрим конъюнктивную нормальную форму. Она получается из ДНФ заменой & на и на & . Дадим точные определения.

Определение. Элементарной дизъюнкцией ( или дизъ-

юнктом) называется литерал или дизъюнкция литералов.

Определение. Формула G имеет конъюнктивную нор-

мальную форму ( сокращенно: КНФ), если она является элементарной дизъюнкцией или конъюнкцией элементарных

( X& ¬Z) не имеют.

Для конъюнктивных нормальных форм справедливо утверждение, аналогичное теореме 1 . 3 .

Теорема 1 . 5 Для всякой формулы F существует формула G, равносильная F и имеющая конъюнктивную нормальную форму.

23

Доказательство теоремы легко следует из анализа алгоритма приведения к КНФ, который в свою очередь получается из алгоритма приведения к ДНФ, если шаг 3 заменить на следующий

Шаг 3 /. Если формула содержит подформулу вида

H1 ( H2 & H3 ),

то заменить ее на равносильную ей формулу

( H1 H2 ) & ( H1 H3 ) .

В силу очевидной аналогии между ДНФ и КНФ примеров приведения к КНФ здесь приводить не будем.

§6. Контактные схемы

В этом параграфе рассматривается применение логики высказываний к анализу так называемых контактных схем.

Контактом будем называть устройство, которое в процессе работы может быть в двух состояниях: замкнутом или разомкнутом. Контакт Х на чертеже будем изображать следующим образом:

X

Контакты можно соединять между собой различными способами:

Первое соединение называется параллельным, второе – последовательным. Контакты, соединенные между собой, будем называть контактной схемой. Будем предполагать наличие у схемы двух выделенных точек: входа и выхода. Схему назовем замкнутой, если существует последовательность замкнутых контактов X1 , X2 , ... , Xn такая, что Xi cоединен с Xi + 1 , X1 соединен с входом, Xn – с выходом. Схему, не являющуюся замкнутой, назовем разомкнутой. Каждому контакту поставим в соответствие высказывание, которое истинно тогда и только тогда, когда контакт замкнут. Такие высказывание и контакт будем обозначать одной буквой. Пусть схема S построена из контактов X1 , X2 , ... , Xn с помощью параллельного и последовательного соединений. Тогда по схеме S можно построить формулу логики высказываний FS так, что параллельному соединению соответствует дизъюнкция, последовательному – конъюнкция. На-

24

пример, приводимой ниже схеме S0 соответствует указанная затем формула FS 0 . ( Через ¬V обозначается контакт, который замкнут тогда и только тогда, когда V разомкнут. )

Z

X

¬Y

X

¬Z

¬Y

FS 0 = [ X & ( Z ¬Y)] [ ¬X& Z ] [( X ¬Y) & ¬Z] .

Формула FS " представляет” схему в следующем смысле: схема S замкнута в том и только в том случае, если Fs принимает значение 1. Контактным схемам соответствуют формулы, в построении которых участуют лишь связки &,, ¬, причем отрицание применяется только к атомарным формулам. Нетрудно понять, что по всякой такой формуле F можно восстановить схему, которую формула F “ представляет” .

Пусть схемам S и T соответствуют формулы FS и FT в описанном выше смысле. Тогда если схемы S и T эквивалентны ( т. е. замкнуты и разомкнуты одновременно), то FS и FT равносильны, и обратно. Этот факт используется для решения задачи минимизации контактных схем, которая состоит в том, чтобы по данной схеме S найти схему T , эквивалентную S и содержащую меньше контактов. Один из путей решения этой задачи состоит в переходе к формуле FS и в отыскании формулы G, равносильной FS и содержащей меньше вхождений атомарных формул ( разумеется, имеется ввиду, что G построена только с помощью &, и ¬ причем ¬ применяется лишь к атомарным формулам) . Так, например, формула FS равносильна формуле X ( ¬X& Z) ( ¬Y& ¬Z) . Следовательно, приведенная выше схема эквивалентна следующей схеме, которая содержит на три контакта меньше.

X

¬X Z

¬Y ¬Z

25

Заметим, что приведенную контактную схему можно еще упростить.

Задачи

1 . Определить, какая логическая связка используется в следующих словесных выражениях: " A, если B", " коль скоро A, то B", " в случае A имеет место B", " как A, так и B", " для A необходимо B", " для A достаточно B", " A вместе с B", " A не имеет места", ” A, только если B”, “ A, пока B”, “ или A, или B”, ” A одновременно с B”, ” A – то же самое, что и B” .

2 . Записать следующие рассуждения в виде последовательности формул логики высказываний.

2 . 1 . Профсоюзы штата будут поддерживать губернатора, если он подпишет этот закон. Фермеры окажут ему поддержку, если он наложит на него вето. Очевидно, что он или не подпишет закон, или не наложит на него вето. Следовательно, губернатор потеряет голоса рабочих, объединенных в профсоюзы, или голоса фермеров.

2 . 2 . Если мы не будем продолжать политику сохранения цен, то мы потеряем голоса фермеров. Если же мы будем продолжать эту политику и не прибегнем к котролю над производством, то продолжится перепроизводство. Без голосов фермеров нас не переизберут. Значит, если нас переиберут и мы не прибегнем к контролю над производством, то продолжится перепроизводство.

2 . 3 . Если завтра будет хорошая погода, то я буду кататься на коньках или пойду на лыжах. Если я пойду на лыжах, то лучше поехать за город, а если буду кататься на конъках, то останусь в городе. Мне не хочется завтра в выходной день оставаться в городе. Следовательно, если завтра будет хорошая погода, то я пойду на лыжах.

3 . Выяснить, будут ли тождественно истинны следующие

4 . Выяснить, существует ли формула F такая, что формула G тождественно истинна:

26

а) G = X& Y → F& Z;

б) G = ( F& Y → ¬Z) →( Z → ¬Y );

в) G = ( F& Z) ( ¬F& ¬Y & ¬Z) .

5 . Выяснить, будут ли следующие формулы равносиль-

ны:

а) X→Y и ¬Y → ¬X,

б) ¬X → Y и ¬Y → X

в) X → ( Y→Z) и ( X→Y) → Z,

г) X → ( Y→Z) и X& Y → Z,

д) ¬( X→Y ) и ¬X → ¬Y,

е) X↔Y и ¬X ↔ ¬Y.

6 . Доказать равносильность формул:

а) ¬[( X Y) & ( X& ¬Z)] и X→Z,

б) ( X& ¬Y) ¬( X& Y) и ¬( X& Y),

в) ¬[( X ¬Y) & Y] & ¬( ¬X& Y) и ¬Y,

г) ¬[( X&Y) ¬Z] и ¬ ( Z→X) ¬( Z→Y), д) ( X& Y) ( ¬X& Y) ( X& ¬Y) и X Y,

е) ( ¬X& Y& Z) ( ¬X& ¬Y& Z) ( Y& Z) и ( ¬X Y) & Z

ж) [( X → Y) & Z] → ¬( X → Y) и ¬X ¬Y ¬Z,

з) [ ¬( ¬X & Z) & ¬( Y & Z)] ¬X ¬Y и ¬( X & Y & Z ),

и) ¬( X ↔ Y) [( X → Y) & Z] и [ ¬X & ( Y Z)] ( X &

¬Y) ( Y & Z),

к) [ ¬( X & ¬Y) & Z] ¬( X ↔ Y) и ( X & ¬Y) ( ¬X & Z)

[ Y & ( ¬X Z)].

7 . Доказать, что формула G является логическим след-

G= X→Z2 ;

г) F1 = Z→Z1 , F2 = Z1 →Y, F3 = X → Y Z, G = X→Y.

8 . Доказать, что формула G не является логическим следствием формул F1 , F2 , ... , Fn :

а) F1 = X → Y Z, F2 = Y→W, F3 = Z→X, G = X → W; б) F1 = X→Y, F2 = Y→Z, F3 = Z → Z1 Z2 , G = X→Z1 ;

в) F1 = X Y Z, F2 = X→X1 , F3 = Y → Х1 Y1 , F4 = ¬Y1 , G = Z→X1 .

9 . Логичны ли рассуждения из задач 2 . 1, 2 . 2, 2 . 3 ?

27

1 0 . Логичны ли следующие рассуждения ?

1 0 . 1 . Если Джонс не встречал этой ночью Смита, то Смит был убийцей или Джонс лжет. Если Смит не был убийцей, то Джонс не встречал Смита этой ночью, и убийство произошло после полуночи. Если убийство произошло после полуночи, то Смит был убийцей или Джонс лжет. Эксперты установили, что убийство произошло до полуночи. Следовательно, Смит был убийцей.

1 0 . 2 . В бюджете возникнет дефицит, если не повысят пошлины. Если в бюджете возникнет дефицит, то расходы на социальные нужды сократятся. Следовательно, если повысят пошлины, то расходы на социальные нужды не сократятся.

1 0 . 3 . Намеченная атака удастся, если захватить противника врасплох или его позиции плохо защищены. Захватить противника врасплох можно только, если он беспечен. Он не будет беспечен, если его позиции плохо защищены. Следовательно, намеченная атака не удастся.

1 0 . 4 . Если губернатор не имеет соответствующего авторитета или если он не желает принимать на себя ответственность, то порядок не будет восстановлен и волнения не прекратятся до тех пор, пока участникам волнений это не надоест и власти не начнут примирительные действия. Следовательно, если губернатор не желает взять на себя ответственность и участникам волнений это не надоест, то волнения не прекратятся.

1 4 . Для следующих схем построить эквивалентные им более простые схемы:

Y Z

28

X

б) Z

¬Y

¬Z X

Z

¬Z

¬Y

X

в) X

Z

Z

¬Z

¬X

Z

Z

Y

1 5 . Требуется, чтобы включение света в комнате осуществлялось с помощью трех различных выключателей таким образом, чтобы нажатие на любой из них приводило к включению света, если он был выключен, и выключению, если он был включен. Построить по возможности более простую цепь, удовлетворяющую этому требованию.

1 6 . Пусть каждый из трех членов комитета голосуют " за", нажимая кнопку . Построить по возможности более простую цепь, которая была бы замкнута тогда и только тогда, когда не менее двух членов комитета голосуют " за" .

Ответы, указания и решения

2 . Приведем решение задачи 2 . 1 . Рассмотрим высказывания: X = ” профсоюзы будут поддерживать губернатора”, Y = ” губернатор подпишет закон”, U = ” фермеры окажут губернатору поддержку”, V = ” губернатор наложит вето” . Тогда рассуждение 2 . 1 представимо формулами F1 = Y→X, F2 =

V→U, F3 = ( ¬Y & V) ( Y& ¬V), G = ¬X ¬U.

3 . Тождественно истинны формулы а), в), ж) и з) . Остальные формулы тождественно истинными не являются.

4 . В случаях а) и б) ответ положительный, в качестве F можно соответственно взять X& Y и Y. В случае в) ответ отрицательный. Действительно, если интерпретация ϕ такова, что ϕ( Y) = 1, ϕ( Z) = 0, то ϕ( G) = 0 независимо от ϕ( F) .

5 . В случаях а), б) и г) формулы равносильны, в остальных нет.

29