методичка з матем
.pdfСамостійна робота до занять №1-2
|
|
|
1.Знайти добуиток матриць АВ або ВА (якщо АВ – не |
|||||||||||||
|
|
|
існує) |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
а. |
А=(4 |
3 -2) |
|
1 |
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
3 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||
б. |
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
|
A |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
5 |
В=(4 –4 |
-1) |
|
|
|
|||||
в. |
A |
|
0 1 2 |
|
2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
2 |
|
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
3 1 2 |
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
|
|||
г. |
|
|
|
|
3 |
1 4 1 |
|
1 2 |
|
|
|
|||||
|
A |
|
|
|
|
3 1 |
|
|
|
|
||||||
|
|
2 0 3 1 |
|
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
B |
4 |
2 |
|
|
|
|
||
|
|
|
|
1 3 4 2 |
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
5 |
|
|
|
||||
2.Обчислити визначник: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
|
|
|
2 1 3 |
|
|
|
д) |
|
3 2 2 2 |
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
а) |
|
|
4 3 2 |
|
|
|
|
9 8 5 10 |
|
|
|
|||||
|
|
|
1 4 3 |
|
|
|
|
|
5 8 5 8 |
|
|
|
||||
б) |
|
5 8 4 |
|
е) |
|
|
6 5 8 4 |
|
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
|
7 5 2 |
|
|
|
|
9 |
7 |
5 |
2 |
|
|
|||
|
|
|
5 3 7 |
|
|
|
|
7 |
5 |
3 |
7 |
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
4 |
8 |
8 |
3 |
|
|
21
в) |
|
1 4 1 |
|
|
є) |
|
|
8 1 1 1 |
|
|||||||
|
|
|
|
|||||||||||||
|
|
0 3 1 |
|
|
|
|
|
2 |
3 |
3 |
4 |
|
||||
|
|
3 4 |
2 |
|
|
|
|
|
|
4 2 |
9 |
16 |
|
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
1 |
27 |
64 |
|
|||
г) |
|
2 3 11 5 |
|
ж) |
|
|
6 0 11 5 |
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
|
1 1 |
5 |
2 |
|
|
|
|
1 1 |
5 |
2 |
|
|
|
||
|
|
3 1 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
1 |
2 |
3 |
2 |
|
|
|
|
|
3 1 |
3 |
4 |
|
|
|
|
|
3 |
8 |
0 |
4 |
|
|
|
3.Розвязати систему рівнянь трьома способами: - матричним -Крамера -Гаусса
x |
3x |
2 |
x |
3 |
2 |
|
4x x |
2 |
2x |
3 |
1 |
|||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
||||
а) 3x1 x2 2x3 1 |
б) |
2x1 2x2 x3 |
2 |
|||||||||||||||
2x1 x2 x3 1 |
|
3x1 x2 |
4x3 1 |
|||||||||||||||
3x |
|
2x |
2 |
x |
3 |
2 |
2x |
x |
2 |
5x |
3 |
4 |
||||||
|
1 |
|
|
|
|
|
|
1 |
|
|
|
|
|
|||||
в) 2x1 3x2 2x3 1 |
г) 5x1 2x2 |
13x3 2 |
||||||||||||||||
4x1 x2 5x3 |
3 |
3x1 x2 5x3 0 |
22
Самостійна робота до заняття №3-4
1. Взяти довільний вектор a і побудувати вектори
3 |
|
, 2 |
|
, |
a |
|
, |
a |
|
|
|
, 3 |
|
|
a |
a |
3 |
a |
a0 |
||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2.Використовуючи два довільних вектори a та b , побудувати a b, a b,b a, 2a 3b
3.Паралелограм АВСД побудований на векторах a та b . Виразити через a та b вектори MA, MB, MC, MD , де М – точка перетину діагоналей.
4.Задані точки М1(1,2,3) та М2(3,-4,6).
Знайти:
а) координати векторів a M1M 2 , b M 2 M1
б) |
знайти |
довжину відрізка М1М2 та косинуси кута |
||||||||
|
|
|
, , , що утворюють вектор |
|
з осями координат. |
|||||
|
|
|
a |
|||||||
в) знайти координати вектора |
|
|
||||||||
a |
||||||||||
2. |
Перевірити колінеарність векторів |
|||||||||
|
|
(2, 1,3) |
та |
|
( 6,3, 9) |
|||||
|
a |
b |
6.Чи є вектор d 0,7,23 лінійною комбінацією
векторів |
|
5,2,1 , |
|
|
1,4,2 , |
|
|
|
1, 1,6 . |
|||||
a |
b |
c |
||||||||||||
Знайти коефіцієнти лінійної комбінації. |
||||||||||||||
7. Довести, |
|
|
що |
вектори |
|
|
|
|
5,4,3 , |
|||||
|
|
|
a1 |
|||||||||||
|
|
( 3, 1,2), |
|
( 3,1,3) утворюють |
базис в Е3 та |
|||||||||
a2 |
a3 |
розкласти векторd (12,9,10) за цим базисом.
8.Дано трикутник з вершинами А(1,2,-1),В(2,4,1), С(3,0,0). Знайти кут при вершині А
23
9.Знайти площу трикутника з вершинами А(1,2,1),
В(4,3,2), С(2,4,4).
10.У тетраедрі з вершинами А,В,С,Д знайти об”єм V площу грані S ABC , довжину висоти опущеної з
вершини Д на грань АВС, кут між ребрами АВ і АС.
А(2,-5,3), В(1,4,2), С(-3,1,1), Д(-1,-1,4).
Самостійна робота до заняття №5,6,7,8
1.Записати в загальному вигляді рівняння прямої, яка відсікає на осях координат відрізки a 52 ,b 101
2.Який кут утворює з додатнім напрямом осі абсцис пряма 2х+2у-5=0
3.Побудувати прямі
1)4х+5у+15=0
2)2х-у=0
3)7х-10=0
4)2у+3=0
4.Пряма відсікає на осях координат рівні додатні відрізки. Скласти рівняння прямої, якщо площа площа трикутника, утвореного прямою з осями координат дорівнює 8кв. од.
5.Скласти рівняння прямої, яка проходить через т.А(2,5)
івідсікає на осі ординат відрізок b=7.
6.Довести, що пряма 2х-3у+2=0 паралельна прямим:
а) 6х-9у+5=0
24
б) y 23 x
в) x 1 y 3 5 2
та перпендикулярна прямим:
а) 3х+2у-5=0
б) |
y |
3 x 6 |
||
|
|
|
2 |
|
в) |
x 2 |
|
y 1 |
|
2 |
|
3 |
||
|
|
|
7. Знайти відстань між паралельними прямими а) х-2у+6=0 та 2х-4у+7=0 б) 2х-3у+2=0 та 6х-9у+5=0
в) 2х-3у+3=0 та y 23 x
8. Знайти кут між прямими а) 5х-у+7=0 та 2х-3у+1=0 б) 2х+у=0 та у=3х-4 в) 3х-2у+7=0 та 2х+3у-3=0
г) х-2у-4=0 та 2х-4у+3=0 д) у=-2х+3 та у=3х+5
x t 6 9. Знайти відстань від т.С(-1;3) до прямої y 3t 2
x 5t 1 10. Знайти кути, що утворює пряма y 2t 3
а) з віссю ОХ б) з віссю ОУ
в) з прямою 3х-у+1=0
11. При яких значеннях a прямі ах-4у=6 та х-ау=3
25
а) перетинаються б) паралельні в) збігаються
12.Знайти рівняння прямої, симетричної прямій х- 2у+1=0 відносно прямої х-у+1=0
13.Дано рівняння сторін трикутника: х-2у+2=0 (АВ)
2х-у-1=0 (АС)
х+у-5=0 (ВС)
Знайти рівняння його висоти, проведеної з вершини С.
14.Знайти канонічне рівняння еліпса, коли відомо, що b=3, E=0,8
15.Визначити рівняння та її поверхню в канонічному вигляді 4х2+9у2-8х+36у+4=0
16.Скласти рівняння площини, що проходить через
т.М(2,1,-1) перпендикулярно вектору n (1, 2,3)
17.Побудувати площини, що задані рівняннями:
a)2x-y-2z+5=0
б) x+5y-z=0 в) 3x-2y-z=0 г)5y-3z=0 д)x+z=0
18. Визначити, які з прямих паралельні та знайти відстань між ними
а) 2x-3y+5z-7=0 та 2x-3y+5z+3=0 б) 4x+2y-4z+5=0 та 2x+y+2z-1=0 в) x-3z+2=0 та 2x-6z-7=0
19. Які з пар прямих перпендикулярні?
26
а) |
3x-y-2z=0 |
та |
|
|
x+9y-3z+2=0 |
||||
|
б) 2x+3y-z-3=0 та x-y-z+5=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
в) 2x-5y+z=0 3x-y-5z+1=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
20. |
Скласти канонічне рівняння прямої, що є перетином |
||||||||
|
площин |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x-2y+z+1=0 та 2x-y+3z-2=0 |
|
|
|
|
|
|
|
|
21. |
Знайти точку перетину |
прямої |
x |
|
y 1 |
|
z 1 |
із |
|
2 |
1 |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
2 |
|
площиною x+2y+3z-29=0
27
Модуль 2
Практичні заняття №9-10 Вступ до математичного аналізу
Короткі теоретичні відомості
Число а називають границею послідовності х1, х2, ...., хn, якщо для довільного Е>0 існує число N=N(E) таке, що нерівність xn a E виконується для всіх n>N, і позначають
a lim xn
n
Число А називають границею функції f(x), для х, що наближається до а,якщо для довільного Е>0 існує (E) 0 ,
таке, що |
|
f (x) A |
|
E , як тільки |
|
x a |
|
. |
|
|
|
|
|
|
|||||
Це записується у вигляді |
lim f (x) |
A |
|||||||
|
|
|
|
|
x a |
|
|||
Якщо х>a і x a , то пишуть |
x a 0 , число |
f (a 0) lim f (x) називається границею зліва f(x) у точці а.
x a 0
Якщо х>a і x a , то пишуть |
x a 0 |
Число f (a 0) lim f (x) |
називається границею |
x a 0 |
|
справа f(x) у точці а.
Важливі значення мають такі границі:
lim sin x 1 - перша визначна границя
x 0 x
lim(1 |
1 ) x |
e або |
lim(1 x) 1x |
e , де |
e 2,718281... - |
x |
x |
|
x 0 |
|
|
друга визначна границя.
28
Функцію y=f(x), визначеному в деякому околі точки х0, називають неперервною в т. х0, якщо границя функції і її значення в цій точці збігаються, тобто
lim f (x) f (x0 )
x 0
Для неперервності функції f(x) у точці х0, необхідної достатньо,щоб вона була неперервна в цій точці зліва і справа,
тобто |
lim f (x) lim f (x) f (x0 ) |
|
|
|||
|
x x0 0 |
x x0 0 |
|
|
|
|
|
Якщо ця умова не виконується, то говорить, що функція |
|||||
f(x) має розрив неперервності у т.х0. |
|
|
||||
|
Якщо |
функція |
f(x) |
має |
скінченні |
границі |
lim |
f (x) |
f (x0 0)і lim |
f (x) f (x0 |
0) при чому |
не всі |
|
x x0 0 |
|
x x0 0 |
|
|
|
|
три числа f(x0), f(x0-0), f(x0+0) рівні між собою, то х0 називається точкою розриву першого роду.
Якщо в точці х0 хоча б одна з односторонніх границь дорівнює нескінченності або не існує, то цю точку називають точкою розриву другого роду.
Таблиця еквівалентності нескінченно малих величин
Нехай a і n – сталі, a>0, a 0. При х 0
x ~ sin x |
|
x ~ arcsin x |
x ~ ex 1 |
|
||||||
x ~ tgx |
x ~ arctgx |
|
xln a ~ ax 1 |
|
||||||
x2 |
~ 1 cos x |
|
x |
~ |
x 1 |
1 |
|
x |
~ loga (1 |
x) |
2 |
2 |
|
ln a |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|
29
Практичні завдання
1.Побудувати графіки заданих функцій шляхом геометричних перетворень графіків елементарних функцій:
а) y x 3 ;
б) y sin x ;
в) y 3sin(2x 1) ;
г) y ln(x 2) 1.
2. Знайти границі відношення многочленів:
а) lim x2 3x 8 ; |
|
X 2 |
x 4 |
б) lim 23x 7 ;
X 3 x 27
в) lim x2 x2 2x5x15 ;
X 5
г) |
lim |
2x2 x 3 ; |
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3x |
2 |
5x 1 |
|||||||
|
X |
|
||||||||
д) |
lim |
5x3 x2 2x 8 ; |
||||||||
|
|
4x |
2 |
3x 7 |
|
|||||
|
X |
|
|
|||||||
е) |
lim |
2x3 x 5 . |
||||||||
|
x |
3 |
x |
2 |
1 |
|||||
|
X |
|
|
3. Знайти границі виразів, що містять ірраціональності:
а) lim |
x 3 2 ; |
||
x 1 |
|
||
X 1 |
б) lim |
x2 x |
12 ; |
||
x 2 |
4 x |
|
||
X 3 |
в) lim |
|
1 x x 1 |
; |
||||
|
|
x |
|||||
|
X 0 |
|
|
||||
г) |
lim |
|
3 29 x 3 |
|
|||
|
|
x |
2 |
3x 2 |
|||
|
X 2 |
|
30