методичка з матем
.pdf4. Знайти границі виразів, що містять тригонометричні функції:
а) |
lim |
sin3 5x ; |
|
|
|
||
|
x |
3 |
|
|
|
|
|
|
X 0 |
|
|
|
|
|
|
б) limsin 7x ; |
|
|
|
||||
|
X 0 |
sin 3x |
|
|
|
||
в) lim |
1 cos 2x ; |
||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
г) lim |
|
xtg3 x |
|
|
. |
||
cos x cos |
3 |
x |
|||||
|
X 0 |
|
5.Виконати завдання 4, використовуючи таблицю еквівалентності нескінченно малих значень.
6.Знайти границі виразів, що містять змінну величину в основі і в показнику степені або під знаком логарифма:
а) lim (2x 3) / 2x 3x 4 ; X (2x 4) / 2x
б) lim 2x 1 3x 1 ; X 2x 1
в) lim x 1 5x 1 ; X x 2
г) limx ln x5 3x4 5ln x .
X
7. Показати, що при x=4 функції мають розриви. Визначити їх характер.
|
1 |
|
|
||
а) f(x)= 6 |
x 4 |
|
|
||
б) f(x)= |
1 |
|
|||
1 |
4 |
||||
|
|||||
|
x 2 x |
31
в) y=arctg 2 x 4
8.Побудувати графіки функцій шляхом геометричних перетворень графіків елементарних функцій
а) y=(x-2) 2 б) y=-cos x+2 в) y= sin x
9. Знайти границі функцій
а) lim |
|
x2 |
7x 18 |
|
||||||||||||
x |
3 |
|
6x |
2 |
16x |
|||||||||||
|
x 2 |
|
|
|
|
|
||||||||||
б) lim |
2x 1 |
|
|
|
|
|
||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
3 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
в)lim |
2x2 x 6 |
|
|
|
||||||||||||
x |
2 |
3x 2 |
|
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|||||||||||
г) lim |
|
|
x2 2x5 |
|
|
|
||||||||||
4 2x |
3 |
x |
5 |
|
|
|||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
д)lim |
|
|
|
|
|
|
|
x 6 |
|
|
|
|||||
|
|
|
|
x 4 |
|
8 x |
||||||||||
|
x 6 |
|
|
|
|
|
||||||||||
е)lim |
|
x 12 |
x 6 |
|||||||||||||
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
є)lim |
1 cos3 x |
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
|
|
x |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
ж) |
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x 1 |
|
|
|
||
|
lim 4 |
3x |
|
2x |
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|||||||||||
|
x 1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
з) lim |
x |
ln 3x 4 ln 3x |
||||||||||||||
|
||||||||||||||||
|
x |
4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
32
Практичні заняття № 11-12
Похідна та її застосування
Короткі теоретичні відомості
Основні правила диференціювання ( U , V – диференційована функ-ція).
1) |
(C U ) C U ' , де С –const |
|
2) |
(U V )' U ' V ' |
|
3) |
(U V ) U 'V UV ' |
|
4) |
(U )' = U 'V UV ' |
|
|
V |
V 2 |
Похідна складної функції
Якщо y (U ) , а U g(x) , то y називають складною функцією
Тоді y' '(U ) U '
Похідна неявної функції
y' F' x(x, y) F' y(x, y)
Похідна функції , що задана параметрично Якщо функція задана параметрично
x (t) |
t [T1;T2 ] , то |
|
|
y (t) |
|
y'x y't '(t) x't '(t)
Диференціал функції dy y' dx
Рівняння дотичної до кривої y(x) в точці y y(x0 ) y'(x0 )(x x0 )
33
Рівняння нормалі до кривої y(x) у точці x0
y y(x0 ) y'(1x0 ) (x x0 )
Загальна схема дослідження функції і побудова її графіка
1.Знаходимо область визначення функції , точки розриву, інтервали неперервності .
2.Досліджуємо функцію на парність , не парність , періодичність.
3.Знаходимо асимптоти графіка функції.
4.Знаходимо точки перетину графіка функції з осями координат.
5.Знаходимо кретичні точки першого роду , інтервали зростання та спадання функції , точки екстремумів та екстремальні значення функції.
6.Знаходимо критичні точки другого роду , інтервали опуклості та угнутості графіка функції , точки перегину та значення функції в точках перегину.
7.Згідно з результатами дослідження будуємо у системі координат отримані точки , асимптоти і графік функції.
8.Похилі асимптоти : y kx b
Практичні завдання
1. Знайти похідну першого порядку :
|
|
|
|
|
y (2x2 |
|
|
3 |
|||
a) |
y sin x x 4 |
е) |
1) 2 |
||||||||
б) |
y 2x cos x |
є) |
y |
|
x |
|
|
|
|||
x2 1 |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) y |
1 |
|
ж) y x2 e x |
|
|||||||
1 4x |
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||
г) y |
4x 7 |
з) |
y ln( |
x2 |
1 |
) |
|||||
x |
1 |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
д) |
y tgx5 |
|
|
|
|
|
|
|
34
2. Знайти диференціали першого порядку :
а) y (esin x 1)2
б) y 3arctgx2
3.Знайти похідні першого порядку функції , заданих неявно та параметрично :
а) y2 sin 2x tg2 y x3
б) exy x2 y2 0
x t 1 sin 2t
в) 2y cos3 t
x t ln cost г) y 1 ln sin t
4. Знайти границі функції :
а) (x) |
x sin x |
, x0 |
0 |
||||
|
|
||||||
|
|
|
x2 |
|
|
|
|
б) (x) (1) |
|
1 x2 |
, x0 0 |
||||
|
x2 |
||||||
|
|
x |
|
|
|
||
в) (x) |
x3 |
, x |
|
||||
|
|
||||||
|
|
ex |
|
|
|
|
|
5. Знайти рівняння дотичної і нормалі до кривої y = (x) у т. M 0
а) |
y 2x3 x 1 в т. M 0 (1;2) |
б) |
y x ex в т. M 0 (0;0) |
35
в) y arctgx в т. M 0 (1; 4 )
г) y sin 5x в т. M 0 (0;0)
6. Знайти екстремуми функції :
а) y 2x3 6x 7
б) y 2x3 9x2 12x 5
в) y (x2 3x 4)3
7. Знайти інтервали опуклості , угнутості та точки перегину функції :
x2
а) y e 2
б) y x4 2x3 36x2 x
8.Дослідити методами диференціального числення функції та побудувати їх графіки :
а) y 2x3 12x2 18x
б) |
y |
x2 |
|
|
x 2 |
||||
|
|
|||
в) |
y |
2x 1 |
||
(x 1)2 |
||||
|
|
|||
г) |
y |
2x 1 |
||
|
|
x 3 |
д) y x2 (2 x)2
9. Знайти першу похідну наступних функцій :
а) y 2x3 5x2 7x 4
36
б) y x2 ex
в) y x3 arctgx
3
г) y x 2 (3ln x 2) д) y arcsinx x
е) y (2x3 5)4
10. Знайти рівняння нормалі і і дотичної до кривої y (x) у
|
т. M 0 : |
|
|
|
а) |
y 2 x4 |
M 0 |
(1;1) |
|
б) |
y 5 4 |
x |
M 0 |
(1;6) |
в) |
y 5 4 |
x |
M 0 (1;4) |
|
г) |
y 3 2 |
x |
M 0 (1;5) |
11.Знайти першу похідну від функцій заданих неявно або параметрично :
а) x2 y2 xy 1
б) x3 y3 3xy 0
x a cost
в) y bsin t
x cost
г) y tedt
12. Дослідити методами диференційованого числення функції та
37
побудувати графіки :
а) |
y |
|
|
1 |
|
|
|
|
x |
2 |
|||||
|
|
|
|||||
б) |
y |
x 1 |
|
||||
x 1 |
|||||||
|
|
|
|||||
в) |
y |
|
|
x3 |
|||
(x 1)2 |
|||||||
|
|
||||||
г) |
y |
ex |
|||||
|
x |
|
|
|
|||
|
|
|
|
|
|
38
Самостійна робота до занять 9-12
1. Задану функцію записати у вигляді рівностей ,кожна ланка якого містиь основну елементарну функцію :
а) y arcsin(3 x ) б) y lg sin 3x
в) y (3cos x)5 ln 26x2
2. Знайти область існування функції :
а) y |
1 |
|
x 1 |
||
|
б) y 3cos 2x x 2
в) y ln 1 x
г) y sin x 3
д) y 1 x2
4 x2
3. Знайти границі функцій :
а) lim 34x2 42x 1 x 2x 3x
x
б) lim 2x4 x3 1 x2 4x 2
x
в) lim |
1 x |
1 x |
||
4x |
|
|
||
|
|
|
|
|
x 0 |
|
|
|
|
г) lim |
|
x 12 |
4 x |
|
|
x2 2x 8 |
|||
|
|
x 4
39
д) lim tgx x3sin x x 0
sin 2x е) lim x24
x 0
4
є) lim(10 3x) 9 x2 x 3
1
ж) lim(1 2x) x x 0
10
з) lim(2x 1) 2 x x 0
4. Задана функція y (x) та два значення аргументу x1; x2
1)Встановити чи буде функція неперервна в кожній точці;
2)У випадку розриву функції знайти її однобічні границі зліва та справа;
3)Зробити схематичний малюнок.
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
а) y 5 |
x 4 |
|
|
|
, x 2, x |
2 |
|
4 |
||||||
1 |
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
б) y 6 |
|
x 3 |
, x 4, x |
2 |
3 |
|||||||||
1 |
|
|
||||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
в) y 7 |
|
x 5 |
, x 7, x |
2 |
|
5 |
||||||||
1 |
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
г) y 10 |
x 9 |
, x 8, x |
2 |
9 |
||||||||||
1 |
|
|
|
|||||||||||
1 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
д) y 4 |
x 1 |
, x 3, x |
2 |
|
1 |
|||||||||
1 |
|
|
40