Метод дисперсионного анализа данных многофакторного полевого опыта, поставленного методом расщеплённых (сложных) делянок

В опытах с расщеплёнными делянками имеется большие делянки первого порядка, которые расщепляются (делятся) на более мелкие делянки второго порядка и т.д. Статистическая обработка данных таких опытов имеет свою специфику, так как ошибки на больших и малых делянках неодинаковы по величине и поэтому оценка существенности разниц по одному значению не может быть правильной. Первоначальную обработку данных этих опытов проводят в той же последовательности, что и обработку данных многофакторного опыта поставленного методом рендомизированных повторений. Отличием здесь является разложение остаточной суммы квадратов на вариабельность делянок первого (ошибка I), второго (ошибка II) и т.д. порядков.

Рассмотрим технику вычислений при дисперсионном анализе данных двухфакторного опыта 3х2 по изучению влияния предшественника и удобрений на урожайность яровой пшеницы. На делянках первого порядка (главные делянки) изучалось действие предшественника (0-горох, 1- подсолнечник, 2-кукуруза, 3-однолетние травы), а на делянках второго порядка (субделянки) – два фона питания растений (0 – Без навоза, 1- Навоз.

Расчёты при дисперсионном анализе проводят только по третьей модели (рассчитывают поправку или корректирующий фактор).

Расчёты выполняются в несколько этапов:

1-й этап Составляют таблицу урожаев и рассчитывают в ней суммы урожаев по вариантам (∑V), по повторениям (∑Р), средние урожаи по варианта (Х_V), сумму поделяночных урожаев (∑Х) и среднюю урожайность по опыту Х_о=

Таблицу урожаев проверяют по равенству ∑P = ∑V = ∑Х = одно число

Фактор А (навоз)	Фактор В (удобрения)	Урожайность картофеля по повторениям, ц/га, Х				Суммы урожаев по вариантам,. ∑V	Средние урожаи по вариантам, Х
		I	II	III	IV
Без навоза Ао	0 (во)
	Ν(в1)
	P(в2)
	K(в3)
	ΝPK(в4)
Навоз А1	0 (во)
	Ν(в1)
	P(в2)
	K(в3)
	ΝPK(в4)
Суммы урожаев по повторениям ∑Р						∑ Х	Хо =

Вводится корректирующий фактор С =

Количество делянок вычисляют по формуле Ν = ℓ_А× ℓ_В × n или 2 ×5×4=40

2-й этап. Вычисляют виды варьирований (или суммы квадратов):

а) общая сумма квадратов С_у = ∑Х² – С

б) сумма квадратов по повторениям С_Р = ∑Р² : (ℓ_А×ℓ_В) – С

в) сумма квадратов по вариантам С_V = ∑V² : n - C

г) сумма квадратов для случайной ошибки С_Z = C_У – (С_Р+С_V)

3-й этап. Определяют суммы квадратов для факторов А (навоз),

В (удобрения) и АВ (их взаимодействие), т.е. варьирование урожаев в зависимости от действия факторов А, В и взаимодействия АВ. (С_А, С_В, С_АВ)

Таким образом, общее варьирование вариантов разъединяется

С _V = С_А + С_В + С_АВ

Для этого составляют вспомогательную таблицу. В неё записывают суммы урожаев по вариантам (из таблицы №1), находят суммы и средние по факторам А и В. Таблица №2

Суммы урожаев для определения главных

эффектов и взаимодействия

Варианты по фактору А	Варианты по фактору В					Суммы урожаев по фактору А	Средние урожаи по фактору А
	0 В0	1 В1	2 В2	3 В3	4 В4
0 (А0)							А0= ХА
1 (А1)							А1=ХА
Суммы урожаев по фактору В
Средние урожаи по фактору В	В0=	В1=	В2=	В3=	В4=	∑Х =	Х0 =

С_А = ∑А² : (ℓ_в×n) – С при степени свободы υ_А = ℓ_А – 1 = 2 – 1 = 1

С_В = ∑В² : (ℓ_А×n) – С при степени свободы υ_В = ℓ_В – 1 = 5 – 1 = 4

С_АВ = С_V – (С_А+ С_В) при степени свободы υ_АВ = (ℓ_А – 1)×ℓ_В – 1)

Таким образом, в 2-х факторном опыте, поставленным методом организованных повторений, сумма квадратов (С_V) расчленяется на три компонента С_V = С_А + С_В + С_АВ

В 3-х факторном опыте – на семь компонентов:

С_v = С_A + С_B + С_C + С_AB + С_AC + С _BC + С_ABC

Соответственно и общая сумма квадратов С_У равна:

- в двухфакторном опыте С_у = С_А + С_В + С_АВ + С_Р + С_Z

- в трёхфакторном опыте С_У = С_А + С_В + С_С + С_АВ + С_АС + С_ВС + С_АВС

4-й этап. Находят суммы квадратов для остатка (ошибки) С_Z = С_Z1 + С_ZII

В двухфакторном опыте, поставленного методом расщеплённых делянок, имеется две ошибки:

- одна для вариантов по фактору А (изучаются на более крупных делянках I порядка) Ошибка I.

- вторая, ошибка II – для вариантов по фактору В и взаимодействия АВ.

Таким образом, общее остаточное варьирование разделяется на компоненты С_Z = С_ZI + C_ZII

а) сумма квадратов C_ZI даёт возможность оценить существенность действия по вариантам фактора А (действие навоза). (Ошибка I)

б) эффективность минеральных удобрений и взаимодействия удобрений с навозом. (Ошибка II).

С_ZI – вычисляют, а С_ZII –находят по разности С_ZII = С_Z - С_ZI

Чтобы найти C_ZI составляют вспомогательную таблицу, куда записывают суммы урожаев по делянкам I – го порядка (навоз).

Таблица 3

Суммы урожаев по делянкам 1-го порядка для вычисления ошибки I

Фактор А (навоз)	Повторения				Суммы урожаев по фактору А
	1	II	III	IV
0 (без навоза)
1 (с навозом)
Суммы урожаев по повт. Р					∑Х =

Из этой таблицы находят общую сумму квадратов для делянок 1-го порядка - С_УI

- С_УI – включает в себя варьирование повторений (С_Р) и случайное варьирование для делянок 1-го порядка (С_ZI). Таким образом:

С_УI = С_А + С_Р + С_ZI С_ZI = С_УI – (С_А + С_Р) при υ = (ℓ_А – 1)×(n – 1)

С_УI = ∑Х_А : ℓ_В – С С_ZII = С_Z - С_ZI υ = (2 – 1)×(4 – 1_= 3

Далее составляют таблицу дисперсионного анализа двухфакторного опыта (2×5), поставленного методом расщеплённых делянок

Таблица 4

Варьирование	Сумма квадратов	Степени свободы, υ	Средний квадрат (дисперсия, S2)	Критерий Фишера
				Fфакт	F05
Общее СУ		Ν – 1 (40-1)=39	-
Повторений СР		n – 1 (4-1)=3	-
Фактора А СА		ℓА- 1 (2-1)=1	S2А = СА : υА	Fф=S2А: S2ZI
Ошибка I СZI		(ℓА-1)×(n-1)=3	S2ZI = СZI : υZI
Фактора В СВ		ℓВ-1=5-1=4	S2В = СВ : υВ	Fф=S2В : S2ZII
Взаимод. АВ САВ		(ℓА-1)×(ℓВ-1)=4	S2 АВ = С АВ : υ АВ	Fф=S2 АВ:S2ZII
Ошибка II СZII		υZII=υУ-υZI-υВ-υА-υАВ -υр=24	S2ZII = СZII : υZII

F_ф – находят в таблице приложения рабочей тетради, исходя из числа степеней свободы соответственно для факторов А, В и взаимодействия АВ. Ошибка II соответствует факторам В и взаимодействия АВ (она одинакова).

5 этап. Оценка существенности частных различий

а) Делянки 1-го порядка (эффект применения навоза)

Рассчитывают абсолютную ошибку и ошибку разности:

S¹_х = ±^{z ı} и S¹_d = ±^{z ı}

Затем рассчитывают НСР¹₀₅ = t₀₅ × S¹_d t – берут из таблицы при υ_{z ı} = 3

Штрих означает, что это для делянок 1-го порядка (действие навоза)

б) Делянки 2-го порядка (эффект применения удобрений

S^ll_х = ±^zıı и S^ıı_d = ±^{z ıı}

Затем рассчитывают НСР^II₀₅ = t₀₅ × S^ll_d t – берут из таблицы при υ_zıı = 24

6 этап. Оценка существенности главных эффектов

а) Для главного эффекта применения навоза (фактор А).

S^А_d = ^{Z ı} НСР^А₀₅ = t₀₅ × S^А_d t₀₅ – берут из таблицы при υ_{z ı} = 3

б) Для главного эффекта применения удобрений (фактор В).

S_d^В,АВ = ^{Z ıı} НСР₀₅^В,АВ = t₀₅ × S_d^В,АВ t₀₅ – берут из таблицы при υ_{z ıı} = 24

Заключение. Полученные значения НСР^I_05, НСР^II₀₅, НСР^А₀₅ и НСР^В₀₅ используют: (Анализ таблицы № 1)

По НСР^I₀₅ – оценивают значимость разностей между частными средними для делянок 1-го порядка т.е. эффект навоза при разных видах минеральных удобрений.

а₁в₀ - а₀в₀ - эффект навоза без удобрений

а₁в₄ - а₀в₄ - эффект навоза + NPK

а₁в₁ - а₀в₁ - эффект N удобрений + навоз (на фоне навоза)

а₁в₂ - а₀в₂ - эффект Р удобрений на фоне навоза

а₁в₃ - а₀в₃ - эффект К удобрений на фоне навоза

Таким образом, устанавливаем эффект навоза при применении разных минеральных удобрений.

По НСР^II₀₅ оценивают существенность (значимость) разностей между частными средними по делянкам 2-го порядка т.е. эффект минеральных удобрений на разных фонах навоза (с навозом и без навоза).

а₀в₁ - а₀в₀ - эффект N удобрений на фоне без навоза

а₁в₁ - а₁в₀ - эффект N удобрений на фоне с навозом

а₀в₂ - а₀в₀ - эффект Р удобрений на фоне без навоза

а₁в₂ - а₁в₀ - эффект Р удобрений на фоне с навозом

а₀в₃ - а₀в₀ - эффект К удобрений на фоне без навоза

а₁в₃ - а₁в₀ - эффект К удобрений на фоне с навозом

а₀в₄ - а₀в₀ - эффект NPК на фоне без навоза

а₁в₄ - а₁в₀ - эффект NPК на фоне с навозом

(Анализ таблицы №2. «Определение главных эффектов и взаимодействия).

По НСР^А₀₅ оценивают существенность (значимость) среднего (главного) эффекта фактора А (навоза), не зависимо от видов минеральных удобрений.

А₁ – А₂ = d_А

По НСР^В₀₅ оценивают значимость (существенность) среднего (главного) эффекта минеральных удобрений (фактор В) не зависимо от фона

В₁ – В₀ = d₁^в

В₂ – В₁ = d₂^в

В₃ – В₂ = d₃^в

В₄ – В₃ = d₄^в

ЛЕКЦИЯ № 9

Тема. Корреляционный и регрессионный анализ экспериментальных

данных

План

1. Корреляционный анализ и его сущность

2. Регрессионный анализ

В сельскохозяйственных и биологических исследованиях часто выясняют взаимосвязь между изучаемыми признаками. Для измерения силы (тесноты) и формы связи используют специальные статистические методы – корреляцию и регрессию.

Все значения одного признака являются случайными переменными. Один из признаков принимают за аргумент (независимую переменную Х), другой за функцию (зависимую У). Любому значению Х может соответствовать любое значение У, следовательно, корреляционная зависимость должна устанавливаться на основе достаточно большого числа пар наблюдений. Корреляция – это вероятностная связь. Она бывает простой и множественной; по форме линейной и криволинейной, по направлению прямой обратной.

Линейная корреляция – это зависимость, при которой с увеличением средней величины одного признака увеличивается средняя величина другого, или наоборот, с увеличением средней величины одного уменьшается средняя величина другого. В первом случае корреляция будет прямой (положительной), во втором обратной (отрицательной).

При криволинейной корреляции результативный (зависимый) признак с увеличением факториального (независимого) возрастает до определённой величины, а затем убывает или наоборот. При простой корреляции исследуется связь между двумя признаками. Множественная корреляция наблюдается, если на величину одного признака влияет несколько факториальных.

Наибольшее распространение имеет простая линейная корреляция.

Степень связи между признаками обычно выражается отвлечённым числом, которое при прямолинейной зависимости называется коэффициентом корреляции. Расчету коэффициента корреляции должен предшествовать первичный анализ данных наблюдений. Материал наблюдений надо проанализировать с точки зрения соответствия данных общим закономерностям изменения того или иного явления и его взаимосвязи с другими явлениями. После анализа и отбраковки явно нетипичных данных составляют таблицу – сводку, где Х обозначает независимую переменную (аргумент), У – зависимую переменную (функцию).