Дисперсионный анализ с расчётом отклонений от среднего урожая по опыту о (модель I-я)

Расчёты проводят в несколько этапов:

1- й этап: Составляют таблицу урожаев, подсчитывают суммы по вариантам V, повторениям Р и общую сумму всех поделяночных урожаев ∑Х. При правильных вычислениях сумма всех сумм по вариантам ∑V и сумма всех сумм по повторениям ∑Р должны быть равны между собой и общей сумме поделяночных урожаев ∑Х, т.е. ∑V=∑Р=∑Х.

Вычисляют средние по вариантам =

по повторениям _р =

и средний урожай по опыту _о =

Поделяночная урожайность пшеницы в опыте с изучением способов обработки почвы, ц/га

Вариант	Урожай по повторениям (Х)				Сумма по вариантам ()	Средняя по вариантам ()
	I	II	III	IV
1	13,1	14,6	16,0	12,3	56,0	14,0
2	16,2	15,9	15,7	16,2	64,0	16,0
3	17,3	18,2	17,7	17,8	71,0	17,8
4	12,4	15,3	16,2	16,2	59,6	14,9
Сумма по повторениям (Р)	59,0	64,0	65,1	62,5	∑Х=250,6
Средняя по повторениям (р)	14,8	16,0	16,3	15,6	о=15,7

2-й этап:. Составляют вспомогательную расчётную таблицу отклонений поделяночных урожаев Х от среднего урожая по опыту _о (Х-_о), отклонений средних по вариантам от _о ( - _о) и средних по повторениям _р от _о (_р-_о). Находят суммы отклонений по вариантам ∑(-_о), повторениям ∑(_р-_о) и общую сумму отклонений ∑(Х-_о). При правильных вычислениях ∑(-_о)= ∑(_р-_о)= ∑(Х-_о). Затем все полученные отклонения возводят в квадрат, заносят в правую часть таблицы (таблицу квадратов отклонений) и подсчитывают суммы квадратов отклонений ∑(-_о)², ∑(_р-_о)² и ∑(-_о)².

Таблица отклонений и квадратов отклонений от _о

Вариант	Отклонения (Х-о)				Отклонения (-о)	Квадраты отклонений (Х-о)2				Квадраты отклонений (-о)2
	I	II	III	IV		I	II	III	IV
1	-2,6	-1,1	0,3	-3,4	-1,7	6,76	1,21	0,09	11,56	2,89
2	0,5	0,2	0,0	0,5	0,3	0,25	0,04	0,00	0,25	0,09
3	1,6	2,5	2,0	2,1	2,1	2,56	6,25	4,00	4,41	4,41
4	-3,3	-0,4	0,0	0,5	-0,8	10,89	0,16	0,00	0,25	0,64
(р-о)	-0,9	0,3	0,6	-0,1		0,81	0,09	0,36	0,01

3-й этап: Вычисляют суммы квадратов отклонений для разных видов варьирования.

а) Общее варьирование С_у характеризуется суммой квадратов отклонений поделяночных урожаев Х от среднего урожая по опыту _о:

б) Варьирование по повторениям равно сумме квадратов отклонений средних урожаев по повторениям _р от среднего по опыту _о, умноженной на число вариантов:

в)Варьирование по вариантам равно сумме квадратов отклонений средних урожаев по вариантам от среднего урожая по опыту _о, умноженной на повторность в опыте:

Случайное (остаточное) варьирование определяется по разности

4-й этап: Определяют степень влияния каждого из факторов в отдельности на изучаемый признак (урожай), принимая общее варьирование (дисперсию) за 1 или 100%:

влияние вариантов - (75%);

влияние повторений - (12%);

влияние случайных факторов - (13%).

Если на долю варьирования вариантов по сравнению с влиянием случайных ошибок приходится наибольший процент, как в данном примере, то расчёты нужно продолжить дальше и установить существенность влияния изучаемых факторов на урожай. Когда величина <, это значит, варьирование урожаев по вариантам в основном обусловлено влиянием случайных факторов. В этом случае расчёты можно не продолжать.

5-й этап: . Составляют таблицу дисперсионного анализа, в которую заносят значения различных видов варьирования, вычисляют степени свободы этих варьирований, дисперсию вариантов, дисперсию ошибок и отношение этих дисперсий, т.е. фактическое значение критерия Фишера F_факт

Число степеней свободы равно:

Для общей дисперсии (варьирования) – ;

для дисперсии повторений – ;

для дисперсии вариантов – ;

для остаточной дисперсии – .

Таблица дисперсионного анализа

Виды варьирования	Их значения	Степени свободы υ	Дисперсия S2 Ср. квадрат	Критерий Фишера
				Fфакт.	F05
Общее Су Повтор-й Ср Вариантов Ср Cлучайное Сz (остаточное)		υ = n ×ℓ - 1 υ = n – 1 υ = ℓ - 1 υ=(n-1)×(ℓ-1)	― ― S2v= Cv : υv S2z= Cz: υz	Fф= S2v: S2z	F05

Не все средние квадраты (дисперсии) представляют интерес для оценки результатов опыта. Наиболее важными из них являются дисперсии вариантов и ошибок . Первая характеризует варьирование урожаев. Равенство их проверяется по критерию:

дисперсия вариантов – = ;

дисперсия ошибок - = ;

значение критерия – = .

Теоретическое значение критерия для принятого уровня значимости (05 или 01) находят по прил. 3 и 4 при числе степеней свободы для дисперсии вариантов и дисперсии ошибок .

Заключение по критерию Фишера ( F )

По критерию устанавливают наличие в опыте вариантов, имеющих существенные разности урожаев. Наличие в опыте вариантов с существенной прибавкой или снижением урожая подтверждается, когда ≥ . Если < , то между средними по вариантам нет существенных различий, т.е. различия между вариантами находятся в пределах ошибки опыта или в опыте имеет место нулевая гипотеза – Н_о. В этом случае оценку частных различий (между средними по вариантам не проводят. При ≥ дают оценку существенности частных различий по критерию .

6-й этап: На этом этапе оценивают существенность разности (частных различий). Под частными различиями понимают разности между средними урожаями опытных вариантов и контролем, а также разности средних урожаев опытных вариантов между собой.

Количество этих разностей находят: d = ℓ×(ℓ - 1) : 2= 4×(4 – 1) : 2 = 6

d₁ = х₂ – х_к

d₂ = х₃ – х_к

d₃ = х₄ – х_к

d₄ = х₃ – х₂ Эти разности называются частными различиями

d₅ = х₄ – х₂

d₆ = х₄ – х₃

Чтобы доказать существенность этих различий, рассчитывают ещё три вида показателей:

1. Ошибка опыта в абсолютных величинах:

ц;

2. Ошибка разности средних:

ц

3. Наименьшая существенная разность для принятого уровня значимости 05:

ц,

Значение критерия находим по прил. 2 по числу степеней свободы для остаточной (случайной) дисперсии

Заключение. Разность между средними считается существенной, когда ≥ . Если < , разность несущественная, т.е. она не выходит за пределы ± и, следовательно, находится в пределах ошибки опыта. В данном примере при 5%-ом уровне значимости прибавки урожаев во втором и третьем вариантах существенны.

Урожайность в варианте с осенней плоскорезной обработкой почвы на 20-22 см (вариант 2) составила 16,0 ц/га, в варианте с осенней вспашкой на 20-22 см (контроль) – 14,0 ц/га. Разница () между урожайностями 2,0 ц/га и она превышает ₀₅=1,8 ц/га. Урожайность в варианте с осенней плоскорезной обработкой на 10-12 см (вариант 3) по сравнению с контролем выше на 3,8 ц/га, что тоже превышает ₀₅.