mcad_pract
.pdf
№
Варианты уравнений для Задания 2
вар
1 |
e−x = 0,5 + |
|
на интервале [0,1] |
x, |
2
x + 1 = cos(0,5( x + 1 )), на интервале [-1,1]
35x - 8 × ln x = 8; на интервале [1,6]
4 |
x - |
sin x |
- 1.5 = 0 , на интервале [1.5,2.5] |
||||||||
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
2 |
|
|
|
|
|
|
|
5 |
x+ln(x+0,5)-0,2=0, на интервале [0;2] |
||||||||||
6 |
|
2 sin |
2 |
x |
- |
3 cos |
2 |
x |
= 0; на интервале [0,π/2] |
||
|
|
|
|
||||||||
|
3 |
|
|
|
|
|
|||||
|
|
4 |
|
|
|
||||||
7x × 2x - 1 = 0, на интервале [0,1]
8(4 + x2 )(ex - e−x )= 18, на интервале [0,2]
9x2 -1,3×ln(x+0,5)-2,8x+0,15=0 на интервале [0,1]
10tgx-x=0, на интервале [4,4.7]
111,8( x - 0,7 )4 - sin 10x = 0, на интервале [0,0.5]
123x 2 - cos 2x - 1 = 0, на интервале [0,2]
13x=cos x+1, на интервале [0,2]
№
Варианты уравнений для Задания 4
вар
1y=5×x3-x+0.1 и y=x-cos(x)+1 на интервале [0,1], отметить на графике символом " "
2y=5×x3+10×x2+5×x и y=3×x-cos(2×x)+2 на интервале [-1,0.5], от-
метить на графике символом ""
3y=x3-8×x2+20 и y=1.8×(x-0.7)4-sin(10×x) на интервале [-1, 2],
отметить на графике символом "◊ "
4y=×x3-10×x2+x+100 и y=sin(x)-x на интервале [-4,5], отметить на графике символом "+".
5y=x3+12×(x-1)2-2×x-4 и y=x2-1.3×ln(x+0.5)-2.8×x+0.15 на интер-
вале [0,2], отметить на графике символом "x"
6y=2×x3+4×x2-0.5 и y=(4+2×x2)×(e2x+e-x)-18 на интервале [-2,1],
отметить на графике символом "+"
7y=sin(5×x3)-x+0.5 и y=x-cos(x/2)+1.1 на интервале [0,0.6], от-
метить на графике символом " "
70
№ |
Варианты уравнений для Задания 4 |
|||
вар |
||||
|
|
|
||
8 |
y = cos( x ) - x 2 + 5 и y = x3 - x + 5 на интервале [-1, 1], от- |
|||
|
метить на графике символом " " |
|||
9 |
y = x4 + 2x3 - 4x2 - 3x - 0.5 и y=x+ln(x+0,5)-0,2 на интерва- |
|||
|
ле [0; 2], отметить на графике символом "◊ " |
|||
10 |
y = x4 - 4,1x 3 + x 2 + 4,1 и y = 15x 2 - |
sin x |
- 1.5 на интер- |
|
|
||||
|
|
|||
|
2 |
|
||
|
вале [-1,1], отметить на графике символом "+" |
|||
11 |
y = x4 + 0,8x3 - 0,4x2 - 1,3x - 1,2 и y = 3x4 - 8 × ln x - 8; на |
|||
интервале [0.1; 2], отметить на графике символом " "
12 |
y = |
|
- cos(0,5( x + 1 )), и y = x4 + 2x3 - x на интервале |
x + 1 |
[-1,1], отметить на графике символом " "
13y=10cos(-x)-0.5 и y=x3-x+3 интервале [-2,2], отметить на графике символом " "
Контрольные вопросы
1.Понятие уравнения. Типы уравнений. Понятие корня уравнения, геометрический смысл корня.
2.Методы решения уравнений: аналитический (точный), численный (приближенный).
3.Этапы решения уравнения численными методами. Назначение каждого этапа.
4.Теорема, на которой основан этап отделения корня. Способы отделения корней: табличный, графический.
5.Понятие уточнения корня. Уточнение корня с использованием функции root.
6.Понятие точности решения уравнения. Системная переменная, содержащая точность вычисления. Порядок решения уравнения с разной точностью. Форматирование результата вычисления: отображение разного количества знаков после десятичной точки.
7.Запись системы линейных алгебраических уравнений (СЛАУ) в алгебраическом виде. Запись СЛАУ в матричном виде.
8.Понятие решения системы уравнений. Решение СЛАУ матричным способом
9.Решение СЛАУ с несколькими вариантами правых частей.
71
10.Занесение решения в вектор; в отдельные переменные.
11.Проверка решения.
Тема 11
Решение систем уравнений с использованием блока Given – Find
Цель работы - научить студента применять блок Given – Find для решения систем линейных алгебраических уравнений и систем нелинейных уравнений и неравенств.
ЗАДАНИЯ
ЗАДАНИЕ 1 Решение систем линейных алгебраических уравнений с использованием блока
1.1 Решить систему линейных уравне- |
x1 − 3x2 − x3 − x4 = −6 |
|
ний, используя блок уравнений и функ- |
|
|
4x1 + 5x2 + x3 − 2x4 = 5 |
||
цию find. Сохранить решение |
|
x2 − 4x3 + 2x4 = −5 |
a) в векторе R; |
|
|
|
x1 − x2 + 2x4 = 1 |
|
|
|
|
b) в переменных х1, х2, х3, х4.
1.2 Выполнить проверку решения подстановкой найденных неизвестных в первое уравнение.
1.3 Сравнить с решением из предыдущей лабораторной работы.
Решение систем нелинейных уравнений и неравенств (по вариантам)
Вариант 1
ЗАДАНИЕ 1 Решение системы нелинейных уравнений
sin x = 2y − 1 |
5y = x − 1 |
|
||||||
а) |
3 |
= |
π |
−1 |
б)* |
2 |
− sin x |
= 0 |
x − y |
|
2 |
y |
|
||||
|
|
|
|
Ответы: |
|
|
||
1.1 Решить системы уравнений, |
определяя начальное значение |
|||||||
графическим способом на интервале [0,π]. Проверить найденное |
||||||||
решение подстановкой в исходную систему и отобразить на графике.
Ответ: x=1.571 y=1 |
1) x=0.037, y=-0.193, |
|
|
|
2) x=2.984, y=0.397 |
72
ЗАДАНИЕ 2 Решение системы уравнений и неравенств
2.1 Решить системы уравнений и неравенств, определяя начальное значение графическим способом на интервале [0, 2π]. Проверить найденное решение подстановкой в исходную систему.
|
2 |
= 2y |
|
2 |
= |
40 |
− e |
x |
|
( x - 2 ) |
4y |
|
|
||||||
а) |
y |
= sin x |
б)* |
4y |
= x 2 |
|
|||
|
|
||||||||
x |
+ y > 3 |
|
|
|
y < x |
|
|
||
x |
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x=2.98, y=0.48
Ответ: x=2.993, y=2.239
Вариант 2
ЗАДАНИЕ 1 Решение системы нелинейных уравнений
1.1 Решить системы уравнений, определяя начальное значение графическим способом на интервале [0, π]. Проверить найденное решение подстановкой в исходную систему.
|
2 |
x |
|
|
|
y |
|
||||
а) sin |
|
|
|
+ y |
= 2 |
б)* |
|
= x |
|
||
|
|
3 |
sin x |
|
|||||||
|
|
2 |
x + y |
2 |
= 4 |
|
= ( x - |
2 |
|||
cos |
|
|
2y |
2 ) |
|||||||
Ответ: |
|
|
|
|
|
|
Ответы: |
|
|||
x=0.926, y=1.908 |
1) x=0.859, y=0.651, |
||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2) x=2.98, y=0.48 |
||||
ЗАДАНИЕ 2 Решение системы уравнений и неравенств
2.1 Решить системы уравнений и неравенств, определяя начальное значение графическим способом на интервале [0, π]. Проверить найденное решение подстановкой в исходную систему.
|
|
y2 = 4 |
× |
|
sin x |
|
|
tg y = x + 1.5 |
|
|
|
|
|||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
б)* 4y |
= ( x − 3 )2 |
|
|
|
|
|
|
||||
|
y + 1 = ln( x + 4 ) |
|
+ y2 < 32 |
||||||
|
|
2y |
< x |
x2 |
|||||
|
|
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: х=0.84, y=1.167 |
||
Ответ: x=2.921, y=0.935 |
|||||||||
73
Вариант 3
ЗАДАНИЕ 1 Решение системы нелинейных уравнений
1.1 Решить системы уравнений, определяя начальное значение графическим способом на интервале [0,2π]. Проверить найденное решение подстановкой в исходную систему уравнений.
|
|
−x |
+ y |
2 |
= 3 |
y - x = 5 × |
|
sin 2x |
|
||||
|
|
|
|||||||||||
а) |
2 |
|
|
б)* |
|
2 |
|
|
|
x |
|
||
|
|
x |
+ y = 2 |
|
|||||||||
10cos( y − 0.5 ) = x |
|
|
|
|
|||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x=3.555, y=1.707 |
Ответы: |
|
1) x=5.151, y=8.993 |
||
|
||
|
2) x=0.097, y=1.06 |
ЗАДАНИЕ 2 Решение системы уравнений и неравенств
2.1 Решить системы уравнений и неравенств, определяя начальное значение графическим способом на интервале [0, 2π]. Проверить найденное решение подстановкой в исходную систему.
|
y 2 |
< x 3 + 1 |
y - |
|
cos3 x |
|
= 0 |
|||
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
б)* 10 |
|
|
|
|
|
а) |
x 2 + 1 = |
10x |
|
|
y = x + 1 |
|||||
y |
||||||||||
|
|
|
|
|||||||
|
y − 2 |
= tg0.2x |
2 y + 3x < 5 |
|||||||
|
|
|
|
|
|
|||||
Ответ: x=3.299, |
Ответ: x=0.867, y=0.271 |
|||||||||
y=2.776 |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Вариант 4
ЗАДАНИЕ 1 Решение системы нелинейных уравнений
1.1 Решить системы уравнений, определяя начальное значение графическим способом на интервале [0,2π]. Проверить найденное решение подстановкой в исходную систему.
y − |
|
x 2 − 20 |
|
= 0 |
y 2 |
− |
2x 3 − 45 |
= 0 |
|||||
|
|
||||||||||||
а) |
|
|
|
|
|
|
|
б)* |
|
|
|
|
|
|
y |
= x |
|
y |
= ln(2x) |
||||||||
tg |
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
15 |
|
|
|
||||||||||
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|||||
Ответ: x=1.914, y=16.338 |
Ответ: x=2.458, y=3.913 |
|
74
ЗАДАНИЕ 2 Решение системы уравнений и неравенств
2.1 Решить системы уравнений и неравенств, определяя начальное значение графическим способом на интервале [0, 2p]. Проверить найденное решение подстановкой в исходную систему.
cos(x 2 + π ) = y −1 |
|
|
5x |
= x 2 + 2 |
||||
|
|
|
||||||
|
2 |
|
|
|
y |
|||
|
y |
|
|
|
||||
а) |
sin x = |
|
б)* |
20 y - x2 = 21 |
||||
|
||||||||
|
|
x |
|
|
|
|
||
|
x + y < 3 |
y - 0.5 > ln(x +1) |
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Ответ: x=0.472, y=1.061
Ответ: x=0.732, y=0.489
Вариант 5
ЗАДАНИЕ 1 Решение системы нелинейных уравнений
1.1 Решить системы уравнений, определяя начальное значение графическим способом на интервале [0,p]. Проверить найденное решение подстановкой в исходную систему.
|
(x - 3) |
4 |
|
|
|
а) 3y = |
|
|
3 |
|
2 y = 3x × cos 2x
Ответ: x=2.359, y=0.019
|
|
x |
|
б)* |
y × tg( |
|
) = x |
3 |
|||
y × lg(x + 2) = x -1
Ответ: x=2.486, y=2.28
ЗАДАНИЕ 2 Решение системы уравнений и неравенств
2.1 Решить системы уравнений и неравенств, определяя начальное значение графическим способом на интервале [0, 2p]. Проверить найденное решение подстановкой в исходную систему.
0.5 y = sin(x + π ) |
|||||
|
|
|
3 |
||
а) |
1 + y = 3 |
|
|||
x + 1 |
|
||||
|
|
x |
2 |
|
|
|
y + 1 > |
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
4 |
|
|
||
Ответ: x=1.881, y=0.423
2 y = e x −3 + e3− x |
||||
|
|
y |
|
|
б)* |
tg |
= x |
|
|
|
|
|||
|
2 |
|
< 8 |
|
|
y( x + 1) |
|||
|
|
|
|
|
Ответ: x=1.653, y=2.053
75
Вариант 6
ЗАДАНИЕ 1 Решение системы нелинейных уравнений
1.1 Решить системы уравнений, определяя начальное значение графическим способом на интервале [0,2π]. Проверить найденное решение подстановкой в исходную систему.
|
|
|
-2x2 |
|
|
|
x |
π ) |
||||||
|
y - 5 = 3 × e |
|
|
|
y × e |
|
|
|
= 3sin( |
x |
- |
|||
а) |
|
x |
100 |
|||||||||||
|
|
|||||||||||||
|
|
|
|
б)* |
|
|
2 |
|
6 |
|||||
|
x - 2 |
= y × cos |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
|
|
|
5 |
x = lg(x + 2) |
|
|||||||||
|
|
|
||||||||||||
|
|
|
5 |
|
y - |
|
|
|
||||||
Ответ: x=4.837, y=5 |
Ответы: |
|
|
|
|
|
|
|||||||
1)x=2.401, y=1.835
2)x=5.469, y=2
ЗАДАНИЕ 2 Решение системы уравнений и неравенств
2.1 Решить системы уравнений и неравенств, определяя начальное значение графическим способом на интервале [0, 2π]. Проверить найденное решение подстановкой в исходную систему.
|
y - ln(x + |
|
|
|
|
|
arccos 0.5 y = 0.25x -1 |
|||||||||||||
|
x 2 |
+1) = 0 |
||||||||||||||||||
|
|
|
|
|
|
|
2 |
3 |
|
|
2 |
|
|
y |
2 |
|
|
|||
а) |
|
2 |
|
|
2 |
|
|
|
б)* x |
|
+ |
|
|
|
|
> 1 |
||||
2 |
|
+ (x - 3.5) |
|
= |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
y |
49 |
|
|
|
7 |
|
|
||||||
|
x |
+ y < 4 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
3 |
|
|
= y -1.5 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
sin |
|
x |
|
|
||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||||||||
Ответ: x=0.747, y=0.691 |
Ответ: x=2.486, y=2.278 |
|||||||||||||||||||
76
Задание для самостоятельной работы |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
В тетради для лабораторных работ написать последовательность |
||||||||||||||
выполнения действий: |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|||||
1. |
Решить систему уравнений |
3 |
3 |
|
|
|
|
|
|
|||||
и неравенств, определяя на- |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
чальное значение графическим |
f (x) |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
способом на интервале [0, 2π]. |
g(x) |
0 |
|
|
|
|
|
|
||||||
n1(x) |
|
|
|
|
|
|
||||||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
Проверить найденное решение |
n2(x) |
1 |
|
|
|
|
|
|
||||||
подстановкой в исходную сис- |
|
2 |
|
|
|
|
|
|
||||||
|
tg y = x + 1.5 |
− 3 |
3 0 |
1 |
2 |
3 |
4 |
5 |
6 |
|||||
тему. 4y |
= ( x |
− 3 )2 |
|
0 |
|
|
x |
|
|
6.2 |
||||
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
2 |
+ y |
2 |
< 3 |
2 |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
x |
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
|
||
Задания для закрепления материала |
|
|
|
|
|
|
|
|||||||
Найти площадь треугольника, ограниченного прямыми: 2y-x=0, 2x+y-8=0 и y=1, выполняя действия.
1.Построить в одном графическом блоке графики трех функций на интервале х [0,5];
2.Выполняя решение системы уравнений через блок givenfind, найти координаты точек пересечения прямых. Занести найденные координаты в переменные x1, y1; x2, y2; x3, y3.
3.Найти длины сторон по формуле 
(x2 − x1)2 + (y2 − y1)2
4. Найти площадь треугольника по формуле Герона 
p(p − a)(p − b)(p − c)
5.*Построить треугольник двумя способами:
a)задавая для каждой из функций нужный интервал;
b)формируя векторы координат вершин X и Y.
Контрольные вопросы
1.Этапы решения системы нелинейных уравнений и нера-
венств.
2.Отделение корней графическим способом
a.для системы с двумя неизвестными;
b.системы, содержащей неравенство.
3.Уточнение корней с использованием блока given-find.
4.Занесение решения в вектор. Проверка решения.
77
5.Занесение решения в отдельные переменные. Проверка
решения.
6.Порядок нахождения нескольких решений системы
Образец контрольной работы по теме "Решение нелинейного уравнения. Решение СЛАУ. Решение системы нелинейных уравнений с двумя неизвестными, со-
держащей неравенство"
1)Решить с точностью e = 0,00001 уравнение ex = x3 − 3 :
a)отделить корни табличным способом на интервале [0, 2×p],
b)показать в корнях пять знаков после десятичной точки,
c)проверить найденное решение подстановкой в исходное уравнение,
d)для контроля отделения корней и подсчета их количества построить на этом же интервале график функции.
2)Решить систему линейных алгебраических уравнений:
a)матричным способом, записывая решение в вектор Х и проверяя найденное решение подстановкой неизвестных в первое уравнение,
b)блочным способом, записывая решение в переменные х1, х2, х3 и проверяя найденное решение подстановкой неизвестных во второе уравнение.
3)Решить систему нелинейных уравнений и неравенств.
a)начальные значения найти графическим способом на [0, 2.8],
b)решение записать в переменные,
c)проверить решение подстановкой переменных во все уравнения и неравенство.
|
|
|
x1 + x3 = 3 |
|||
|
|
|
|
|
|
|
− 2x1 + x 2 + 3x3 = 3 |
||||||
|
6x1 − 2x 2 = 4 |
|||||
|
||||||
|
tg |
|
x |
+ y = 2 |
||
|
|
|
|
|||
2 |
||||||
|
|
|
||||
2 cos x + 3y = 2 |
||||||
|
x |
2 |
+ y < 7 |
|||
|
|
|
||||
|
|
|
|
|
|
|
78
Тема 12 Использование производных при исследовании функций
Определенный интеграл
Цель работы – обучение использованию производных для исследования функций и определенного интеграла при решении прикладных задач, закрепление навыков решения нелинейных уравнений и систем нелинейных уравнений.
ЗАДАНИЯ
ЗАДАНИЕ 1 Вычисление первой и второй производной
1.1 Для |
заданного вы- |
|
Вариант – 1 |
|
Вариант – 2 |
||
ражения |
определить |
|
|
|
|
|
|
|
x3 − 10x2 |
|
|
− 0.5x3 + 5x 2 |
|
||
функцию |
f(x), функцию |
|
+ 20 |
|
− 10 |
||
первой производной f1(x) |
|
3 |
2 |
||||
|
|
|
|
||||
и функцию второй произ- |
|
|
|
|
|
|
|
водной f2(x). |
|
|
|
|
|
|
|
1.2 Найти значение функции, ее первой и второй производной в точке x = -3.
1.3 Найти значения первой производной функции f(x) для аргумента, принимающего значения: -1; -0,5; 0; 0,5; 1; 1,5; 2. Аргумент задать как дискретную переменную.
1.4 Найти значения второй производной функции f(x) для аргумента, принимающего значения: -5; 3; 8; -1; 4. Аргумент задать в виде вектора.
ЗАДАНИЕ 2 Вычисление точек экстремума
Найти две точки экстремума функции f(x) в следующем порядке:
2.1Построить график функции первой производной f1 на отрез-
ке [-3, 10].
2.2Найти точки экстремума, решая уравнение f ’(x)=0 на интер-
вале [-3,10], определяя значения двух корней ex1 и ex2.
2.3Найти значение второй производной в точках экстремума (ex1 и ex2) и, проанализировав знак, записать тип экстремума в комментариях.
2.4Скопировать график функции первой производной, добавить
вграфический блок график функции f и отметить на графике исходной функции найденные экстремумы маркером "+".
79