mcad_pract

2. Записать последовательность действия для вычисления значения таблично заданной функции для a) x=2.4, z=6, б) x=4, z=5

Задания для закрепления материала

Согласно ГОСТ8732-78, допустимый диапазон толщины трубы из стали 20 зависит от диаметра и определяется по таблице:

1.Определить для труб диаметром 70 мм и 105 мм минимальную и максимальную толщину. Использовать при решении задачи три вектора D, Tmin, Tmax. Для каждого указанного значения диаметра выполнять интерполяцию дважды для получения двух толщин.

2.При фигурной резке торцов труб в их соединениях газоре-

Определить величину поправки для а) δ=4 мм, α=20о, б) δ=7 мм, α=245о, в) δ=9 мм, α=30о, г) δ=5 мм, α=22о.

Контрольные вопросы

1.В чем состоит задача приближения функций?Какие существуют два подхода к решению задачи приближения функций? На чем они базируются?

2.В чем суть линейной одномерной интерполяции?

90

3.Какая получается приближающая функция при линейной одномерной интерполяции? Находятся ли численно значения коэффициентов приближающей функции?

4.Какой функцией в MathCAD реализуется линейная одномерная интерполяция? Что является ее параметрами? Какие ограничения на них накладываются?

5.Какую последовательность действий необходимо выполнить в MathCAD, чтобы получить результат с помощью линейной одномерной интерполяции?

6.Какие действия дополнительно необходимо выполнить, чтобы представить результаты линейной одномерной интерполяции в графическом виде?

7.Постановка задачи интерполяции по таблице. В чем ее отличие от линейной одномерной интерполяции?

8.Какую последовательность действий необходимо выполнить в MathCAD, чтобы получить результат с помощью интерполяции по таблице, если один из аргументов совпадает с табличным, расположенным в строке (в столбце)?

9.Какую последовательность действий необходимо выполнить в MathCAD, чтобы получить результат с помощью интерполяции по таблице, если оба аргумента не совпадают с узловыми значениями?

Тема 14 Аппроксимация

ЗАДАНИЕ 1 Линейная аппроксимация

Между гибкостью λ и коэффициентом f продольного изгиба центрально-сжатых элементов из стали с расчетным сопротивлением Ry=200 Па имеется табличная зависимость вида (табл. 72 СНИП II-23-81*"Стальные конструкции"):

Для табличных данных λ, f найти линейную зависимость вида f(λ)=a·λ+b, выполняя следующие действия:

1.1Найти коэффициенты линейной аппроксимации в системе

MathCAD, используя функции slope и intercept.

1.2Задать линейную функцию. Используя функцию, вычислить коэффициенты продольного изгиба f1 и f2 центрально-сжатых

элементов с гибкостью λ1=34 и λ2=86. Ответ: 0.919; 0.683.

91

1.3Вычислить критерий линейной аппроксимации, используя оператор суммирования (Σ).

1.4Вычислить коэффициент

достоверности аппроксимации

ˆ

– табличные значения, Yi - зна-

чения приближающей функции в узловых точках.

1.5 Отобразить на графике: исходные вектора f и λ (в виде отдельных точек), линейную функцию, точки с координатами (λ1, f1), (λ2, f2), отклонения узловых точек от приближающей функции (символ форматирования "error").

ЗАДАНИЕ 2 Квадратичная аппроксимация полиномом

Для исходных данных из предыдущего задания найти квадратичную зависимость вида a·x2+bх+с, выполняя следующие действия:

2.1Найти коэффициенты квадратичной аппроксимации в системе MathCAD, используя функцию regress.

2.2Используя функцию interp, вычислить коэффициенты продольного изгиба f1 и f2 цен- трально-сжатых элементов с

гибкостью λ1=34 и λ2=86. От-

вет: 0.928; 0.692.

2.3Задать функцию зависимости f от λ.

2.4Отобразить на графике: исходные вектора f и λ, квадратичную функцию и точки с координатами (λ1, f1), (λ2, f2), отклонения узловых точек от приближающей функции.

2.5Вычислить критерий квадратичной аппроксимации. Вычислить коэффициент достоверности аппроксимации R2.

92

ЗАДАНИЕ 3 Подбор функции

Прогиб изогнутой оси консоли представлен табличной функцией

3.1Используя аппроксимацию, подобрать наилучшую функциональную зависимость, проанализировав следующие зависимости:

a)экспоненциальную,

b)степенную,

c)полиномиальную степени 4.

3.2Вычислить значения прогиба при х=3

3.3Отобразить на графике: исходные вектора x и y, наилучшую функциональную зависимость и найденную точку.

ЗАДАНИЕ 4 Задание для самостоятельной работы

В тетради для лабораторных работ выполнить задания.

1. Записать последовательность действия для вычисления значения таблично заданной функции для аргументов 2.4, 7, 4.5 при аппроксимации линейной зависимостью. Вычислить критерий методом наименьших квадратов.

2. Записать последовательность действия для вычисления значения таблично заданной функции из предыдущего пункта задания для аргументов 2.4, 7, 4.5 при аппроксимации экспоненциальной зависимостью. Вычислить критерий методом наименьших квадратов.

3. Для задания 3 дополнительно исследовать функциональные зависимости:

a) полиномиальную степени 2, b) синусоиды,

c) две логарифмические.

Контрольные вопросы

1.Когда используется аппроксимация в задаче приближения функций?

2.В чем отличие линейной одномерной интерполяции от линейной аппроксимации?

93

3.Находятся ли численно значения коэффициентов приближающей функции при аппроксимации?

4.В чем заключается критерий наименьших квадратов?

5.Общий подход к нахождению коэффициентов приближающей функции методом наименьших квадратов

6.Как по критерию наименьших квадратов найти наилучшую зависимость?

7.Как вычисляется R2? В чем отличие критерия R2 от критерия наименьших квадратов?

8.Какими функциями в MathCAD реализуется линейная аппроксимация? Что является ее параметрами? Какие ограничения на них накладываются?

9.Какую последовательность действий необходимо выполнить в MathCAD, чтобы получить результат с помощью линейной аппроксимации?

10.Какие действия дополнительно необходимо выполнить, чтобы представить результаты линейной аппроксимации в графическом виде?

11.Использование функции regress для аппроксимации полиномом? Как обратиться к этой функции? Какие параметры и в каком виде она выдает? Как использовать эти параметры для нахождения значения функции?

12.Назначение и использование функции interp?

13.Какой функцией находятся коэффициенты, если приближающая функция является экспоненциальной? Как обратиться к такой функции для получения коэффициентов? Как обратиться к такой функции для получения значения?

14.Какой функцией находятся коэффициенты, если приближающая функция является степенной? Как обратиться к такой функции для получения коэффициентов? Как обратиться к такой функции для получения значения?

15.Какой функцией находятся коэффициенты, если приближающая функция имеет вид синусоиды? Как обратиться к такой функции для получения коэффициентов? Как обратиться к такой функции для получения значения?

16.Какой функцией находятся коэффициенты, если приближающая функция является логарифмической? Как обратиться к такой функции для получения коэффициентов? Как обратиться к такой функции для получения значения?

17.Какой функцией находятся коэффициенты, если приближающая функция является двухпараметрической логариф-

94

мической? Как обратиться к такой функции для получения коэффициентов? Как обратиться к такой функции для получения значения?

Образец контрольной работы по теме "Приближение функций"

ЗАДАНИЕ 1 Линейная интерполяция

Имеется зависимость между двумя величинами:

TzI для Dz= 500.

Замечание: Значения D и T можно прочитать из файлов заданий.

ЗАДАНИЕ 2 Приближение с использованием аппроксимации

2.1 Используя аппроксимацию, определить, какая из функций – линейная, квадратичная, экспоненциальная или логарифмическая наилучшим образом описывает зависимость из задания 1. Используя наиболее подходящую функцию, вычислить значение TzA для Dz= 500. На графике отобразить: исходную зависимость черными точками, наилучшую аппроксимирующую функцию сплошной линией синего цвета, значения интерполяции (из задания 1) символом "+" красного цвета.

Указания к выполнению:

a)Найти линейную аппроксимирующую функцию.

b)Определить критерий линейной аппроксимации по методу наименьших квадратов.

c)Найти квадратичную аппроксимирующую функцию.

d)Определить критерий квадратичной аппроксимации по методу наименьших квадратов.

e)Найти экспоненциальную аппроксимирующую функцию.

f)Определить критерий экспоненциальной аппроксимации по методу наименьших квадратов.

g)Найти логарифмическую аппроксимирующую функцию.

h)Определить критерий логарифмической аппроксимации по методу наименьших квадратов.

i)Анализируя критерии, выбрать наиболее подходящую аппроксимирующую функцию.

j)Подставить заданные значения в наиболее подходящую аппроксимирующую функцию.

95

k) Построить график исходной зависимости и выбранной функциональной зависимости. Нанести на график вычисленные значения.

ЗАДАНИЕ 3 Линейная интерполяция по двумерной таблице

Ниже приведен фрагмент таблицы из СНиП "Нагрузки и воздействия".

Цель работы - научить студента выполнять символьные вычисления и применять их для решения математических и геометрических задач.

ЗАДАНИЯ

ЗАДАНИЕ 1 Символьные вычисления в математике

1.1Используя символьные вычисления, раскрыть скобки в вы-

ражении (x2+x+1)(x2+2)+x

1.2Решить аналитически уравнение:

a)log22x+log2x-2=0 (использовать функцию log(x,основание логарифма))

b)9×8x-18×4x-2×2x+4=0

1.3Решить аналитически системы уравнений:

1.4 Найти в символьном виде первую и вторую производные функций:

96

1.5Найти в символьном виде экстремумы функции f(x)=3x4- x2+8, решая уравнение f'(x)=0. Определить тип экстремумов (минимум или максимум), подставляя точки экстремумов во вторую производную.

1.6Найти в символьном виде точки перегиба функции из задания 5, решая уравнение f"(x)=0.

1.7Отобразить на графике функцию и отметить точки экстремумов и перегибов маркерами.

ЗАДАНИЕ 2 Вычисление инерционных и геометрических характеристик плоских фигур

2.1Для заданной фигуры найти следующие характеристики в аналитическом виде:

a)площадь,

b)статические моменты относительно осей,

c)координаты центра тяжести,

d)моменты инерции относительно осей,

e)момент инерции относительно начала координат.

2.2Задать функции инерционных и геометрических характеристик, используя полученные аналитические выражения.

2.3Задать числовые значения параметрам фигуры.

2.4Определить числовые значения инерционных и геометрических характеристик, подставляя заданные значения в функции.

97

5. Вычислить первую и вторую производные функции:

ln( x 2 + 8 ) . x 3 − 6x

6.Вычислить простой и двойной интеграл.

Задания для закрепления материала

1.Для фигуры из задания 2:

a)в первом графическом блоке построить фигуру, заштриховать (символ форматирования – error),

b)отобразить на графике точку центра тяжести символом

"х".

2.Присвоить параметрам фигуры второй вариант числовых значений.

3.Вычислить инерционные и геометрические характеристики, подставляя новые значения в функции.

4.Отобразить фигуру во втором графическом блоке.

5.Отобразить на графике точку центра тяжести.

Контрольные вопросы

1.Решение уравнений в символьном виде.

2.Вычислений производных и интегралов в символьном виде.

3.Упрощение выражений в символьном виде.

4.Исследование функций с использованием символьных вычислений.

5.Вычисление геометрических и инерционных характеристик с использованием символьных вычислений.

99