Динамический хаос (ИПИС, ФКС)
.pdf
Определим, какими динамическими переменными описывается наша система, и каким уравнениям она подчиняется.
Электрическое поле в резонаторе представим в виде
E(r,t) E(t)e(r) cos( 0t) , |
(115) |
где E(t) – медленно меняющаяся амплитуда поля, e(r) – характеризует распределение поля в пространстве. Тогда разумно предположить, что вектор поляризации активной среды, т.е. дипольный момент единицы объёма, характеризуется таким же пространственным распределением, как и электрическое поле, и может быть представлен в виде
P(r,t) P(t)e(r) cos( 0t) . (116)
Помимо величин E(t) и P(t) состояние нашей физической системы задаётся ещё одной величиной – инверсией
D(t) N2 N1 , |
(117) |
характеризующей мгновенную разность населённостей уровней. Здесь N1 и N2 – число атомов, находящихся в данный момент времени, соответственно, на нижнем и верхнем энергетическом уровне.
Теперь |
составим систему уравнений для |
величин E , |
P и |
D . Выпишем сначала уравнение |
возбуждения |
резонатора. В этом уравнении в левой части будет стоять производная от амплитуды поля E , а в правой части – член, пропорциональный поляризации P , отвечающий за возбуждение поля атомами среды, и член ( E), описывающий потери энергии колебаний поля:
|
|
E E P , |
(118) |
где – параметр потерь, – некоторая постоянная, характеризующая возбуждение поля атомами среды.
Второе уравнение, имеющее в левой части производную P , описывает изменение поляризации активной среды. В правой части этого уравнения будет присутствовать релаксационный член ( P) и член, пропорциональный произведению ED , происхождение которого можно объяснить следующим образом. Дипольный момент, который приобретает каждый атом активной среды в присутствии электрического поля, пропорционален величине этого поля и зависит от того, на каком энергетическом уровне находился атом. Поэтому средний вклад в поляризацию будет пропорционален произведению
амплитуды поля E и разности населённостей |
D . Таким |
образом, второе уравнение имеет вид |
|
|
|
P P cED , |
(119) |
где и c – постоянные.
Третье уравнение описывает изменение инверсии населённостей и имеет вид
D A D k EP ,
или
D (D0 D) k EP ,
где – параметр релаксации населённостей, A и D0 – параметры, характеризующие интенсивность накачки. Последнее слагаемое в (120) соответствует мощности, которую тратит поле на поляризацию среды (эта мощность может быть как положительной, так и отрицательной).
В результате
D
E E P
P P cED
(D0 D) k EP
Выполняя в уравнениях (118)-(120) замену переменных и параметров
|
|
|
|
|
|
E |
kc x , |
P |
kc y , D |
c |
(r z) , (121) |
b |
|
|
|
, r |
cD0 |
|
, |
|
|
, (122) |
вновь получаем систему уравнений Лоренца (110)
|
|
x y |
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y r x y xz . |
|||
|
|
|
|
|
|
||
z bz x y |
|||
|
|||
|
|
|
|
Таким образом, теперь в |
нашей |
задаче переменная |
|
x отвечает амплитуде поля, |
y |
– поляризации, z – |
|
инверсии населённостей, |
а |
интенсивность накачки |
|
D0 теперь играет ту же роль, |
какую в гидродинамической |
||
системе играло число Рэлея. |
|
|
|
Диссипативный осциллятор с инерционной нелинейностью
Запишем систему уравнений Лоренца
|
|
x y |
|
x |
|||
|
|
|
|
|
|
|
|
y r x y xz . |
|||
|
|
|
|
|
|
||
z bz x y |
|||
|
|||
|
|
|
|
Покажем, что эта система уравнений может описывать поведение нелинейного диссипативного осциллятора с инерционным возбуждением (Неймарк, Ланда, 1987).
Для этого введём вместо z новую переменную u
z |
u x2 |
|
2 . |
(123) |
Подставим это выражение в третье уравнение системы Лоренца, получим
u 2x x b u x2 x y ,
2 2
u 2x x b(u x2 ) 2 x y .