OMI-3

ставати синтетичним, передбачаючи єдність експериментально­ го, системного, інформаційного, імовірнісного підходів при вирі­ шенні проблем.

Слід зазначити, що модель є не остаточним результатом до­ слідження, а лише відправною точкою для аналізу поведінки з ме­ тою одержання знань про об'єкт або явище, що моделюється. При цьому головна цінність моделі полягає в тім, що на ній можна екс­ периментувати так, як цього не можна зробити на об'єкті, що мо­ делюється. У медичній інформатиці такі експерименти здійсню­ ються, насамперед, з машинними моделями, представленими у формальній математичній формі і введеними у вигляді задачі, що підлягає рішенню на комп'ютері.

1.10. Математичне моделювання

Поняття моделі в біології і медицині використовується у тісно­ му зв'язку з поняттям моделювання. Моделювання означає іміту­ вання існуючої системи на основі побудови, вивчення і перетво­ рення моделей (уявних або матеріальних), в яких відтворюються принципи організації і функціонування цієї системи. Моделювання тут розуміється досить широко - як метод пізнання, що викорис­ товується не тільки для дослідження живої системи в якості моде­ лі, але й для її зміни (перетворення) з метою наступної діяльності.

Одним з найбільш важливих і ефективних аспектів системно­ го аналізу вважається метод математичного моделювання. Метод моделювання є природним етапом процесу мислення людиною. Так, наприклад, Н.М. Амосов вважає, що могутньої моделюючою системою є сам мозок, що створює свої моделі за допомогою клітинних структур, які формуються в процесі навчання і самоорга­ нізації. Математичне моделювання дозволяє без значних матері­ альних витрат досліджувати поведінку біологічних систем у таких умовах, що складно відтворити в умовах експерименту або клініки, прогнозувати деякі нові явища, скоротити час дослідження і забез­ печити оптимальну методику для лікування захворювань.

Законно поставити питання: яка пізнавальна і перетворюваль­ на функція медико-біологічного моделювання? По-перше, модемювання як метод пізнання представляється у вигляді розгорнутої

71

у часі імітації: вивчення стану людського організму (норма, пато­ логія); формування і дослідження моделі; екстраполяція встанов­ лених властивостей моделі на її оригіналах. По-друге, з допомо­ гою даного методу імітується стан організму шляхом проведення дослідів на біологічних об'єктах. Думка лікаря при цьому фіксує особисті припущення і дані математичних розрахунків, приладів, в тому числі комп'ютерів. Процес дослідження живого об'єкта моделює, тобто якби уявно "прокручує", весь сюжет складної діа­ гностичної і лікувальної роботи в цілому. По-третє, моделювання може застосовуватися у вигляді популяційно-статистичного спо­ собу імітації поведінки біосистем. Суть вказаного полягає в тому, що результати набувають статистичного характеру в досить ши­ роких межах, а саме внаслідок цього одиницею біологічного до­ слідження (в генетиці, екології, мікробіології) стає не окремим ор­ ганізмом (індивідуум) як носій більше чи менше стабільних ознак, а популяція (група осіб), яка представляє ймовірну можливість їх проявлення. В області медицини це положення стало чітко усві­ домлюватись при введенні "польових" досліджень в епідеміоло­ гії неінфекційних захворювань (гіпертонічна хвороба, ендокринні розлади, патологія зубощелепної області і т.д.).

Виділення в масі медико-біологічних явищ однорідних власти­ востей, які допускають кількісний аналіз, привело до використан­ ня понятійного апарату математики, фізики, хімії. Такі поняття, як фазовий портрет системи, симетрія взаємодії, біологічні перемі­ ни, санітарна статистика і ряд інших, надійно "прописались" у ме­ дичній науці. На цьому шляху перетворень деякі розділи медици­ ни все в більшій мірі рухаються до побудови імітаційних моделей людських популяції і багаточисельних популяцій мікроорганізмів.

Відповідно, дійсний зміст моделі і моделювання проясняється не тільки при їх термінологічному дослідженні (хоча термінологічна ясність - обов'язкова умова ефективної наукової роботи), але і в тісній взаємодії з лікарською діяльністю, яка включає побудову діа­ гностичних моделей хвороби, біологічний модельний експеримент, розробку машинних моделей, розробку режимів спілкування у сис­ темі "комп'ютер - хворий" і т.д. Як спосіб наукового пізнання моде­ лювання давно переступило межі попередніх уявлень і виступає за­ раз як складна система різних видів повсякденної діяльності лікаря.

72 .

1.11. Етапи MM

Під час підготовки до створення моделі деякого процесу не­ обхідно розглянути три принципові питання:

1.Принципову можливість рішення задачі взагалі. Оцінка можливості рішення проблеми повинна виходити винятково з на­ явних на сьогодні наукових знань без врахування рівня техноло­ гії. Тут можливо усе, що не суперечить вже відомим законам при­ роди й основним науковим принципам. І доти, поки не знайдені конкретні, уже відомі закони природи і логіки, що перешкоджають рішенню даної проблеми, вона повинна бути визнана такою, що принципово розв'язується.

2.Можливість вирішення задачі зараз, за існуючого рівня тех­ нології.

Діставши позитивну відповідь на ці питання можна перейти до процесу математичного моделювання, на якому можна виділити три етапи:

- І етап - створення математичної моделі у вигляді системи формул і рівнянь на основі результатів експериментальних дослі­ джень щодо процесів, що протікають в системі;

- II етап - перевірка і коректування моделі, що передбачає визначення числових значень коефіцієнтів і початкових умов, розв'я­ зок системи рівнянь і порівняння отриманих результатів з даними експерименту, виявлення відповідності або невідповідності дослі­ джуваного об'єкта і моделі, визначення умов застосовності моделі;

- Ill етап - дослідження математичної моделі і її використання

ипрактичних цілях для одержання нової інформації про досліджунаний об'єкт.

Розглянемо їх більш докладно.

Нехай нам необхідно дослідити деякий об'єкт А. На першо­ му етапі ми конструюємо (матеріально або уявно) або знаходимо в реальному світі інший об'єкт В, що є моделлю об'єкта А. Етап побудови моделі припускає наявність деяких знань про об'єкторигінал. Пізнавальні можливості моделі обумовлюються тим, що модель відбиває деякі істотні риси об'єкта-оригіналу. Очевидно, що модель втрачає свій зміст як у випадку тотожності з оригінапом (ізоморфізм), так і у випадку надмірної - у всіх істотних від-

73

носинахвідмінності від оригіналу. Таким чином, вивчення одних сторін об'єкту, що моделюється, здійснюється ціною відмови від урахування інших (другорядних) сторін. Для будь-яких реальних систем відношення ізоморфізму завжди є ідеалізація. У зв'язку з цим, ізоморфізм доцільно розглядати тільки щодо деяких фік­ сованих наборів властивостей і відносин порівнюваних систем. Тому, будь-яка модель заміщає оригінал лише в строго обмеже­ ному змісті (гомоморфізм). У гомоморфних моделях вся доступ­ на інформація щодо досліджуваних процесів, об'єктів і явищ, яка містить безліч другорядних, не істотних даних, представляється у більш компактній, зручній і доступній для аналізу формі.

На другому етапі модель виступає як самостійний об'єкт до­ слідження. Однією з форм такого дослідження є проведення "мо­ дельних" експериментів, при яких свідомо змінюються умови функціонування моделі і систематизуються дані про її "поведінку". Кінцевим результатом цього етапу є множина знань про модель.

На третьому етапі здійснюється перенос знань із моделі на оригінал - формування множини знань про об'єкт. Цей процес переносу знань проводиться за певними правилами. Знання про модель повинні бути скоректовані з урахуванням тих властивостей об'єкта-оригіналу, що не знайшли відображення або були змінені при побудові моделі. Ми можемо з достатньою підставою пере­ носити який-небудь результат із моделі на оригінал, якщо цей ре­ зультат дійсно пов'язаний з ознаками подібності оригіналу і моде­ лі. Якщо ж певний результат модельного дослідження пов'язаний із відмінністю моделі від оригіналу, то цей результат переносити неправомірно.

Після цього необхідно провести перевірку отриманих за до­ помогою моделі знань шляхом використання їх для побудови уза­ гальнюючої теорії об'єкта, його перетворення або керування їм. Для розуміння сутності моделювання важливо не випустити з ува­ ги, що моделювання - не єдине джерело знань про об'єкт. Процес моделювання "занурений" у більш загальний процес пізнання. Ця обставина враховується не тільки на етапі побудови моделі, але й на завершальній стадії, коли відбувається об'єднання й узагаль­ нення результатів дослідження, одержаних шляхом різних засобів пізнання.

74

Моделювання - циклічний процес. Це означає, що за першим циклом може йти другий, третій і т.д. При цьому знання про дослі­ джуваний об'єкт розширюються й уточнюються, а вихідна модель поступово вдосконалюється. Недоліки, що виявлені після першо- і о циклу моделювання і обумовлені малим знанням об'єкта та по­ милками у побудові моделі, можна виправити в наступних циклах. У методології моделювання, таким чином, закладені великі мож­ ливості саморозвитку.

7.12. Обмеження і переваги методу MM

Метод математичного моделювання знаходить своє застосування в медицині і супутніх їй науках. Він є засобом, що дозволяє встановлювати усе більш глибокі і складні взаємозв'язки між теорією і досвідом. В останнє сторіччя експериментальний метод у ме­ дицині почав наштовхуватися на певні обмеження, і з'ясувалося, що цілий ряд досліджень неможливий без моделювання. Якщо зупини­ шся на деяких прикладах обмежень в області застосування експе­ рименту в медицині, то вони будуть в основному наступними:

втручання в біологічні системи іноді має такий характер, що не­ можливо встановити причини змін, що з'явилися, (внаслідок втручання або з інших причин); деякі теоретично можливі експерименти нездійсненні внаслі­

док низького рівня розвитку експериментальної техніки; велику групу експериментів, пов'язаних з експериментуван­ ням на людині, варто відхилити з морально-етичних міркувань. Проте, моделювання знаходить широке застосування в галу-

зі медицини не тільки через те, що може замінити експеримент. Ноно має велике самостійне значення, що виражається в цілому ряді переваг:

за допомогою методу моделювання на одному комплексі даних можна розробити цілий ряд різних моделей, по-різному інтер­ претувати досліджуване явище, і вибрати найбільш плідну з них для теоретичного тлумачення; у процесі побудови моделі можна зробити різні доповнення до

досліджуваної гіпотези й дістати її спрощення;

75

-у випадку складних математичних моделей можна застосову­ вати ЕОМ;

-відкривається можливість проведення модельних експеримен­

тів (модельні експерименти на піддослідних тваринах).

Усе це ясно показує, що математичне моделювання виконує в медицині самостійні функції і стає усе більш необхідним щаблем у процесі подальшого розвитку медичної науки. В інформатиці до­ сліджуються, насамперед, моделі, що представлені у формальній математичній формі, зручній для рішення на комп'ютері.

7.13. Приклади математичних моделей в біології та медицині.

1. Гемодинамика судинного русла

Однієї з найпростіших моделей, що імітують гемодинамику судинного русла, є гідродинамічна модель кровоносної системи, із зосередженими параметрами, що описує артеріальну части­ ну великого кола коровообігу (запропонована О.Франком у 1899 році). У цій моделі (рис. 1) аорта й інші великі судини (1) розгляда­ ються як пружний "еластичний" резервуар. Під час систоли - ви­ гнання крові через клапан К з лівого желудочка (3) - тиск в аорті підвищується - пружний резервуар розтягується. Після закінчення систоли (діастола) - аорта скорочується через пружний тиск сті-

76

нок. При цьому кров виганяється у напрямку "жорстких" перифе­ ричних судин (2). Стрілки зі знаками "с" і "д" показують напрямок руху крові в різні періоди серцевого циклу (систолу і діастолу).

Об'єм крові, що знаходиться у пружному резервуарі, зв'яза­ ний з тиском тривіальним співвідношенням:

де k - коефіцієнт пропорційності між тиском і об'ємом (коефіцієнт еластичності аорти), V0 - об'єм резервуара при Р=0.

Продиференціювавши (1) за часом знайдемо швидкість зміни об'єму резервуара в залежності від тиску:

(2)

Об'ємна швидкість крові, що надходить у пружний резервуар, дорівнює S, а з пружного резервуара кров виходить з об'ємною швидкістю S0. Якщо гідравлічний опір х0 периферичної системи - постійний, оскільки периферичні судини (2) "жорсткі", то

(3)

Таким чином, об'ємна швидкість кровотоку через клапан із серця дорівнює швидкості зміни об'єму пружного резервуара і швидкості відтоку крові з пружного резервуара.

Застосовуючи під час діастоли (S = 0) відоме рівняння Пуазейля для периферичної частини системи кровообігу і полагаючи тиск у венозній ділянці судинного русла рівним нулеві, можна записати:

(4)

Проінтегрувавши (4) по часу, отримаємо:

(5)

де Р0 - тиск крові у початковий момент часу. Аналогічну залежність можна дістати і для об'ємної швидкості кровотоку S .

77

Рівняння (5) описує зміну тиску в аорті з часом. Для дослі­ дження даної моделі треба надати величинам Р0, х0, к числових значень і побудувати графік залежності Р =f(t). Нормальній аорті відповідатимуть певні числові значення коефіцієнту еластичності

кі гідравлічного опору х0 (рис. 2, крива 1). При патологічних змінах

ваорті ці коефіцієнти вже матимуть інші значення, і в результаті зміниться хід процесу кровообігу. Наприклад, більшим порівняно з нормальними х0 і к відповідатиме вже інша крива (рис. 2, крива 2).

Таким чином, задаючи різні значення Р0, х0 і к можна дістава­ ти багато ситуацій, відповідних різним процесам в аорті, всебічно їх досліджуючи. Природно, ця модель свідомо приблизно описує реальні процеси в серцево-судинній системі, але вона дуже про­ ста, наочна і досить вірно відбиває особливості процесу наприкін­ ці діастоли.

Аналогічно розглянутому прикладу в усіх інших математичних моделях містяться різні коефіцієнти, які певним чином відобража­ ють стан досліджуваних об'єктів або процесів. Надаючи цим кое­ фіцієнтам числових значень, а також змінюючи їх, можна вивчити поведінку об'єкта чи процесу з плином часу, прогнозувати його хід. Результати таких досліджень мають велике значення для прак­ тичної охорони здоров'я, оскільки дають змогу вчасно прийняти профілактичні та лікувальні міри.

78

В основному математичні моделі описуються диференціаль­ ними рівняннями, розв'язування яких без застосування обчислювальної техніки є досить складним, а іноді й неможливим про­ цесом. Розглянемо деякі математичні моделі медико-біологічних процесів і принципи їх дослідження за допомогою ЕОМ.

2. Модель зміни концентрації лікарського препарату в крові пацієнта

Вона описує зміну з часом розподілення введених у організм препаратів.

Терапевтичний ефект залежить від концентрації С препарату и організмі (у хворому органі) і часу t, доки він знаходиться в потрібній концентрації.

Задачею лікаря є вибір:

-дози;

-шляху введення;

-періодичності введення з метою забезпечення необхідної дня досягнення терапевтичного ефекту концентрації при мінімаль­ ній побічній дії.

Із фізіології відомо, що концентрація препарату в органі-міше- ні може залежати від ряду процесів:

-всмоктування препарату в кровоносне русло;

-транспортування препарату з крові в орган;

-транспортування препарату з органу в кров;

-виділення препарату з крові нирками або печінкою.

Ці процеси можна представити у вигляді блок-схеми:

Розглянемо найпростіший випадок зміни концентрації препарату в організмі (органі-мішені).

Нехай виведення лікарської речовини описується нелінійними Функціями (у найпростішому випадку це - ехр ): С = С0е~м , де С0 -

79

початкова концентрація лікарського препарату (прийнята доза лі­ ків), k - коефіцієнт, враховуючий природу лікарського препарату, t - час. Якщо С* - max нешкідлива концентрація, яка забезпечує терапевтичний ефект, a Cmin - мінімальна концентрація, яка забез­ печує терапевтичний ефект, то концентрація лікарської речовини повинна лежати у межах:

Cm i n <C(t)<C*

Концентрація в кожний момент часу залежить від двох чинни­ ків: швидкості виведення і швидкості введення. Для створення в крові оптимальної концентрації необхідно вводити додаткову дозу

у кожен момент часу ( t v t2 ,...), коли C(t) стає рівною Стіп, як це по­ казано на рисунку 3.

З. Моделювання росту популяцій

Популяція - це мінімальна група особей одного виду, що самовідтворюється протягом еволюційно тривалого часу, населяє певний простір, утворює самостійну генетичну систему і формує власний екологічний гіперпростір.

Основу відносин між популяціями різних видів у экосистемах складають харчові зв'язки. Популяції є елементарними одиниця­ ми, що еволюціонують.

Популяцію можна описати деяким набором характеристик і особливостей: чисельність, щільність, народжуваність, смерт­ ність, вікова, полова й інші структури, загальна пристосованість і

80