Федеральное агентство по образованию

Государственное образовательное учреждение

высшего профессионального образования

ПЕРМСКИЙ ГОСУДАРСТВЕННЫЙ ТЕХНИЧЕСКИЙ УНИВЕРСИТЕТ

Функции нескольких переменных

Индивидуальные задания

Пособие разработано доц. Гониной Е. Е. Одобрено методической комиссией кафедры «Высшая математика» © 2007, каф. «Высшая математика» ПГТУ

Пермь 2007

Вариант 1

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) б)

2. Вычислить приближенно .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=ln(y²-e^-x).

4. Вычислить значение производной сложной функции u=e^x-2y, где,y=t³приt= 0, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:x³+y³+z³-3xyz= 4, в данной точкеM₀(2,1,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+6z-4x+8 = 0, M₀(2,1,-1);

б) S: 4x²-9y²-9z²-36 = 0, M₀(3,0,0).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=ln(x+y) в т.M₀(1,3) в направлении линииy²= 9xв сторону возрастания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию .

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z= 3x+y-xyв области

D:y=x,y= 4,x= 0.

Вариант 2

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) z = arcsin(x-y), б) z = ln(2-x-y) +.

2. Вычислить приближенно .

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=arctg(x²+y²)

4. Вычислить значение производной сложной функции u=ln(e^x+e^-y), гдеx=t²,y=t³приt= -1, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:x²+y²+z²-xy= 2, в данной точкеM₀(-1,0,1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+z²-4y² = -2xy, M₀(-2,1,2);

б) S: x²+y²-z = 6, M₀(1,-1,-1).

8. Определить градиент и производную заданной функции z= 5x²-3x-y-1 в т.M₀(2,1) в направлении, идущем от т. М₀ к т.N(5,5).

9. Исследовать на экстремум функцию z=x³+8y³-6xy+5.

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=xy-x-2yв области

D:y=x,y= 0 ,x= 3.

Вариант 3

1. Найти и изобразить на чертеже область определения функций

а) ; б)z = ln(1-x²-y²)+.

2. Вычислить приближенно (1,03)^3,98.

3. Найти частные производные и полный дифференциал функции z=arcsin.

4. Вычислить значение производной сложной функции u=y^x, гдеx=ln(t-1),приt= 2, с точностью до двух знаков после запятой.

5. Вычислить значения частных производных функции z=z(x,y) , заданной неявно:, в данной точкеM₀(2,1,-1) с точностью до двух знаков после запятой.

6. Проверить, удовлетворяет ли данная функция u=ln(x²+(y+1)²) указанному уравнению.

7. Найти уравнения касательной плоскости и нормали к заданной поверхности Sв точкеM₀(x₀,y₀,z₀). Поверхность, заданную в пункте б), изобразить на чертеже.

а) S: x²+y²+z²+3z-xy = 7, M₀(1,2,1);

б) S: 4x²-9y² = 36, M₀(-3,0,0).

8. Определить градиент и производную заданной функции z=x²+y²в т.M₀(6,-8) в направлении линииy=x² в сторону убывания аргументаx.

9. Исследовать на экстремум функцию z= 1+15x-2x²-xy-2y².

10. Найти наибольшее и наименьшее значения функции z=x²+8y+2xy-4xв области

D:y= 0,y= 2,x= 0,x= 1.