Вариант 6
Найти уравнение линии, зная, что отрезок, отсекаемый касательной от оси ординат равен полусумме координат точки касания.
На материальную точку с массой m, движущуюся прямолинейно, действует в направлении движения сила с коэффициентом пропорциональностиkи сила сопротивления среды, пропорциональная скорости и времени с коэффициентом пропорциональностиk1. найти зависимость скорости от времени, если в начальный момент времени скорость была равнаV0.
Вариант 7
Найти уравнение линии, для которой произведение абсциссы какой – либо точки на величину отрезка, отсекаемого нормалью на оси ординат, равно удвоенному квадрату расстояния от этой точки до начала координат.
За 30 дней распалось 50% первоначального количества радиоактивного вещества. Через сколько времени останется 1% первоначального количества, если известно, что количество радиоактивного вещества, распадающегося за единицу времени, пропорционально наличному количеству этого вещества в данный момент.
Вариант 8
Найти линию, для которой треугольник, образованный нормалью с осями координат, был бы равновелик треугольнику, образованному осью OX, касательной и нормалью.
Тело массой m=2, брошено вертикально вверх со скоростью
,
испытывает сопротивление воздуха,
которое пропорционально скорости
движения (K=0.04). Определить
с точностью до
время Т, которое требуется для того,
чтобы тело упало на землю, и максимальную
высоту, на которую поднимется тело.
Вариант 9
Найти линию, проходящую через точку А(2;3) и обладающую тем свойством, что отрезок любой её касательной, заключенный между координатными осями, делится пополам в точке касания.
Тело нагрето до температуры
и
затем (в момент времени
)
помещено в среду с температурой
.
Каким должен быть коэффициент
теплопроводности тела К (
),
чтобы было минимальным среднее
квадратичное отклонение температурыu(t) тела
от заданной величины
за время Т=1,5ч, т.е.
?
Вычисления вести с точностью до 0,01
Вариант 10
Найти линию, для которой длина отрезка, отсекаемого на оси ординат нормалью, проведённой в какой-нибудь точке кривой, равна расстоянию от этой точки до начала координат.
Вращающийся в жидкости диск замедляет свою угловую скорость за счет трения. Найти: 1)с какой скоростью будет вращаться диск в момент Т=120с, если при Т=0 он вращался со скоростью
,
а при Т=10 его скорость стала равна
,
2) в какой момент времени он будет
вращаться со скоростью
?
Вариант 11
Найти линию, проходящую через точку М(2;0) и обладающую тем свойством, что отрезок касательной между точкой касания и осью ординат имеет постоянную длину, равную 2.
За какое время вытечет вся вода из цилиндрического бака ч диаметром 4м и высотой Н=6м через круглое отверстие в дне диаметром 6см? Считать, что ось цилиндра вертикальна.
Вариант 12
Найти все линии, у которых отрезок касательной между точкой касания и осью абсцисс делится пополам в точке пересечения с осью ординат.
Поезд движется прямолинейно со скоростью
.
Внезапно на пути возникает препятствие,
и машинист включает тормозной механизм.
С этого момента скорость поезда
изменяется по закону
,
где
.
Каков тормозной путь поезда? Через
какое время после торможения он
остановится?
Вариант 13
Найти линию, у которой квадрат длины отрезка отсекаемого любой касательной от оси ординат, равен произведению координат точки касания.
Найти закон движения материальной точки массы mпо прямой ОА под действием отталкивающей силы, обратно пропорциональной третьей степени расстояния Х=ОМ от неподвижного центра О.
Вариант 14
Найти линии, у которых тангенс угла между касательной и положительным направлением оси ОХ прямо пропорционален ординате точки касания.
В воде плавает льдина в виде параллелепипеда, площадь основания которого
и высота
.
Льдину погружают в воду на глубину
и отпускают. Вывести закон движения
льдины. Льдине в начальный момент
времени сообщили скорость
.
Определить её скорость в произвольный
момент времени, если сила сопротивления
воды пропорциональна скорости льдины
.