Лекции Физика / Лекция 11.б-1

Если функция имеет минимум, то ее производная равна нулю, тогда:

При отсутствии сопротивления среды (γ = 0 ) амплитуда при резонансе обращалась бы в бесконечность. Чем больше коэффициент затухания, тем ниже и левее максимумы резонансных кривых.

По поводу резонансных кривых можно сделать еще следующие замечания.

1. При стремлении ω0 к нулю (ω0 → 0 ) все кривые приходят к одному и тому

же, отличному от нуля, предельному значению, равному F . Это значение пред- k

ставляет собой смещение из положения равновесия, которое получает система под действием постоянной силы величины F.

2. При стремлении ω0 к бесконечности (ω0 → ∞ ) все кривые асимптотически стремятся к нулю, так как при большой частоте сила так быстро изменяет свое направление, что система не успевает заметно сместиться из положения равновесия.

3. Чем меньше γ , тем сильнее изменяется с частотой амплитуда вблизи резонанса, тем «острее» получается максимум.

На практике явление резонанса используют для выделения и усиления гармонического колебания с определенной частотой. Такие осциллирующие системы с малым коэффициентом затухания γ называют резонаторами. Их амплитудно-частотная характеристика имеет вид очень узкого пика.

Любую внешнюю силу можно представить в виде ряда или интеграла Фурье, т.е. в виде суперпозиции гармонических сил с разными частотами. В резонаторе будет усилено только гармоническое колебание с частотой ω рез = ω0 .

Примером может служить простейший акустический резонатор, стенки (мембраны) которого колеблются совместно и заставляют смещаться слои воздуха между ними.

12

Понятие о колебаниях систем со многими степенями свободы. Нормальные колебания (моды).

Спектр колебаний, понятие о разложении Фурье.

Колебания связанных систем

Колебания могут быть со многими степенями свободы (даже простой маятник может совершать колебания по осям x и y). Связанная система - система со многими степенями свободы, между которыми имеются связи, обеспечивающие возможность обмена энергией между различными степенями свободы. Примеры систем со многими степенями свободы представлены на рис.8.

Рис.8

Так в случае Б) система имеет 4 степени свободы. Несмотря на сложность комбинированного движения связанных систем (двух связанных маятников Б)) его всегда можно разложить на простейшие колебания, которые служат своеобразными ортами в пространстве колебаний и носят название нормальных колебаний. Число нормальных частот равно числу степеней свободы. Так, например, движение системы Б) на рис.8 с 4-мя степенями свободы раскладывается на 4 независимых колебания со своими частотами.

Сначала рассмотрим движение шаров в плоскости перпендикулярной к плоскости рисунка (см. вид на систему сверху

– рис.9). Отклонения шара 1 (зеленая стрелка) и шара 2 (синяя стрелка) можно рассматривать как

Рис.9 Система как целое отклоняется на смещение «б» (оба как целое колеблются с

частотой ω1 ) и колебания шаров в разные стороны относительно центра масс

13

системы «а» (с частотой ω2 ) на один и тот же угол. Естественно, что суммы «а+б» дают для каждого шара в отдельности их смещения относительно положения равновесия.

Аналогично можно рассмотреть колебания в плоскости рисунка (рис.10). Также имеем колебания вместе двух шаров как целой системы с частотой ω3 и отклонения шаров в разные друг от друга стороны на одинаковые углы с частотой ω4 .

Определим частоты ω3 и ω4 . Пусть шарики имеют одинаковую массу m, k - жесткость пружины, а координаты шаров x1 и x2 отсчитываются от положения равновесия левого шара. Тогда уравнения движения

Сложим эти два уравнения и вычтем:

Рассматривая сумму координат и разность как две новых переменных, получаем уравнения колебаний:

Тогда решения уравнений (11.22) записываются соответственно:

x1 + x2 = Asin(ω3t + ϕ3 ),

(11.24)

x2 − x1 = B sin(ω4t + ϕ4 ).

Эти решения и частоты совпадают с нормальными колебаниями сложного маятника в плоскости рисунка.

14

Спектральное разложение. Фурье – преобразования спектров

Рассмотрим функцию вида:

f (t) = C1 cos(ω1t − α1 ) + C2 cos(ω2t − α 2 ) + ... + C N cos(ωN t − α N )

или в более короткой записи

n =1

где C n , ωn , αn - постоянные, причем ωn , соответствующие различным значениям индекса n, не равны между собой.

Совокупность пар чисел (ω1, C12), (ω2, C22), … ( ωN, CN2), называется спектром функции f (t) . N может быть конечным или бесконечным. В первом случае функция (11.25) обычно называется тригонометрической суммой, во втором - тригонометрическим рядом. Будем для краткости называть всякую функцию вида (11.25) тригонометрическим рядом, рассматривая тригонометрическую сумму как частный случай последнего.

Построим графическое изображение спектра функции f (t) . Отметим на оси абсцисс точки, соответствующие в некотором масштабе частотам (ω1, ω2, …, ωN). В каждой такой точке восставим перпендикуляр к оси абсцисс и отложим на нем отрезок, длина которого пропорциональна интенсивности С12,

Рис.11. Пример спектра функции.

«Спектр функции» есть математическое понятие. Между этим математическим понятием и физическим понятием спектра существует тесная связь: характер спектра как реально существующей цветной картины (спектра в физическом смысле) определяется характером спектра (в математическом смысле) - функции, описывающей световую волну, падающую на призму или решетку.

15

Заметим, что задание спектра функции f (t) не эквивалентно заданию самой функции: две функции, имеющие одинаковый спектр, могут различаться фазами своих синусоидальных компонент. Так, например, функции:

имеют одинаковые спектрограммы, но различные осциллограммы. Однако для ряда явлений важен только спектр той или иной функции, а не фазы ее синусоидальных компонент.

Спектральное разложение как математическая операция

Пусть на резонатор действует несинусоидальная, но периодическая внешняя сила f (t) . Теорема Фурье, доказываемая в курсе математики, утверждает, что

функция f (t) может быть представлена во всем интервале - ∞ ≤ t ≤ +∞ ви-

де суперпозиции бесконечного множества синусоид, имеющих частоты, кратные ω = 2π/T, где Т - период функции f (t) ):

(n = 1,2,3,….).

Рис. 12. Периодически повторяющиеся прямоугольные импульсы: а) – осциллограмма; б) - спектрограмма.