Лекции Физика / Лекция 09.б-1

11

Релятивистское выражение для импульса и энергии. Взаимосвязь массы и энергии. Частицы с нулевой массой покоя. Столкновения релятивистских частиц.

Релятивистский импульс. Второй закон Ньютона

Для сохранения инвариантности второго закона Ньютона преобразованиям Лоренца оказывается достаточным изменить определение импульса. Реля-

тивистский импульс записывается в виде:

При использовании для импульса формулы (9.14) второй закон Ньютона принимает вид:

Второй закон Ньютона, представленный соотношением:

dt

может использоваться и в классической механике, и в теории относительности.

Второй закон Ньютона, представленный в виде:

dt

применим только в классической механике. Особенностью уравнения (9.15) является то, что в соответствии с этим уравнением ускорение тела может не совпадать по направлению с действующей силой. Для доказательства этого утверждения преобразуем (9.15) так, чтобы ускорение тела было представлено отдельным членом слева, как это имеет место в соотношении (9.17). Введем величину W , называемую полной энергией тела:

13

Энергия в релятивистской механике

Рассмотрим полную и кинетическую энергии частицы, а также так называемую энергию покоя.

Умножим скалярно правую часть уравнения (17.2) на dr , а левую - на величину υdt , равную dr . Тогда правая часть будет выражать элементарную работу

Аналогичным образом ранее вводилась кинетическая энергия. Введенная сейчас полная энергия (W) имеет более богатое содержание. Эта величина сугубо положительная, причем и в состоянии покоя она не равна нулю.

При υ = 0 полная энергия называется энергией покоя W0 .

Формула (9.23) устанавливает взаимосвязь энергии покоя тела и его массы и показывает, что масса и энергия представлены в любом теле в пропорцио-

нальных количествах. Каждое изменение энергии покоя тела неизбежно сопровождается пропорциональным изменением его массы.

В обычных масштабах энергия покоя чрезвычайно велика. В одном грам-

ме вещества содержится около 1014 Дж. Пока научились извлекать лишь малую часть этой энергии. Так как значение скорости света велико, то в соответствии с формулой (9.23) заметным изменениям энергии соответствуют весьма малые изменения массы. Например, вполне измеримое увеличение внутренней энергии 1 кг воды при нагревании на 100 0С изменяет ее массу примерно на 5×10-9 г, что нельзя обнаружить с помощью самых чувствительных весов. Энергия покоя представляет собой внутреннюю энергию частицы или тела, не связанную с движением тела как целого и его взаимодействием с внешними силовыми по-

лями. В случае сложного тела, состоящего из многих частиц, его энергия покоя складывается из энергии покоя частиц, их кинетической энергии (обусловленной движением частиц относительно центра инерции тела) и потенциальной энергии взаимодействия частиц между собой. Потенциальная энергия частиц во внешнем поле в энергию покоя не включается, так же как и в полную энергию.

14

Полная энергия включает и энергию движения, т.е. кинетическую энергию. Поэтому кинетическая энергия тела определяется как разность между полной энергией и энергией покоя:

что совпадает с классическим выражением для кинетической энергии.

Выразив из выражения для релятивистского импульса скорость и подставив в выражение для полной энергии, получим связь полной энергии и им-

пульса:

часть данного уравнения не зависит от выбора системы отсчета. Взятые отдельно друг от друга, энергия и импульс относительны, т.е. различны в разных инерциальных системах отсчета. Однако, взятые совместно в виде комбинации

W 2 − p 2c 2 , они образуют абсолютную характеристику состояния частицы, инвариантную относительно преобразований Лоренца. Из инвариантности этой величины вытекает релятивистская взаимосвязь импульса и энергии - при переходе из одной инерциальной системы отсчета в другую, импульс и энергия час-

тицы изменяются так, что комбинация W 2 − p 2c 2 остается неизменной.

15

Разделив друг на друга левые и правые части соотношений для релятивистского импульса и полной энергии, получим еще одну релятивистскую формулу:

W

Рассматривая два предельных случая:

можно получить, что в первом случае кинетическая энергия тела может быть

представлена как: T = p 2 ; полученное выражение представляет собой нереля- 2m

тивистскую связь импульса и кинетической энергии, соответствующую переходу к классической механике Ньютона.

Во втором случае имеет место следующая взаимосвязь полной энергии и импульса:

Частицы, для которых выполняется это соотношение, т.е. энергию ко-

торых можно считать пропорциональной импульсу, называются ультрарелятивистскими.

Используя (9.29), неравенство p >> mc можно переписать в виде: W >> mc2 . Это означает, что полная энергия ультрарелятивистских частиц намного больше их энергии покоя. Поэтому такие частицы способны к множественному рождению других частиц. Например, если ультрарелятивистские частицы присутствуют в космических лучах, то при их столкновениях с атомами атмосферы возникают так называемые ливни из множества рожденных частиц.

Важная особенность соотношения (9.26) состоит в том, что оно не утрачивает смысл при m = 0 . Это указывает на принципиальную возможность су-

ществования частиц с нулевой массой. Формула (9.26) для таких частиц при-

нимает вид:

Причем данное равенство является точным. Подобные частицы (фотоны), не имеющие массы покоя, движутся со скоростью света, что является единствен-

ной формой их существования. Частицы с нулевой массой покоя обладают световыми скоростями непосредственно в момент их образования, т.е. эти скорости для них являются врожденными, изначальными.