Корреляция

Регрессионный анализ

Если корреляционный анализ на основе диаграмм разброса позволяет установить наличие и оценить степень тесноты взаимосвязи двух и более параметров, то регрессионный анализ позволяет выразить установленную взаимосвязь в виде уравнения регрессии, которое кроме возможности рассчитывать характеристику (или результат) у по одному или многим факторам (или причинам) х , даёт тоже достаточно много информации о характере и степени тесноты между исследуемыми параметрами.

Для регрессионного анализа используют данные а к т и в н ы х экспериментов, в ходе которых «раскачивают» технологический процесс, и данные п а с с и в н ы х экспериментов, т.е. результаты текущих наблюдений за процессом. При этом в первом случае возможна «порча» продукции; во втором случае в процесс не вмешиваются, за ним только наблюдают.

Регрессионный анализ

Найти линию регрессии, наиболее адекватно отражающую облако точек – основная задача регрессионного анализа. Естественно, наименьший разброс точек будет около той линии, которая определяется по коррелированным параметрам.

Главное в регрессионном анализе то, что исследователь сам задаёт вид линии регрессии.

Рассмотрим поиск адекватного уравнения на примере уравнений регрессии между содержанием в стекле оксида Fe 2 O 3 (F) и светопропусканием стекла в ИК-области спектра (D) по экспериментальным данным (пассивный эксперимент !), представленным в ранее рассмотренной диаграмме рассеяния. По этой диаграмме мы установили, что связь между этими параметрами существует. Но какая: линейная или криволинейная? – неизвестно.

Регрессионный анализ

Начинают анализ с самой простой формы связи – линейной,

На основе экспериментальных данных подсчитываются соответствующие суммы и подставляются в уравнения системы.

Регрессионный анализ

Решение системы уравнений

После решения приведённой ранее системы уравнений получим уравнение 1-ой степени

D = 0,92181 – 1,0 F .

Регрессионный анализ

Теперь необходимо оценить, насколько полученное уравнение адекватно экспериментальным данным. Для этого используют критерий, тоже называемый коэффициентом корреляции, но определяемый иначе:

Для нашего примера после расчёта дисперсий получим следующее значение коэффициента корреляции R = 0.4899.

Регрессионный анализ

Одно из правил оценки адекватности линий регрессии гласит, что дисперсия расчётных по уравнению регрессии данных относительно экспериментальных должна быть на порядок меньше дисперсии экспериментальных данных относительно их средней арифметической (или коэффициент корреляции должен быть больше 0,9 - при хорошо коррелированных параметрах).

Регрессионный анализ

Как и следовало ожидать, судя по диаграмме разброса, адекватность

расчётных и экспериментальных данных мала, а поэтому необходимо продолжить анализ и рассчитать уравнение регрессии 2-ой степени вида:

экспериментальных данных и решив эту систему уравнений, получим коэффициенты регрессии для уравнения 2-ой степени:

Регрессионный анализ

D = 0.916211 – 0.976872 F – 0.012245 F 2 .

Для этого уравнения коэффициент корреляции R = 0,6678.

Если бы мы таким же образом рассчитали уравнение регрессии 3-ей степени (кубическая парабола) вида :

D a 0 a1 F a 2 F 2 a 3 F 3

то получили бы следующее уравнение:

D = 0.866938 – 0.64025 F – 0.553823 F 2 – 0.113272 F 3 .

Рассчитав по этому уравнению расчётную дисперсию, получим коэффициент корреляции R = 0,6668.

Делаем вывод, что уравнение 3-ей степени в нашем случае менее адекватно, чем уравнения 2-ой степени, будучи и более сложным в использовании. А поэтому результатом регрессионного анализа принимаем уравнение 2-ой степени.