2. Правило размерности

Все результаты, которые могут быть получены с помощью метода анализа размерностей, основаны на двух теоремах.

1. Общий вид размерности физических величин устанавливается зависимостью (1.1).

2. Во всяком физическом законе типа

A=B

размерности обеих частей равенства должны быть одинаковы.

В таком виде эта теорема получила название правила размерностей. В равенство типа A=B могут входить также в качестве множителей либо постоянные коэффициенты, либо безразмерные комбинации физических величин.

Пример 2.1. Необходимо найти вид зависимости для объема шара.

Шар полностью определяется заданием его радиуса, поэтому объем его W равенW=f(R), гдеf(R)- функция, подлежащая определению. Так какRизмеряется, например, в метрах (м), аWв кубических метрах (м³), то задача сводится к нахождению математической операции «превращающей» метры линейные в метры кубические. Ясно, что существует одна операция такого рода- возведение в третью степень. Заключаем, что искомая зависимость имеет видW=CR³,гдеC- некоторое число, не зависящее отR(постоянный безразмерный коэффициент). В этом примере впервые вводится постоянный безразмерный коэффициент С; везде в дальнейшем необходимо помнить, что он может быть функцией некоторых параметров и даже первичных величин. Единственное, что можно утверждать заранее – что С является всегда безразмерной величиной и в виде сомножителя не нарушает размерности правой части. ЕслиCне зависит отR, то достаточно лишь для одного шара любого радиуса найти отношениеW/R³(каким-либо измерением), которое будет равно≈ π ≈ 4,189. В дальнейшем можно будет определить объем шара с помощью зависимостиW=4,19R³.

Теория размерностей без привлечения дополнительных данных не может привести ни к каким физическим зависимостям, поскольку в ее основы не заложено никаких физических законов. Для того, чтобы получить с помощью этой теории конкретные выводы, необходимо установить, между какими физическими величинами существуют количественные связи. На этот вопрос теория размерности не может дать никакого ответа. Это можно сделать только либо опытным путем, либо с помощью каких-то физических законов. Приведенные ниже примеры и задачи служат иллюстрацией сказанного. Вначале для лучшего понимания метода анализа размерностей приводятся простые примеры из механики.

Пример 2.2. Тело начинает движение из состояния покоя и движется с постоянным ускорением a. Найти вид зависимости для пути, проходимого телом.

Путь, проходимый телом, прежде всего, конечно, является функцией времени. Кроме того, он будет зависеть от ускорения, которое задано. Если включить в число параметров массу тела m, то необходимо учесть соотношение F = ma и таким образом включить в рассмотрение также и силу, действующую на данное тело. Возможно допустить воздействие на тело любых сил (сил сопротивления разной природы, движущих сил – внешних и внутренних и т.д.), но при заданной массе m их отношение и будет выражать ускорение.

Таким образом, при заданном ускорении формулировка задачи не выводит ее из класса кинематических задач; окончательный вид функциональной зависимости для пути

S = f (a,t)

и функция f (a,t) должна иметь размерность длины, т.е.

[S (a,t)] = [S] = L.

Согласно первой теореме функция f(a,t) является степенной относительно своих аргументов, т.е. имеет вид

= ,

где C,- некоторые постоянные. Таким образом, искомая функция имеет вид

S=Ca,

причем итакие, что выполняется условие

L=[at]. (2.1)

Обычно следующим шагом является выражение всех входящих в правую часть (2.1) величин через основные; в данном случае это необходимо сделать для ускорения a:[a]=L/t ²=Lt ^–2. Тогда из (2.1) следует

L=(Lt ^–2)t.

Раскроем в последнем равенстве скобки

L=Ltt

и заметим, что в правой части последнего равенства присутствует время t, а в левой части его нет. Поэтому в левой части представляем сомножитель t⁰ (он равен единице) который ничего не меняет:

L¹t⁰=Lt.

Совершенно ясно, что если какая-либо величина находится одновременно в правой и левой части равенства типа (2.1), то показатель степени ее в левой части равен показателю степени в правой части. Например, при применении этого правила к последнему равенству будем иметь:

для показателей степеней у L

1=

для показателей степеней у t

0=.

Величины инаходим из системы уравнений

=1

=0.

Показатели степеней равны =1, =2.