Вид функциональной зависимости для силы

F=C()lV.

Такое выражение справедливо для тела любой формы.

Если рассматривается обтекание шара, то в силу его симметрии величина C() является постоянной- для шара, движущегося с малыми числами Рейнольдса (Re<<1), зависимость для силы принимает вид

F=3dV,

где d – диаметр шара; V – скорость его относительного движения;  – динамический коэффициент вязкости.

Замечание 4.1. Если в задаче предыдущего примера искать неизвестную функциональную зависимость для силы в ином виде (заменим  и  их произведением =)

F=C()f(l,V,),

то, представив уравнение для размерностей

mLt^-2=L^(Lt^-1)^(mL^-1t^-1)^,

получим систему уравнений

, =1, 

Таким образом, выбирая за параметры l,V и  (т.е. не отдельно  и v, а динамический коэффициент в частности =v), получаем три неизвестных. Решением системы будет     и окончательно

F=C()dV,

т.е. получаем тот же самый результат, как в только что рассмотренном примере.

Замечание 4.2. Нами рассмотрены два предельных случая – первый, когда жидкость идеальная, вязкость отсутствует (μ=ν=0) и сила пропорциональна квадрату скорости. В действительности этот случай соответствует квадратичной зоне, в которой коэффициент С (Re, α) является постоянной величиной (числа Re очень велики).

Во втором случае сила зависит от скорости линейно и непосредственно зависит от вязкости (числа Re значительно меньше единицы). Линейная зависимость силы от скорости в данном случае может быть предсказана с помощью метода анализа размерностей.

Задача 4.11. Определить скорость V, с которой шарик падает в вязкой жидкости.

Указание. Из опыта и наблюдений следует, что скорость v зависит от плотности жидкости ₁, плотности материала шарика ₂, кинематического коэффициента вязкости жидкости  и диаметра шарика d. Общая функциональная зависимость для скорости имеет вид:

V=f(_1,₂,g,,d).

Дополнительная часть д.1. Коэффициент с как функция безразмерных переменных

Как следует из большинства рассматриваемых примеров и задач, постоянный множитель C представляет собой некоторую функцию безразмерных комплексов из величин, входящих в условие задачи.

Пример Д.1.1. Зависимость C от безразмерного параметра (угла ) встречается в примере 2.4 при определении периода колебаний математического маятника

T= F().

Вид функции F() методом анализа размерности определить не удается; если эту функцию разложить в ряд Тейлора и сохранить только первый член, то получим, что F()=C. Такое разложение можно выполнить при любом значении угла, но для простоты (и это очень часто оправдывается) разложение можно производить для малых значений аргументов (вблизи нуля). В данном случае значение C методом анализа размерности оценить нельзя, но другими способами определено, что C=2. Окончательно

T=2.

Пример Д.1.2. Время истечения жидкости из сосуда, как следует из примера 2.9, равно

t=C.

Здесь >>1 и аргумент не является малым. Правильный результат для времени получается, если отождествить аргумент и функцию, т.е.

t=C.

Необходимость разложения в ряд и результат, следующий из этого, не исследованы.

Пример Д.1.3. Для расхода жидкости, протекающей через водослив в примере 4.1 получено выражение

Q=ClH.

Логично было бы составить малый параметр из аргументов, входящих в условие задачи, и разложить C по этому параметру в ряд.

Пример Д.1.4. В задаче 4.2 получена зависимость для давления в критической точке цилиндра, обтекаемого потоками идеальной жидкости

p=C V².

Очевидно, что давление при переходе от критической точки к любой ближайшей изменится. Поэтому в полученной зависимости безразмерный параметр C может оказаться функцией расстояния r от центра цилиндра - функции безразмерного отношения , гдеR- радиус цилиндра.

Пример Д.1.5. если в задаче 4.7 представить, что стенки обеих частей сообщающихся сосудов (правой и левой) строго вертикальны, то можно предположить (если S₁≠S₂), что постоянная C будет зависеть от отношения (S₂>S₁), где S₁ – например, площадь трубки в левой части, S₂ – площадь трубки в правой части.

Пример Д.1.6. В примере 4.3 в выражении для силы присутствует сомножитель C(), где  – некоторый угол, определяющий положение тела. При малых углах эта функция может быть разложена в ряд Маклорена

Если условие задачи позволяет допустить, что С(0)=0, то получаем для C() приближение в виде (учитываем только первые два члена разложения)

C()=C,

что иногда упрощает поиск зависимости C() в опытах.

Замечание Д.1. Если в левую часть функциональной зависимости не входит масса (например, выражения для скорости, расстояния и т.д.), а в правую входят величины, содержащие ее, то можно предположить, в каком виде эти величины включены в правую часть. Например (см. задачу 4.4), очевидно, что скорость звука в твердой среде зависит от упругих свойств этой среды – от модуля упругости E: [E] = mL^-1t^-1. Ясно, что в число аргументов должна войти плотность и параметр в правой части запишется в виде . Аналогичными примерами сказанного служат задачи 4.2, 4.5.

Замечание Д.2. Обычно основные трудности в методе анализа размерностей встречаются при рассмотрении физического смысла явления и при выборе основных аргументов, от которых зависит искомая величина. Рассмотрим трудности другого типа, которые встречаются при применении так называемой стандартной схемы, причем часто, как и при анализе физического смысла, заранее невозможно дать каких-либо гарантированных рецептов или рекомендаций.

При решении гидравлических задач первичными (основными) величинами являются масса m, длина l и время t. Именно по степеням этих трех величин составляется система уравнений и поэтому уравнений в этой системе не может быть больше трех. Аргументов, от которых зависит искомая величина, может быть значительно больше и поэтому неизвестных в системе уравнений может быть больше, чем самих уравнений. Система, таким образом, будет неопределенной. К анализу этой системы нельзя подходить формально и приходится привлекать представления о физическом смысле рассматриваемого явления. Приведем пример изложенных замечаний.

В задаче 4.3 определяется скорость стекания пленки жидкости по вертикальной стенке без учета поверхностного натяжения. Общее выражение для скорости будет иметь вид

V = f (x,g,ν).

В дальнейшем (см. задачу 4.3) получаются два уравнения (так как масса не входит ни в левую, ни в правую части) с тремя неизвестными

α + β + 2γ = 1, γ + 2 β = 1.

Удачным выбором в данном случае следует считать β=1. Имея в виду, что скорость обратно пропорциональна вязкости, также логично можно было бы вначале выбрать γ = -1.

Во многих случаях можно уменьшить число аргументов, образовав из них отношения и эти отношения считать новыми аргументами – тем самым уменьшив число неизвестных и сделав систему определенной. Например, в рассматриваемом примере ясно, что стекание пленки происходит под действием силы тяжести. Силы вязкости, напротив, тормозят движение. Поэтому возможно образовать параметр, определяющий соотношение этих противоположно направленных сил; этот параметр будет иметь вид

и =L^-1t^-1.