- •А.М. Калякин кинематика
- •А.М. Калякин Кинематика
- •Саратов 2007
- •Введение
- •1. Основные определения. Виды движения
- •1.1. Два метода изучения движения жидкости
- •1.2. Установившееся и неустановившееся движение
- •1.3. Линии тока. Свойство линий тока
- •1.4. Трубка тока. Элементарная струйка
- •1.5. Потоки равномерные и неравномерные,
- •1.6. Пространственные и плоские (двумерные) потоки
- •2. Ускорение жидкой частицы
- •3. Уравнение неразрывности
- •4. Элементы потока
- •5. Уравнение неразрывности для потока
- •6. Средняя скорость.
- •7. Уравнение неразрывности
- •8. Общий характер движения жидкой частицы
- •9. Потенциальное движение
- •9.1. Условия существования потенциального движения. Потенциал скорости
- •9.2. Уравнения Лапласа для потенциала скорости
- •10. Вихревые движения жидкости
- •Дополнительная часть. Д.1. Уравнения линий тока
- •Д.2. Плоские течения
- •Физический смысл функции тока
- •Примеры плоских сечений
- •Постановка задач для решения уравнения Лапласа
- •Первая краевая задача (задача Дирихле)
- •Вторая краевая задача (задача Неймана)
- •Д.3. Вихревая линия и вихревая трубка. Теоремы о вихрях
- •Литература
- •Оглавление
- •10. Вихревые движения жидкости
2. Ускорение жидкой частицы
Вектор ускорения жидкой частицы, движущейся со скоростью , по аналогии с механикой материальной точки, является производной по времени от вектора скорости
. (2.1)
В
Рис.
2.1
Выполним теперь формальный вывод зависимости для ускорения. В общем случае неустановившегося движения проекции скорости ,,являются функциями координат и времени; поэтому полный дифференциал, например, проекцииравен
. (2.2)
Разделив последнее равенство на , получим
(2.3)
а с учетом
,,(2.4)
получим
(2.5)
Из анализа последней зависимости следует, что полное ускорение складывается из двух составляющих: конвективного (или переносного) ускорения
(2.6)
и местного (локального) ускорения
(2.7)
Как следует из вывода, местное ускорение – это результат изменения скорости в точках пространства с течением времени, т. е. когда движение жидкости является неустановившимся. При установившемся движении местное ускорение.
Возникновение конвективного ускорения
(2.8)
обусловлено тем, что при переходе от точки к точке скорость изменяется. Таким образом, конвективное ускорение, а следовательно, и полное ускорение в установившемся потоке не обязательно равно нулю.
Задача 2.1.В каком случае конвективное ускорение равно нулю во всех точках потока?
Задача 2.2.Заданы выражения для компонентов вектора скорости
,,,
где – постоянная величина, имеющая размерность;,,– постоянные, имеющие размерность скорости. Найти выражение для компонентывектора ускорения.
Задача 2.3.Заданы следующие выражения ля компонентов вектора скорости течения
,,,
где – постоянная величина, имеющая размерность. Найти выражение для компонентывектора ускорения.
Решение.Выражение для компоненты ускоренияимеет вид
.
Из условия задачи следует
,,,.
Подставляя полученные значения производных и выражения для компонент ,ив зависимость для, получаем искомый результат
.
3. Уравнение неразрывности
для элементарной струйки
Известно несколько общих законов природы – законов сохранения, которые, преломляясь в прикладных науках, остаются в них определяющими. В гидравлике одним из основных уравнений является уравнение неразрывности, выражающее один из фундаментальных законов природы – закон сохранения массы вещества применительно к движению жидкостей и газов.
Д
Рис.
3.1
. (3.1)
За единицу времени через сечение протекает масса жидкости
. (3.2)
Поверхность струйки непроницаема для жидкости и поэтому для данной струйки имеем
, (3.3)
или
. (3.4)
По длине струйки площадь её сечения может изменяться, но произведение (3.4) остается постоянным, т. е. масса жидкости, проходящая в единицу времени через любое сечение струйки, остается постоянной – так формулируется закон сохранения массы для данного случая.
Если жидкость несжимаема, то и (3.4) будет иметь вид
. (3.5)
Произведение называется объемным расходом. В дальнейшем, если не сделана оговорка, под расходом будем понимать объемный расход.
Объем жидкости, проходящий через поперечное сечение потока за единицу времени, называется расходом.