Характеристика поля

Теорема 3.

Кольцо классов вычетов Z_m является полем тогда и только тогда, когда m=р простое число.

Определение.

Поле не обладающее никаким собственным подполем называется простым.

Теорема 4.

В каждом поле Р содержится одно и только одно простое поле Р₀ это простое поле изоморфно либо Q либо Z_р для некоторого простого р (простое число р).

Определение.

Говорят, что поле Р имеет характеристику нуль, если его простое подполе Р₀ изоморфно Q; Р – поле простое (или конечное) характеристики Р, если Р₀Z_р. Соответственно пишут Сhar P = 0 или Сhar P = р>0.

Определение.

Отношение Р называется отношением эквивалентности (эквивалентностью), если Р рефлексивно, симметрично и транзитивно.

Обозначение Е или ~ (тильда).

Определение.

Фактором-множества называется множество D по отношению эквивалентности R называется множество всех его классов эквивалентности .

Фактор-множество множества D по отношению к R обозначается так D⁄R.

D⁄R {a ⁄ R| aD}.

Для отношения принадлежности к одной студенческой группе классом эквивалентности является множество студентов одной группы. Фактор-множество множества студентов СГТУ по этому отношению эквивалентности представляет собой множество студенческих групп СГТУ.

Смежные классы

Определение.

Пусть H={e,h₁,h₂,…,h_m-1}- подгруппа группы G. Множество g(H)={ge,gh₁,gh₂,…,gh_m-1} полученное элементов H слева на элемент gG называется левым смежным классом группы G по группе H.

Лемма 1.

Пусть H подгруппа группа G, тогда для любого hH, hH=H.

Доказательство.

Пусть H={e,h₁,h₂,…,h_m-1} h_k H, hh_k H (замкнутость подгруппы). Значит hH H, с другой стороны h_kH, h_k=e h_k=(hh^-1) h_k=h(h^-1h_k)hH, откуда H hH. Таким образом hH hH=H.

19