Циклические группы

Пусть G мультипликативная группа (то есть с операцией умножения), а - ее фиксированный элемент. Если любой элемент g G записывается в виде g = а ⁿ для некоторого nZ, то говорят, что G = - циклическая группа с образующим а ( или циклическая группа, порожденная элементом а). Аналогично циклическая группа определяется в аддитивном случае: ={na|nZ}. Это конечно не означает, что все элементы аⁿ или аn попарно различны. Условимся обозначать (а^-1) ^k = a ^–k .

Теорема 1.

Каковы бы ни были m,n Z,

а ^m a ⁿ = a ^{m + n} , (а ^m) ⁿ = a ^{m n}

(соответственно ma + na = (m + n)a, n(ma) = (nm)a).

Простейшим примером циклической группы служит аддитивная группа (Z,+,0), порожденная обычной 1 или -1.

Матрица порождает вSL₂(Z) бесконечную циклическую подгруппу, здесь SL₂(Z) – множество всех 22 матриц с вещественными элементами и отличным от нуля определителем. Множество {1,-1} является по умножению циклической группой порядка 2. ПустьG – произвольная группа, а – некоторый ее элемент. Имеется две возможности.

1). Все степени элемента а различны, то есть mn a^m аⁿ . В этом случае говорят, что элемент аG имеет бесконечный порядок.

2).Имеются совпадения а^m =aⁿ при mn.

Если m>n, то а^m-n=е, то есть существуют положительные степени элемента аG равные единичному элементу. Пусть q наименьший положительный показатель а^q = е, тогда говорят, что а – элемент конечного порядка q.

Теорема 2.

Порядок любого элемента аG (G – абстрактная группа) равен Сard.

Доказательство.

В случае элемента бесконечного порядка доказывать нечего. Если а – элемент порядка q, то по определению все элементы е,а,а² ,…,а^q-1 различны. Любая другая степень а^k совпадает с одним из этих элементов, то есть ={е,а,а²,…,а^q-1} . В самом деле, воспользовавшись алгоритмом деления в Z, запишем показатель k в виде k = lq + r, 0r q-1. После чего, оперируя со степенями по правилам изложенным в теореме 1 получим

a^k = (a ^q)^l a^r = ea^r = a^r.

В частности a^k=е, r = 0 k = lq.

Изоморфизмы

Определение.

Две группы G и G' с операциями и называются изоморфными, если существует отображение f : GG' такое, что:

а) f (a b)=f(a)f(b) для всех a,bG;

б) f – биективно. Обозначение изоморфных групп G G'.

Простейшие свойства изоморфизма:

а) Единица переходит в единицу.

б) f(а^-1)=f^--1(a).

в) Обратное отображение f^—1 : G' G, существующее в силу свойства б), тоже является изоморфизмом.

В качестве изоморфного отображения f мультипликативной группы (R₊,) положительных вещественных чисел на аддитивную группу (R, +) всех вещественных чисел служит f:=ln.

Известное свойство ln ab=ln a + ln b моделирует свойство а) в определении изоморфизма. Обратным к f служит отображение хе^х.

Рассмотрим две теоремы иллюстрирующие роль изоморфизма в теории групп.

Теореме 3.

Все циклические группы одного и того же порядка (в том числе и бесконечного изоморфны).

Доказательство.

Если - бесконечная циклическая группа, то все степениqⁿ образующего q различны и мы получим изоморфизм f:(Z,+), полагая qⁿf (qⁿ)=n. Биективность f очевидна, а свойство f (q^mqⁿ) = f (qⁿ) + f (q^m) вытекает из теоремы 1.

Пусть теперь G={e,q,q²,…,q^q-1} и G'={e',q',(q')²,…,(q')^q-1} две циклические группы порядка q. Операции в G и G' не различаем. Определим биективное отображение f: q^k (q')^k , k=0,1,…,q-1. Полагая m+ n = lq + r , 0 r q-1 для всех m,n=0,1,…, q-1.

f(qⁿ⁺ⁿ) = f(q^r) = (q') ^r = (q') ^m+n = (q') ⁿ (q') ^m = f(qⁿ)f(q^m).

Теорема 4. (Кэли)

Любая конечная группа порядка n изоморфна некоторой подгруппе симметрической группы S_n.

Положив, G'= G в определении изоморфизмами получим изоморфное отображение φ: G G группы G на себя. Оно называется автоморфизмом группы G.