Функция Эйлера

Функция Эйлера φ(а) определяется для всех натуральных чисел а и представляет собой количество натуральных чисел взаимно простых с а, и не превосходящих а. При этом считается, что φ(1)=1. Вычисляется эта функция по формуле

где – простые делители в каноническом разложении числаа .

Число чисел, составляющих приведенную систему вычетов равно φ(m).

Общее свойство полной и приведенной системы вычетов

Если числа представляют собой полную (k=m) или приведенную (k= φ(m)) систему вычетов по модулю m, то и числа , где, так же представляют собой полную или приведенную систему вычетов по модулюm.

Пример.

Показать, что числа 25,-20,16,46,-21,18,37,-17 составляют полную систему вычетов по модулю 8.

Решение.

Образуем полную систему наименьших неотрицательных чисел

, ,,,,,,.

Итак, данные числа 0,1,2,3,4,5,6,7 образуют полную систему вычетов по модулю 8.

Теоремы Эйлера и Ферма

1. Теорема Эйлера.

При m>1 и (a,m)=1 имеем

. (1)

Доказательство.

Пусть x пробегает приведенную систему вычетов , гдесоставленную из наименьших неотрицательных вычетов. Наименьшие неотрицательные вычетычиселax будут побегать ту же систему, но расположенную (в общем случае) в ином порядке. Перемножив почленно сравнения . Откуда получим . Откуда, деля обе части на произведение , получим или .

2. Теорема Ферма.

При простом p и a, не делящемся на p, имеем

. (2)

Эта теорема является частным случаем теоремы Эйлера, при m=p. Из (2) можно легко получить очень важное сравнение

,

справедливое при всех целых а, так как оно верно и при a кратном p.

Пример.

Проверить теорему Эйлера при a=5 и .

Решение.

,

.

Действительно, .

Пример.

Найти остаток от деления на 45.

Решение.

Так как , то. Так каки (23,45)=1, то по теореме Эйлера

Значит

, но

, но

.

Итак, .

Ответ: искомый остаток равен 32.

Сравнения первой степени (решение задач)

Пример 1.

Решить способом Эйлера сравнение . Правильность ответа проверить подстановкой.

Решение.

(3,5)=1, значит, данное сравнение имеет единственное решение (в смысле класса чисел x по modm). По формуле Эйлера имеем ,, тогда получимилиили.

Проверка ,верно.

Ответ: .

Пример 2.

Решить способом Эйлера сравнение .

Решение.

(5,10)=5, но 7 не делится на 5, значит, данное сравнение не имеет решений.

Пример 3.

Решить способом Эйлера сравнение .

Решение.

Так как (25,17)=1, то данное сравнение имеет решение. Данное сравнение равносильно сравнению . По формуле Эйлера имеем., тогда

Рассмотрим

.

Итак, , тогда.

Проверка ,верно.

Ответ: .

Пример 4.

Решить одним из способов сравнение

, (1)

Решение.

(12,15)=3. Значит, данное сравнение имеет 3 решения (в смысле классов). Рассмотрим сравнение

, (2)

которое получено из данного после сокращения на 3.

По формуле Эйлера имеем,.

Итак, .

Проверка .

Мы нашли решение сравнения (2). Решение сравнения (1) находится по формуле ,k=0,1,2.

; ; .

Проверка:

1) , .

2) ,

3) ,

Ответ: , , .

Пример 5.

Приписать справа к числу 523 такие три цифры, чтобы полученное шестизначное число делилось на 7,8,9.

Решение.

Пусть приписываемое число x, тогда, откудаили. Значениеx будет трехзначным числом при t=0 и t=1. Получаем , .

Проверки.

523152 делится на 7,8,9;

523656 делится на 7,8,9.