Решето Эратосфена.

Для составления таблицы простых чисел, не превосходящих данного целого N, существует простой способ, называемый решетом Эратосфена. Он состоит в следующем:

1. Выписываем числа

1,2,…,N. (1)

Первое большее 1 число этого ряда есть 2. Оно делится только на 1 и на самого себя, следовательно, оно простое. Вычеркиваем из ряда (1), (как составные) все числа кратные 2, кроме самого числа 2. Первое следующее за двойкой не вычеркнутое число есть 3. Оно не делится на 2, (иначе оказалось бы вычеркнутым). Следовательно, три делится только на 1 и на самого себя, а поэтому оно так же будет простым. Вычеркиваем из (1) все числа кратные 3, кроме самой тройки. Первое следующее за 3 не вычеркнутое число есть 5, оно не делится ни на 2, ни на 3 (иначе было бы вычеркнутым). Следовательно, 5 делится на 1 и на самого себя, а потому оно также будет простым и так далее.

Когда указанным способом уже вычеркнуты все числа кратные простых чисел меньших простого p, то все не вычеркнутые меньшие , будут простыми. Действительно, всякое составноенами уже вычеркнуто, как кратное его наименьшего простого делителя, который.

Отсюда следует:

1. Приступая к вычеркиванию кратных простого p, это вычеркивание следует начинать .

2. Составление таблицы простых чисел не превосходящих N закончено как только вычеркнуты все составные кратные простых, не превосходящих .

Пример (для самостоятельного решения).

Составить таблицу простых чисел не превосходящих N=60.

Единственность разложения на простые сомножители

Теорема.

Всякое целое a или взаимно просто с данным простым p, или же делится на p.

Доказательство.

(a, p) будучи делителем p может быть равно или 1 или p. В первом случае a взаимно просто с p, во втором a делится на p.

Теорема.

Если произведение нескольких сомножителей делится на простое p, то по крайней мере один из сомножителей делится на p.

Доказательство.

Каждый сомножитель или взаимно прост с p или же делится на p. Если бы все сомножители были взаимно просты с p, то их произведение было взаимно просто с p. Поэтому, хоть один сомножитель делится на p.

Теорема.

Всякое целое, большее единицы, разлагается на произведение простых сомножителей и притом единственным образом (если отвлечься от порядка следования сомножителей).

Доказательство.

Пусть a – целое большее 1. Обозначив , его наименьший делитель имеем

. (1)

Если , то обозначив его наименьший простой делитель,

имеем

. (2)

Если , то аналогично получим

. (3)

и так далее, пока не придем к какому-либо . Тогда получим

. (n)

Перемножив (1), (2), (3),…,(n) и проведя сокращение получим следующее разложение на сомножители

. (A)

Допустим, что для a существует другое разложение

. (Б)

Тогда

. (В)

Правая часть равенства (В) делится на . Следовательно, по крайней мере, один из сомножителей левой части делится на. Пусть, напримерделится на(порядок следования сомножителей не играет роли). Тогда(кроме 1 делится только на). Сократив обе части равенства (В) на, получим

. (Г)

Применив преждние рассуждения к (Г), получим

. (Д)

и так далее пока, наконец, в одной части равенства, например, в левой не сократятся все сомножители. Но одновременно должны сократиться все сомножители левой части, так как равенство припревосходящих 1, невозможно.

Таким образом, второе разложение на простые сомножители тождественно первому.