Алгоритм Евклида
Алгоритм Евклида применяется для нахождения НОД, а так же для вывода его важнейших свойств. Он состоит в следующем. Пусть a и b – натуральные числа, причем a > b. Запишем ряд равенств
, 
,
, 
,
, 
,
………………………………..…… (1)
, 
,
,
заканчивающийся,
когда получится некоторое 
.
Последнее неизбежно, так как числа 
целые положительные
и убывают, значит этих чисел не более
чем b
штук. Рассматривая равенства (1), идя
сверху вниз, убеждаемся что общие
делители a и
b
одинаковы с общими делителями чисел b
и 
далее одинаковы с общими делителями
чисел 
и
,
чисел 
и
,…,
чисел 
и
,
наконец с делителями одного числа 
,
являющегося последним не равным нулю
остатком алгоритма Евклида. Одновременно
с этим имеем (a,b)
= (b,
)
= (
,
)
=…= (
,
)
= 
.
Мы приходим к следующим результатам
1. Совокупность общих делителей чисел a и b совпадает с совокупностью делителей их общего наибольшего делителя.
2. Этот наибольший общий делитель равен последнему, не равному 0 остатку алгоритма Евклида.
Пример.
Применяя алгоритм Евклида, найти (525,321).
Решение.
Здесь последний
отличный от нуля остаток 
.
Ответ: (525,231) = 21.
Справедливы следующие теоремы
1. Для любого натурального числа m
(am,bm)=(a,b)m.
2. Обозначив буквой
любой общий делитель чиселa
и b,
имеем
;
в частности имеем
,
то есть частные от деления двух чисел
на их наибольший общий делитель, есть
числа взаимно простые.
3. Если (a,b)=1, то (ac,b)=(c,b).
4. Если (a,b)=1 и ac делится на b, то c делится на b.
5. Если каждое
взаимно просто с каждым
,
то и произведение
взаимно просто с произведением
.
Домашнее задание
1. Применяя алгоритм Евклида, найти
а) (6188,4709);
б) (81719,52003,33649,30107).
Простые числа
Число единица имеет только один положительный делитель, именно 1. Всякое натуральное большее 1, имеет не менее двух делителей. Например, число 12 имеет следующие делители 1,2,3,4,6,12, а число 7 имеет следующие положительные делители 1, 7.
Определение.
Натуральное число p>1 называется простым, если оно имеет только два различных натуральных делителя (единицу и само p). Натуральное число а, большее 1, называется составным, если оно имеет больше двух различных натуральных делителей.
Теорема.
Наименьший, отличный от единицы, делитель целого большего единицы, есть число простое.
Доказательство.
Пусть q
– наименьший отличный от единицы
делитель целого a
больше единицы. Если бы q
было бы составным, то оно имело бы
некоторый делитель
с условием 1<
<q.
Причем число a,
делясь на q
должно делиться на
.
А это бы противоречило допущению
относительно того, чтоq
наименьший делитель.
Теорема.
Наименьший отличный
от единицы делитель составного числа
a
не превосходит
.
Доказательство.
Пусть q этот делитель. Тогда
,
(1)
.
(2)
Умножаем (1) на (2)
,
,
,
что и требовалось доказать.
Теорема.
Простых чисел бесконечно много.
Доказательство.
Предположим, что множество простых чисел конечно и состоит из чисел 2,3,5,…,p, где p – последнее самое большое простое число. Рассмотрим натуральное число N=2∙3∙5∙…∙p+1. Очевидно, что два не делит N, три не делит N, и так далее. Непосредственно видно, что при делении N на все числа 2,3,5,…,p получается остаток равный единице. Тогда или N само простое большее p или оно делится на простое число большее p. В обоих случаях существует простое число большее p. Наше предположение о конечности простых чисел неверно, следовательно, их бесконечно много.