8.23. Частотные характеристики оптимальных сар

Ниже рассматриваются передаточные функции и полученные из них частотные характеристики оптимальных систем различного порядка. 1) i = 0, n = 1 (фильтр).

Передаточная функция системы

АФЧХ системы

Модуль АФЧХ, т.е. амплитудная частотная характеристика

(8.26)

Где - частота среза.

2) i = 1, п = 2 (система второго порядка).

;

;

(8.27)

Где.

3) Для системы третьего порядка i=2, n=3.

;

;

Где

Полученные выражения для позволяют получить обобщенные формулы для системыn-го порядка.

. (8.29)

На рис. 8.11 представлены ам­плитудные частотные характеристи­ки для систем первого, второго и третьего порядков.

Рис. 8.11. Амплитудные частотные характеристики оптимальных САР

Поскольку для данных систем модуль АФЧХ не превышает единицу для полосы час­тотот нуля до возможно более высокого значения, такие системы и называют построенными по модуль­ному оптимуму. Очевидно при этом, что коэффициент колебательности системы, что говорит об отсутствии колебаний в системах, настроенных по модульному оптимуму.

8.2.4 Логарифмические частотные характеристики разомкнутых оптимальных систем

Для оптимальной системы второго порядка (n= 2, i = 1) можно записать следующие выражения для передаточной функции и час­тотных характеристик:

ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутых оптимальных систем могут быть построе­ны исходя из передаточных функций разомкнутых систем. Так, для систе­мы второго порядка (n=2) с передаточной функцией

имеем два последовательно соединенных звена: 1) апериодического звена с передаточной функцией

,

Где - суммарная величина малых постоянных времени, которые не могут быть скомпенсированы регулятором; 2) интегрирующего звена с передаточной функцией

На рис. 8.12 построены ЛАЧХ и ЛФЧХ разомкнутой системы, настроен­ной по модульному оптимуму.

Логарифмические амплитудные частотные характеристики могут быть построены с учетом выражения

,

.

Рис. 8.12. Логарифмические частотные характеристики разомкнутой оптимальной

системы

Рис. 8.13. ЛАЧХ замкнутой оптимальной системы

На рис 8.13 представлены ло­гарифмические частотные ха­рактеристики и для оптимальной системы второго порядка. Запас по фазе такой системы составляет.

При повышении порядка САР уменьшается частота сре­за. Однако запас по фазе прак­тически не меняется.

Для замкнутой системы

Здесь: - частота среза;

- частота сопряжения асимптот ЛАЧХ;

- запас по фазе при частоте среза.

Важнейшим достоинством рассматриваемого метода оптимизации яв­ляется его простота и определенность получаемых статических и динами­ческих качеств контура регулирования. Однако последнее одновременно может явиться и недостатком, т.к. требования к точности регулирования в ряде случаев могут быть более высокими, чем к точности, соответст­вующей модульному оптимуму. Поэтому, кроме настройки на технический оптимум, используют настройку по так называемому симметричному опти­муму, рассмотренному ниже.