Глава8. Оптимальные линейные сар

8.1. Общие сведения. Критерии качества систем регулирования

Обычно в системах автоматического регулирования пара­метры и свойства объекта регулирования известны. В этом случае зада­чей регулирующих устройств являются такой выбор и настройка их пара­метров, при которых формируемое в этих устройствах управляющее воз­действие обеспечивает изменение регулируемой величины, следующей за изменением задающего воздействия с наибольшей точностью, с наи­меньшей инерцией, без возникновения колебаний и независимо от изме­нения внешних возмущений. Идеальным регулированием является такое регулирование, когда для любого момента времени выходная координата y(t) равняется его заданному значению у_зад(t) (рис. 8.1), т.е.

y(t) = g(t) = y_зад(t).

Рис. 8.1. Структурная схема одноконтурной САР

Однако достигнуть этого затруднительно из-за различных ограничений в объекте регулирования и САР. Например, в реальных электроприводах ограничиваются напряжение преобразователя, его ток, ограничиваются момент и ток двигателей и т.д. Поэтому настройка контуров регулирова­ния и всей системы в целом должна наилучшим образом отвечать постав­ленным требованиям.

Так, для многих технических САР, например, для электроприводов ряда механизмов, работающих в повторно-кратковременных режимах, предъяв­ляются требования - малое время переходных процессов. В этом случае необходимо выбирать такую систему управления, параметры которой обес­печивают оптимальные по быстродействию переходные процессы (рис. 8.2) с допустимыми значениями перерегулирования σ_mах% и колебательности. Кроме того, к динамике системы предъявляется ряд других требований, обу­словленных изменением внешних условий.

Рис. 8.2. Кривая переходного процесса регулируемой величины

Обычно для технических систем регулирования под оптимальным пе­реходным процессом понимают такой процесс, при котором величина пе­ререгулирования не превышала бы заданного значения, а время регулирования tp а значит и tm было минимально-возможным для дан­ной системы. Кроме того, к системам регулирования предъявляется также требование - обеспечение необходимой точности регулирования в стати­ческих и динамических режимах.

Препятствием для достижения идеального поведения систем регу­лирования являются инерционности объекта регулирования, обуслов­ленные всеми его звеньями, в том числе и колебательными. Поэтому возникает задача - разработать и применить для данного объекта регу­лирования регулятор наиболее подходящего типа и с наилучшими пере­ходными характеристиками с тем, чтобы ликвидировать влияние инер­ции объекта настолько полно, насколько это окажется возможным. Из­вестно, что показатели переходного процесса зависят от количества и соотношения постоянных времени системы. Оптимальному переходному процессу соответствует оптимальное соотношение постоянных времени, что определяет соответствующие оптимальные передаточные функции и структурные схемы системы.

8.2. КРИТЕРИИ КАЧЕСТВА ОПТИМАЛЬНОГО РЕГУЛИРОВАНИЯ

Оптимальная САР должна соответствовать конкретному кри­терию качества регулирования, на основании которого она построена.

Интегральные методы оценки качества регулирования позволяют по некоторым определенным интегралам судить о быстродействии и колеба­тельности системы регулирования.

За критерий качества процессов в системе можно принимать следую­щие интегралы:

(8.1)

Cледовательно, за критерий оптимальности принимается минимум либо линейного, либо квадратичного отклонения выходной величины от заданного значения

Интегральный критерий применим только в системах, о которых за­ведомо известно, что у них переходные процессы монотонны, т.е. не меняет знака (рис. 8.3, кривая 1).

Это резко ограничивает возможности данного критерия. Если переход­ный процесс колебательный, то величина не может служить мерой его качества, т.к. величина имеет разный знак (рис. 8.4), т.е. площади, ограничи­ваемые кривой , будут вычитаться друг из друга. При линейной оптимиза­ции получается увеличенное время регулирования (см. рис. 8,4, кривая 1).

Интегральный критерий обеспечивает минимум квадратичной ошиб­ки регулирования. Неограниченное снижение невозможно из-за возмож­ных ограничений в системе регулирования. При квадратичном критерии получается большая величина перерегулирования.

Рис.8.3.Переходные процессы в системе регулирования при различных критериях

оптимальности

При линейной и квадратичной оптимизации могут быть получены либо слишком сильно, либо слишком слабо задемпфированные процессы. Для того, чтобы получить переходный процесс без чрезмерного перерегулирования и с минимальным временем, необ­ходим некоторый технический оп­тимум. В соответствии с этим опти­мумом за оптимальный процесс при­нимается такой, при котором перере­гулирование составляет ≤5%, а время регулирования наименьшее возможное. Такой реакцией на ска­чок входной задающей величины обладают системы второго порядка с коэффициентом демпфирования

Рис.8.4. Кривые переходных процессов при квадратичной оптимизации

Изменение соотношения постоянных времени может быть достигнуто применением параллельной или последовательной коррекции. В системах с параллельной коррекцией применяются гибкие отрицательные обратные связи, с помощью которых увеличивается наибольшая постоянная време­ни и уменьшаются остальные. В результате достигается возможность ис­пользования повышенных значений коэффициента форсировки, что при­водит к повышению быстродействия переходного процесса.

Основным недостатком систем с параллельной коррекцией является сложность расчета оптимальных параметров системы, трудность настрой­ки и наладки систем управления.

В системах с последовательной коррекцией корректирующие звенья включают в цепь основного сигнала последовательно со звеньями систем управления. К системам с последовательной коррекцией относятся так называемые системы подчиненного регулирования. В этих системах требуемые соотношения постоянных времени могут быть достигнуты за­меной (компенсацией) с помощью регуляторов всех больших постоянных времени, кроме одной, самой малой, новыми постоянными, кратными са­мой малой постоянной времени.

Рассмотрим, какие соотношения постоянных времени должны быть обеспечены для получения оптимальных по времени переходных процессов.

Рассмотрим вначале простую замкнутую систему, состоящую из одно­го интегрирующего и одного инерционного звеньев (рис. 8.5) с единичной обратной связью, причем <

Передаточная функция такой замкнутой системы

(8.2)

Рис. 8.5. Исходная схема замкнутой САР

Уравнение амплитудной частотной характеристики в этом случае будет

(8.3)

или

(8.4)

Рис. 8.6. Амплитудная частотная характеристика

Ранее в курсе ТАУ было показано, что при скачкообразном изменении входного сигнала регулируемая величина будет тем точнее следовать за заданной величиной, чем шире полоса пропускания частот, при которых модуль передаточной функции приближен к единице (рис. 8.6).

Чем ближе к единице модуль передаточной функции, тем меньше динамическая ошибка регулирования и меньше время переходного процесса.

Для нашего случая , если

.

Можно показать, что этому равенству соответствует соотношение:

, т.е. .

И. Кесслером (фирма SIEMENS) такой критерий был назван «Betrags optimum». В нашей практике его называют «техническим» или «модульным оптимумом» (наиболее удачное название).

Если обозначить наименьшую постоянную времени системы через то передаточная функция замкнутой оптимальной системы (8.2) запишется

(8.5)

где а - коэффициент, определяющий соотношение постоянных времени

в системе регулирования;

а =2 - стандартный коэффициент, соответствующий «модульному оптимуму» (оптимальная настройка);

а=1 4 - реальный коэффициент настройки для реальных систем.

Передаточная функция оптимальной системы может быть записана в форме, соответствующей колебательному звену

(8.6)

где - эквивалентная постоянная времени колебательного звена;

относительный коэффициент затухания колебаний.

Таким образом, поведение регулируемой величины на выходе замкнутого оптимизированного контура зависит только от малой постоянной времени системы . Замкнутый контур будет представлять собой систему второго порядка. Важнейшей характеристикой такой системы является относительный коэффициент затухания (коэффициент демпфирования < ):

, (8.7)

где β- коэффициент при p; а - коэффициент при p .

Если имеем систему третьего порядка с тремя постоянными времени , передаточная функция которой имеет вид

. (8.8)

то амплитудная частота характеристики

(8.9)

Если провести такое же исследование, как и в предыдущем случае, то можно показать, что оптимальный характер процесса будет выполняться при условии

. (8.10)

Аналогично для системы n-го порядка

. (8.11)