3.1.9 Решение обратных задач расчётов размерных цепей методом неполной взаимозаменяемости (вероятный метод)

В соответствии с положениями теории вероятностей суммирование случайных величин (размеры деталей, получаемые в процессе обработки (изготовления) этих деталей, рассматриваются как случайные величины) производится квадратически, причём сумме этих величин, в свою очередь, так же случайная величина, изменяющаяся по определённому закону распределения случайных величин.

Закон распределения размеров замыкающего звена тем ближе к закону нормального распределения, чем больше составляющих звеньев имеет размерная цепь. На практике применение вероятностного метода расчёта оправданно, если число составляющих звеньев (А) размерной цепи не менее четырех.

(m-1) ≥ 4.

Поле допуска замыкающего звена А_∆ (рис. 3.8) определяется по формуле:

, (3.20)

где t_Δ – коэффициент риска, выбирается из таблицы 3.2;

λ² – относительное среднее квадратическое отклонение - коэффициент, характеризующий закон рассеяния размеров или их отклонений.

Таблица 3.2

Риск Р (%)	32,00	10,00	4,50	1,00	0,27	0,10	0,01
Коэф.tΔ (±σ)	1,00	1,65	2,00	2,57	3,00	3,29	3,89

Для закона нормального распределения λ² равно 1/9.

При механической обработке заготовок на настроенных станках распределение полученных размеров подчиняется закону нормального распределения (λ² = 1/9) при сравнительно легком обеспечении размеров с допусками по (9-10) квалитетам и грубее. При точности обработки по (7-8) квалитетам распределение соответствует закону Симпсона (λ² = 1/6), а при точности по (5-6) квалитетам – закону равной вероятности (λ² = 1/3).

Если принять:

- риск Р = 0,27% (3 детали из 1000 могут иметь размеры, выходящие за пределы их поля допуска);

- коэффициент риска t_Δ = 3;

- число составляющих звеньев (m-1) = 4;

- закон нормального распределения λ² = 1/9,

то формула (3.19) будет иметь вид . (3.21)

Условно приняв TA_i = TA₁ = TA₂ = TA₃ = TA₄ = TA_cp , можно записать

. (3.22)

Для сравнения, при методе расчётов «max-min»

. (3.23)

Сравнение (3.22) и (3.23) показывает, что допуск составляющего звена при вероятностном методе в два раза () может больше, чем при расчётах методом «max-min» ().

Кривая нормального распределения

, (3.24)

где A_i – конкретный действительный размер;

А_ср – среднее арифметическое размеров деталей данной партии;

σ – среднее квадратическое отклонение.

, (3.25)

где n – количество деталей в партии (n > 1);

m_i – частота (количество деталей данного интервала размеров).

Графически кривая нормального распределения имеет вид (рис. 3.10).

I – рассеяние размеров деталей в процессе их обработки (Ai) действит.;

II, III, IV – рассеяние результатов измерений Xi размеров деталей (Ai) действит. (II - (Ai)д = Ai min; III - (Ai)д = Ai ср.; IV - (Ai)д = Ai max);

a, b – точки перегиба кривых распределений

- суммарная погрешность средства измерений, практический ориентир при выборе СИ для конкретных измерений.

На практике поле рассеяния размеров деталей (допуск на размер), принимается равным 6σ, т.е. TA_i = 6σ.

Если суммарная погрешность средства измерений , то выход размеровA_i за пределы ±3σ не превышает 0,27%. В пределах ±3σ, годных A_i – 99,73%. Выход размеров деталей (A_i) за границы поля допуска T(A_i) возможен только в случаях II, когда на измерения поступают детали с действительными размерами (A_i)_Д < (A_i)_MIN, либо в случае IV, когда на измерения поступают детали с действительными размерами (A_i)_Д > (A_i)_MAX.

В остальных случаях (например, случай III) суммарная погрешность измерения обеспечивает измеренияX_i размеров детали A_i, не вы-

Рис. 3.10. Кривая нормального распределения

ходящими за пределы поля допуска T(A_i).

Верхнее ES(A_Δ) и нижнее EI(A_Δ) отклонения замыкающего звена при расчётах вероятностным методом определяют по формулам:

, (3.26)

, (3.27)

В формулах (3.26) и (3.27) E_ср(A_Δ) – координата середины поля допуска замыкающего звена, которую можно определить по формулам:

. (3.28)

Учитывая, что , можно записать

или . (3.29)

Т(А_Δ) – допуск замыкающего звена, определяемый по формуле (3.20).

3.1.10 Решение прямых задач расчётов размерных цепей методом неполной взаимозаменяемости (вероятностный метод).

Эта задача решается аналогично решениям прямых задач по методу полной взаимозаменяемости («max-min»).

При способе равных допусков, по аналогии с 13 и используя формулу 3.21, можно записать

. (3.30)

Откуда, . (3.31)

Для закона нормального распределения и (TA_Δ) = 6σ (как отмечено выше) t_Δ = 3 и λ = 1/3. Формула (31) упрощается:

. (3.32)

При способе допусков одного квалитета среднее число единиц допуска «а» определяется по формуле:

. (3.33)

Далее задача решается аналогично решению прямой задачи способом допусков одного квалитета методом «max-min».

Примечание: При решении прямых задач размерных цепей, состоящих из особо точных звеньев ((01…4) квалитеты), руководствуются формулами ИСО:

Для размеров менее 1 мм, допуски по квалитетам 14÷18 не назначаются.