- •Глава 3. Однофазные электрические цепи синусоидального тока
- •Периодические переменные эдс, напряжения и токи
- •3.2. Явление электромагнитной индукции
- •3.3. Явление самоиндукции и эдс самоиндукции. Индуктивность
- •3.4. Источник синусоидальной эдс
- •3.5. Волновые диаграммы токов и напряжений
- •3.6. Действующее и среднее значения синусоидального тока
- •3.7. Изображение синусоидальных эдс, напряжений и токов вращающимися векторами
- •3.8. Законы Кирхгофа для электрической цепи синусоидального тока
- •3.9. Особенности электрических цепей переменного тока
- •3.10. Электрическая цепь с активным сопротивлением
- •3.11. Электрическая цепь с индуктивностью
- •Электрическая цепь с ёмкостью
- •3.13. Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости
- •3.14. Резонанс напряжений
- •2. Расчёт цепи при резонансе напряжений.
- •3.15. Эквивалентные схемы пассивных двухполюсников переменного тока
- •3.16. Электрическая цепь с параллельным соединением приёмников
- •3.17. Резонанс токов
- •3.18. Компенсация сдвига фаз
- •3.18. Комплексный метод расчёта цепей синусоидального тока
- •3.18.1. Общие сведения о комплексных числах
- •3.18.2. Изображение синусоидальных напряжений и токов комплексными числами
- •3.18.3. Закон Ома в комплексной форме
- •3.18.4. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость
- •3.18.5. Законы Кирхгофа в комплексной форме
- •3.18.6. Определение мощности по комплексным напряжению и току
- •3.18.7. Применение методов расчёта цепей постоянного тока к расчёту цепей синусоидального тока
- •1. Классический метод.
- •2. Символический (комплексный) метод.
- •Важнейших открытий XIX века, заложивших фундамент «Теоретических основ электротехники»
- •Важнейших изобретений XIX, начала XX века в области электротехники
- •3.2. Явление электромагнитной индукции __________________________ 75
- •Часть 1. Линейные и нелинейные электрические цепи постоянного тока. Однофазные цепи синусоидального тока.
3.13. Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости
Составим уравнение по второму закону Кирхгофа для цепи рис. 3.21:
uR+ uL+ uC u = 0,
или uR+ uL+ uC = u. (3.59)
Из уравнения (3.59) следует,
Рис. 3.21 что напряжение цепи u
состоит из трёх составляющих,
из которых uR преодолевает сопротивление цепи R, uL уравновешивает противоположную ему по знаку ЭДС самоиндукции еL и uС уравновешивает противоположную ему по знаку ЭДС ёмкости еС .
Задавшись током цепи , определим все составляющие напряжения.
Напряжение на сопротивлении
uR = Ri = R = URmSint, (3.60)
где URm = RIm, откуда UR = RI. (3.61)
Напряжение на индуктивности
, (3.62)
где ULm= LIm= XLIm, откуда UL = XL I . (3.63)
Напряжение на ёмкости
, (3.64)
где , откуда UС = XС I. (3.65)
Из выражений (3.60), (3.62) и (3.64) видно, что отдельные составляющие напряжения u представляют собой синусоидальные напряжения uR, uL, uC, следовательно, суммарное напряжение (3.59) будет также синусоидальным u = UmSin(t+u), вектор которого равен геометрической сумме векторов составляющих синусоид.
Построим векторную диаграмму действующих значений напряжений UR (3.61), UL (3.63), UС (3.65) для цепи рис. 3.21.
В качестве исходного вектора при построении диаграммы принимаем вектор тока I, общий для всех элементов цепи. Кроме того, предположим, что UL UС,
т. е. цепь имеет индуктивный
характер.
Сравнивая начальную фазу тока (i = 0) с начальными фазами активного напряжения
Рис. 3.22 uR ( 3.60 ), индуктивного
напряжения uL (3.62) и ёмкостного напряжения uС (3.64), видим, что = 0, = , = . Поэтому на векторной диаграмме рис. 3.22 вектор UR совпадает по фазе с вектором тока, вектор UL опережает вектор тока на угол , и вектор UС отстаёт от вектора тока на угол ( ). При построении векторных диаграмм напряжений и токов надо всегда иметь в виду, что векторы вращаются против направления вращения часовой стрелки.
Сумма векторов UL , UR , UС даёт вектор напряжения U на входе цепи (рис. 3.21). Так как UL UС, вектор напряжения U опережает вектор тока I на угол (рис. 3.22). Соединив концы векторов UR и U вектором UХ, совпадающим по направлению с вектором UL, получим прямоугольный треугольник напряжений, катетами которого являются активное UR и реактивное UХ = UL UС напряжения, а гипотенузой – полное напряжение U.
Из треугольника напряжений (рис.3.22) имеем:
(3.66)
где XL XC =X (3.67)
реактивное сопротивление цепи с последовательным соединением XL и XC;
(3.68)
полное сопротивление цепи с последовательным соединением R и X. Единица измерения активного, реактивного и полного сопротивлений – Ом.
Из выражения (3.66) имеем:
(3.69)
закон Ома для цепи переменного тока. В таком виде закон Ома справедлив только для действующих и максимальных значений переменных токов и напряжений. Для мгновенных значений тока и напряжения закон Ома в таком виде не применим, т. е. , так как мгновенные значения тока и напряжения не находятся в линейной зависимости:
, ,
при i = 0, u 0.
Закон Ома для мгновенных значений:
. (3.70)
Из выражения (3.70) видно физически существующие ЭДС индуктивности еL и ЭДС ёмкости еС. В выражении закона Ома (3.69) они формально учитываются через XL и XC, входящие в полное сопротивление цепи Z.
Закон Ома в дифференциальной форме устанавливает связь между плотностью тока в данной точке проводящей среды и напряженностью поля в этой же точке:
, (3.70, а)
где плотность тока, векторная величина, [A/м2];
удельная проводимость проводящей среды, [1/Омм];
статическая напряженность электрического поля, векторная величина, [В/м].
Из векторной диаграммы (рис. 3.22) видно, что вектор тока сдвинут по фазе относительно вектора напряжения на угол :
. (3.71)
Угол положителен при XL XC, при этом вектор напряжения опережает вектор тока на угол . Если XL XC, угол сдвига фаз будет отрицательный; в этом случае вектор напряжения будет отставать от вектора тока на угол .
Если разделить все стороны прямоугольного треугольника напряжений (рис. 3.22) на общий множитель I:
UR = IR, UX = IX, U = IZ,
получится подобный ему треугольник сопротивлений (рис. 3.23) с гипотенузой Z и катетами R и X.
Из треугольника сопротивлений
Рис. 3.23 имеем:
R = ZCos ,
X = ZSin , . (3.72)
Z =
Определим мгновенную мощность цепи (рис. 3.21) с учётом выражений (3.60), (3.62) и (3.64):
=
+ (3.73)
где (3.74)
мгновенная активная мощность;
(3.75)
мгновенная индуктивная мощность;
(3.76)
мгновенная ёмкостная мощность.
После преобразования выражения (3.73) получаем:
. (3.77)
Из выражений (3.74) – (3.76) следует:
постоянная составляющая мощности равна активной мощности
; (3.78)
максимальное значение мгновенной индуктивной мощности
(3.79)
называется индуктивной мощностью;
максимальное значение мгновенной ёмкостной мощности
(3.80)
называется ёмкостной мощностью.
Разность индуктивной и ёмкостной мощностей
(3.81)
называется реактивной мощностью.
Амплитуда переменной части мгновенной полной мощности (3.77)
(3.82)
называется полной мощностью.
Активная, реактивная и полная мощность имеют разные единицы измерения:
[P] = Вт; [Q] = вар; [S] = ВА.
Если умножить все стороны прямоугольного треугольника напряжения (рис. 3.22) на общий множитель I или треугольника сопротивлений (рис. 3.23) на I2, получим подобный им треугольник мощностей (рис. 3.24), катетами которого являются активная P и реактивная Q мощности, а гипотенузой – полная мощность S.
Из этого треугольника имеем:
,
, (3.83)
.
По полученным выражениям
мгновенных значений напряжения,
тока и мощности построим волно-
Рис. 3.24 вую диаграмму u, i, p (рис. 3.25).
Из волновой диаграммы видно,
что напряжение опережает ток на угол , мгновенная мощность изменяется во времени с двойной частотой; она имеет постоянную составляющую UICos и переменную составляющую с амплитудой UI. Так как UI UICos, мощность в определённые промежутки времени становится отрицательной, т. е. электрическая цепь в эти промежутки времени отдаёт энергию источнику. Когда мгновенная мощность положительна, цепь получает энергию от источника.
Р ассмотренные выше мощности P, Q, S (3.83) характеризуют также любую электрическую цепь (электроустановку) синусоидального тока.
Рис. 3.25
Остановимся на математическом и физическом определении этих мощностей.
Активная мощность.
Математическое определение: среднее значение от мгновенной мощности за период
.
Физическое определение: активная мощность представляет собой энергию, которая выделяется в единицу времени в виде теплоты на участке цепи с сопротивлением R или преобразуется в другие виды энергии: механическую, химическую, световую и пр.
Реактивная мощность.
Математическое определение: максимальное значение мгновенной реактивной мощности
.
Физическое определение: реактивная мощность характеризует энергетические процессы, связанные с накоплением электрической энергии в магнитном поле катушек индуктивности и электрическом поле конденсаторов, и процессы обмена электрической энергии между источником и приёмником, обладающим L и С. Индуктивная мощность QL положительна, т. е. приёмники, обладающие индуктивностью, получают энергию от источника; ёмкостная мощность QС отрицательна, т. е. приёмники, обладающие ёмкостью, отдают энергию источнику (являются генераторами реактивной мощности). Это свойство реактивных элементов широко используется в электроустановках для компенсации реактивной мощности.
Полная мощность.
Математическое определение: максимальное значение мгновенной полной мощности
.
Физическое определение: все электроустановки рассчитывают для работы при определённых значениях напряжения U и тока I. Поэтому их характеризуют не активной мощностью P, зависящей от сдвига фаз между напряжением и током, а полной мощностью S, равной произведению действующих напряжения и тока. Следовательно, полная мощность равна наибольшему значению активной мощности при заданных напряжении и токе.
Коэффициент мощности.
Отношение активной мощности к полной (из треугольника мощностей (рис. 3.24), равное косинусу угла сдвига фаз между напряжением и током, называется коэффициентом мощности:
. (3.84)
Для повышения эффективности использования источников электрической энергии и уменьшения её потерь в сетях желательно повышать Cos (уменьшать сдвиг по фазе тока относительно напряжения), т. е. стремиться к получению Cos = 1. При данной активной мощности P приёмника ток в линии тем меньше, чем больше значение Cos :
,
следовательно, потери мощности в линии при этом будут уменьшаться.