![](/user_photo/45909_chhde.jpg)
- •Глава 3. Однофазные электрические цепи синусоидального тока
- •Периодические переменные эдс, напряжения и токи
- •3.2. Явление электромагнитной индукции
- •3.3. Явление самоиндукции и эдс самоиндукции. Индуктивность
- •3.4. Источник синусоидальной эдс
- •3.5. Волновые диаграммы токов и напряжений
- •3.6. Действующее и среднее значения синусоидального тока
- •3.7. Изображение синусоидальных эдс, напряжений и токов вращающимися векторами
- •3.8. Законы Кирхгофа для электрической цепи синусоидального тока
- •3.9. Особенности электрических цепей переменного тока
- •3.10. Электрическая цепь с активным сопротивлением
- •3.11. Электрическая цепь с индуктивностью
- •Электрическая цепь с ёмкостью
- •3.13. Электрическая цепь с последовательным соединением сопротивления, индуктивности и ёмкости
- •3.14. Резонанс напряжений
- •2. Расчёт цепи при резонансе напряжений.
- •3.15. Эквивалентные схемы пассивных двухполюсников переменного тока
- •3.16. Электрическая цепь с параллельным соединением приёмников
- •3.17. Резонанс токов
- •3.18. Компенсация сдвига фаз
- •3.18. Комплексный метод расчёта цепей синусоидального тока
- •3.18.1. Общие сведения о комплексных числах
- •3.18.2. Изображение синусоидальных напряжений и токов комплексными числами
- •3.18.3. Закон Ома в комплексной форме
- •3.18.4. Комплексное сопротивление и комплексная проводимость
- •3.18.5. Законы Кирхгофа в комплексной форме
- •3.18.6. Определение мощности по комплексным напряжению и току
- •3.18.7. Применение методов расчёта цепей постоянного тока к расчёту цепей синусоидального тока
- •1. Классический метод.
- •2. Символический (комплексный) метод.
- •Важнейших открытий XIX века, заложивших фундамент «Теоретических основ электротехники»
- •Важнейших изобретений XIX, начала XX века в области электротехники
- •3.2. Явление электромагнитной индукции __________________________ 75
- •Часть 1. Линейные и нелинейные электрические цепи постоянного тока. Однофазные цепи синусоидального тока.
3.14. Резонанс напряжений
Рассмотрим идеальный колебательный контур из последовательно соединённых конденсатора и катушки
индуктивности без потерь
(рис. 3.26). Если предварительно
Рис. 3.26 заряженный конденсатор вклю-
чить к катушке индуктивности, то
конденсатор
будет разряжаться на катушку: энергия
электрического поля конденсатора
будет уменьшаться, а энергия
магнитного поля катушки
будет увеличиваться до тех пор, пока
конденсатор полностью не разрядится.
После этого катушка начнёт разряжаться
на конденсатор. В результате в контуре
возникнут незатухающие синусоидальные
колебания тока с частотой
,
(3.85)
где 0 называется угловой частотой собственных незатухающих колебаний.
Если такой контур подключить к источнику синусоидального напряжения с частотой , которая называется частотой вынужденных колебаний, то при равенстве частот свободных и вынужденных колебаний = 0 в цепи возникнет электрический резонанс.
При последовательном соединении L, С и источника питания возникает резонанс напряжений, при параллельном соединении – резонанс токов.
Рассмотрим резонанс напряжений в реальной цепи (с учётом потерь), схема которой представлена на рис. 3.21. Установим соотношение между параметрами цепи при резонансе.
Из выражения (3.85) имеем:
,
откуда
или XL
=XC,
(3.86)
т.
е. резонанс напряжений возникает при
равенстве индуктивного и ёмкостного
сопротивлений. Из равенства (3.86) следует,
что резонанс напряжений может быть
достигнут при изменении одной из трёх
величин ,
L,
С
при постоянстве двух других величин:
;
;
,
где L0
,
С0
,0
индуктивность, ёмкость и угловая частота
при резонансе напряжений.
Определим ток, напряжение и другие величины при резонансе напряжений.
Полное сопротивление цепи
,
так как XL
= XC
.
Следовательно, при резонансе напряжений полное сопротивление цепи имеет минимальное значение, равное активному сопротивлению R.
Ток в цепи при резонансе
имеет максимальное значение.
Угол сдвига фаз при резонансе
,
т. е. напряжение на входе цепи и ток при резонансе совпадают по фазе, так как цепь имеет активный характер.
Напряжение на участках цепи следующее:
активное напряжение
,
равно полному напряжению цепи;
индуктивное напряжение
;
ёмкостное напряжение
;
т. к. при резонансе XL = XC , то UL = UC .
Величина
напряжений UL
= UC
в зависимости от соотношений
может значительно превышать напряжение
на входе цепи U,
если XL
= XC
R.
Векторная диаграмма тока
Рис. 3.27 и напряжений при резонансе
изображена на рис. 3.27 при
UL = UC U. Из векторной диаграммы и приведённых выше соотношений следует, что при резонансе напряжений индуктивное и ёмкостное напряжения компенсируют друг друга. Поэтому реактивное напряжение UX = UL UC = 0; цепь при резонансе, несмотря на наличие в ней L и C, ведёт себя как цепь с активным сопротивлением.
Индуктивное и ёмкостное сопротивления при резонансе
,
(3.87)
называется характеристическим (волновым) сопротивлением резонансного контура.
Отношение
(3.88)
называется добротностью контура, а величина, обратная q – затуханием контура
.
(3.89)
Энергетические
соотношения при резонансе имеют ряд
особенностей. Определим мгновенные
значения энергии магнитного поля катушки
WL
и энергии электрического поля конденсатора
WС
при токе
,
тогда на основании (3.64)
:
;
(3.90)
.
(3.91)
Суммарная энергия магнитного и электрического полей
,
так как амплитуды тока Im и напряжения UСm являются постоянными величинами.
Так как на основании (3.87)
,
то
.
(3.92)
Таким образом, сумма энергий магнитного и электрического полей с течением времени не изменяется. Уменьшение энергии электрического поля сопровождается увеличением энергии магнитного поля и наоборот. Происходит полный обмен энергиями между конденсатором и катушкой. Источник энергии только покрывает потери в активных сопротивлениях катушки и конденсатора. Поэтому для источника питания вся цепь эквивалентна активному сопротивлению.
Частотные характеристики. Рассмотрим важный для практики режим, когда синусоидальное напряжение на зажимах цепи постоянно, а угловая частота изменяется от 0 до .
Ток в цепи
п
ри
=
0 I
=
0, так как ёмкостное сопротивление
;
при
максимальный; при
I
=
0, так как
(рис. 3.28). Аналогично изменяется активное
напряжение UR
= IR.
Напряжения UL
и
UC
при
равны между
собой по значению. Индук-
тивное напряжение UL = IL,
равно нулю при = 0; с увеличением частоты UL возрастает до тех пор, пока ток не начнёт уменьшаться быстрее, чем возрастает частота. После этого UL резко уменьшается, стремясь к напряжению источника U. Максимального значения UL достигает при частоте L.
Рис. 3.28 Ёмкостное напряжение
при
=
0 равно
напряжению источника U; с увеличением частоты UC возрастает пока увеличивается ток, достигает максимума при частоте С, затем уменьшается, стремясь к нулю.
Из
графика (рис. 3.28) видно, что максимумы
напряжений UC
и UL
имеют место при частотах не равных
резонансной частоте. Из уравнений
и
можно рассчитать частоты, при которых
UL
и UC
будут максимальными.
Угол
сдвига фаз
при частоте
=
0
,
при
и при
.
Таким образом, при резонансе напряжений в электрической цепи напряжения на катушке индуктивности и конденсаторе могут значительно превышать напряжения на входе цепи, что может привести к нежелательным последствиям, в частности, к перенапряжениям, опасным для изоляции элементов цепи.
Пример 3.1. Рассчитать электрическую цепь (рис. 3.29) с последовательным соединением катушки индуктивности с сопротивлением R = 28 Ом и индуктивностью L = 0,1 Гн и конденсатора ёмкостью С = 50 мкФ при синусоидальном входном напряжении u = 141Sin(314t+30) В. Определить ёмкость конденсатора, при которой в цепи наступит резонанс напряжений; произвести расчёт цепи при резонансе.
Р
е ш е н и е.
1.
Расчёт цепи до резонанса.
1.1. Определение сопротив-лений отдельных участков и всей цепи. Активное сопротивление катушки задано R = 28 Ом. Индуктивное сопротивление катушки
Рис.
3.29
;
угловая частота
известна = 314 с-1;
Ом.
Полное сопротивление катушки
Ом.
Ёмкостное сопротивление конденсатора (ёмкость выражаем в фарадах С = 50 мкФ =50 10-6 Ф)
Ом.
Реактивное сопротивление цепи
X = XL XC = 31,4 – 63,69 = 32,29 Ом (знак минус показывает, что в цепи преобладает ёмкостное сопротивление).
Полное сопротивление цепи
Ом.
1.2. Расчёт действующих и максимальных значений тока и напряжений на отдельных участках цепи.
Действующее значение тока определяем по закону Ома:
,
где U действующее значение напряжения находим по заданному максимальному значению Um = 141 В,
В,
тогда ток
А.
Амплитуда
тока
А.
Активное напряжение
В;
В.
Индуктивное напряжение
В;
В.
Полное напряжение катушки
В;
В.
Ёмкостное напряжение конденсатора
В;
В.
Реактивное напряжение цепи
В;
В.
Проверка правильности расчёта тока и напряжений по напряжению:
В.
1.3. Расчёт мгновенных значений тока и напряжений.
Общее
выражение мгновенного значения тока
,
где i,
начальная фаза тока, определяется по
углу сдвига фаз
,
т. е.
.
Угол сдвига фаз находится из треугольника сопротивлений (рис. 3.23):
,
( 0, что показывает на ёмкостный характер цепи),
тогда
.
Мгновенное значение тока
,
А.
Мгновенное значение активного напряжения по фазе совпадает с током
,
В.
Мгновенное значение индуктивного напряжения опережает ток на 90
В.
Мгновенное значение напряжения катушки
,
начальная
фаза напряжения катушки, определяется
по углу сдвига фаз катушки
,
т. е.
;
;
;
,
В.
Мгновенное значение напряжения на ёмкости отстаёт от тока на 90
, В.
1.4. Расчёт активной, реактивной и полной мощности цепи.
Активная мощность
Вт.
Реактивная мощность
вар,
(знак «» у реактивной мощности показывает, что цепь имеет ёмкостный характер).
Полная мощность
В
А.
Рис. 3.30
Проверка по мощности:
ВА.
По результатам расчёта мгновенных значений тока и напряжений строим волновую диаграмму (рис. 3.30).
Векторная диаграмма (рис. 3.31) построена по результатам расчёта действующих значений тока и напряжений. В качестве исходного вектора принят вектор тока, который является общим для всех элементов цепи (рис. 3.29). Вектор UR совпадает с вектором тока I, вектор UL опережает вектор I на 90; поэтому из конца вектора UR проводим под углом 90 в сторону опережения вектора I вектор UL. Так как напряжение на ёмкости
UС отстаёт от тока I на 90, из конца вектора UL проводим под углом 90 к вектору I в сторону отставания от него вектор UС.
При построении векторной диаграммы напряжений мы суммировали векторы UR, UL и UС, поэтому результирующий вектор, направленный из начала UR в конец UС, является вектором напряжения U, отстающим от вектора I на угол .
Вектор
напряжения на катушке UК,
равный сумме векторов UR
и UL,
опережает вектор тока на угол К.
На диаграмме векторы
напряжений UR, UL и UС
следуют в том же порядке, что
и соответствующие элементы цепи R, L и С, поэтому такая векторная диаграмма называ-ется топографической.